  \textbf{1.} Spočtěte integrál
      $$
            \int \frac{dx}{x(1+x)(1+x+x^2)}.
      $$

      \textbf{Řešení}
      Tento zlomek můžeme rozložit následujícím způsobem:
%
%     Nemám rád parciální zlomky :~)
%
      \begin{multline*}
            \int \frac{dx}{x(1+x)(1+x+x^2)} =
            \int \left( \frac{x + 1 - x}{x(x+1)(x^2+x+1)} \right) dx =\\
            =\int \left( \frac{1}{x(x^2+x+1)} - \frac{1}{(x+1)(x^2+x+1)} \right) dx =\\
            =\int \left(
                        \frac{x^2 + x + 1 - x(x + 1)}{x(x^2+x+1)} -
                        \frac{x^2 + x + 1 - x(x + 1)}{(x+1)(x^2+x+1)}
            \right) dx =\\
            =\int \left(
                        \frac{1}{x} - \frac{x+1}{x^2+x+1} -
                        \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x^2+x+1}
            \right) dx =\\
            =\int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2+x+1} + \frac{1}{x+1} \right) dx.
      \end{multline*}
      Spočteme zvlášť integrál $\int\frac{dx}{x^2+x+1}$:
      $$
            \int\frac{dx}{x^2+x+1} =
            \int\frac{dx}{\left(x+\frac 12\right)^2 + \frac34} =
            \int\frac{dx}{\frac34 \cdot \left(\left(\frac{2x}{\sqrt3} + \frac1{\sqrt 3}\right)^2 + 1\right)} \subst
      $$
      Použijeme lineární substituci $\frac{2x}{\sqrt3} + \frac{\sqrt 3}{3} = t$, $\frac{2dx}{\sqrt3} = dt$:
      $$
            \subst\int\frac{\frac{\sqrt3}{2}dt}{\frac 34(t^2 + 1)} \konst
            \frac{2}{\sqrt 3}\arctg t \subst
            \frac{2}{\sqrt 3}\arctg\left(\frac{2x}{\sqrt3} + \frac{\sqrt 3}{3}\right).
      $$
      Výsledek je tedy
      $$
            \int \frac{dx}{x(1+x)(1+x+x^2)} =
            \log \lvert x \rvert + \log \lvert x+1 \rvert - \frac{2}{\sqrt 3}\arctg\left(\frac{2x}{\sqrt3} + \frac{\sqrt 3}{3}\right).
      $$
