  \textbf{1.} Pomocí vhodných úprav spočtěte následující integrál:
      $$
            \int x^2\sqrt[3]{1+x^3} \dx.
      $$

      \textbf{Řešení} Pokusíme se uhodnout, jak vypadal výraz před derivováním:
      máme ve zderivovaném výrazu činitel $\sqrt[3]{1+x^3}$. To znamená, že se
      v původním výrazu vyskytoval výraz $\left(1 + x^3\right)^{\frac 43}$. Po
      jeho zderivování dostáváme:
      $$
            \left(\left(1+x^3\right)^{\frac 43}\right)' =
            \frac 43 \sqrt[3]{1+x^3} \cdot \left(1+x^3\right)' =
            4 x^2 \sqrt[3]{1+x^3},
      $$ tedy vhodná úprava je vynásobit výraz jedničkou ve formě $\frac 44$,
      čímž dostáváme
      $$
            \int x^2\sqrt[3]{1+x^3} \dx =
            \frac 14 \cdot \int 4 x^2 \sqrt[3]{1+x^3} \dx =
            \frac 14 \left(1+x^3\right)^{\frac 43}.
      $$
