Požadavky ke zkoušce z ODR (NMMA333)

Zkouška se skládá z písemné (početní) a ústní (teoretické) části. Z každé části je možné získat až 30 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je nutné získat aspoň 15 bodů z každé části. Výsledná známka je pak následující:

30 - 39 bodů: dobře
40 - 49 bodů: velmi dobře
50 - 60 bodů: výborně

Písemná část

Písemná část se skládá ze tří úloh, za každou je možné získat až 10 bodů. Úlohy jsou z následujících oblastí:

Kvalitativní analýza
Derivace řešení podle počáteční podmínky či parametru
Maticová exponenciála a jiné maticové funkce
Linearizovaná stabilita a nestabilita
Stabilita pomocí ljapunovské funkce
Nelineární systémy a první integrál

Písemná část trvá 90 minut. Studenti nesmí používat žádnou literaturu ani kalkulačky.

Písemky z roku 2014/15 zde.

Ústní část

Ústní část se skládá ze dvou otázek, za každou je možné získat až 15 bodů. Každá otázka typicky odpovídá jedné kapitole (resp. polovině kapitoly). Úkolem je zformulovat důležité definice a tvrzení z dané oblasti. Následně je student vyzván, aby dokázal určenou větu a zodpověděl doplňující otázky.

Příklad zkouškové otázky:
1. Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty
Dokažte Liouvilleovu větu o wronskiánu.
Jaký je geometrický význam wronskiánu? Jak se tedy mění objem pro soustavu s konstantními koeficienty?
2. Ljapunovské funkce a stabilita
Dokažte větu o asymptotické stabilitě.
Aplikujeme-li větu na rovnici druhého řádu, jakou informaci o řešení získáme? Uveďte příklad pozitivně definitní funkce na R^n.

Seznam tvrzení:

1. Existence řešení systému diferenciálních rovnic

Lemma 1 - O ekvivalenci diferenciální a integrální rovnice
Věta 2 - Arzelaova--Ascoliova věta
Věta 3 - Peanova věta

2. Jednoznačnost řešení pro systém diferenciálních rovnic

Věta 4 - Vztah lokální a globální jednoznačnosti
Věta 5 - Postačující podmínka lokální jednoznačnosti
Lemma 6 - Vztah C^1 a lokální lipschitzovskosti
Důsledek 7 - Lokální Picardova věta

3. Maximalita řešení

Věta 8 - Existence maximálního prodloužení
Věta 9 - Globální Picardova věta
Lemma 10 - Postačující podmínka pro existenci prodloužení
Věta 11 - O opuštění kompaktu

4. Závislost na počátečních podmínkách

Věta 12 - Gronwallovo lemma
Lemma 13 - o vzdálenosti dvou řešení
Věta 14 - Spojitost řešicí funkce
Důsledek 15 - Spojitá závislost na parametru
Věta 16 - Diferencovatelnost řešicí funkce

5. Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty

Věta 17 - Vlastnosti normy matice
Věta 18 - Globální existence a jednoznačnost
Věta 19 - Prostor řešení
Věta 20 - Variace konstant
Věta 21 - Liouvilleova formule

6. Lineární rovnice s konstantními koeficienty

Věta 22 - Maticová exponenciála jakožto fundamentální matice
Věta 23 - Vlastnosti maticové exponenciály
Důsledek 24 - Variace konstant pro konstantní koeficienty
Věta 25 - Výpočet maticové exponenciály
Důsledek 26 - Růst maticové exponenciály
Věta 27 - asymptotické chování řešení (HRK) na podprostorech

7. Stabilita

Věta 28 - Stabilita a fundamentální matice (nezkouším)
Věta 29 - Stabilita (HRK)
Lemma 30 - Stabilita porušené (HRK)
Věta 31 - Linearizovaná stabilita
Věta 32 - Linearizovaná nestabilita
Věta 33 - Hartmannova--Grobmannova (bez dk)

8. První integrál

Věta 34 - O orbitální derivaci
Věta 35 - O snížení řádu (bez dk)
Věta 36 - Existence lineárně nezávislých prvních integrálů (bez dk)

9. Ljapunovské funkce a stabilita

Věta 37 - Stabilita
Lemma 38 - O pozitivně definitní funkci
Věta 39 - Asymptotická stabilita
Věta 40 - Ekvivalentní podmínky pro (LKH)

10. Floquetova teorie

Lemma 41 - Existence logaritmu matice
Věta 42 - Floquetova o fundamentální matici periodické soustavy
Věta 43 - Existence periodických řešení
Věta 44 - Stabilita pro periodické lineární rovnice