    \textbf{1.} Spočtěte integrál
    $$
        \int\frac{x^4 \arctg x}{x^2 + 1} \dx.
    $$

    \textbf{Řešení} Integrál upravíme:
    \begin{multline*}
        \int\frac{x^4 \arctg x}{x^2 + 1} \dx =
        \int\left(\frac{(x^4-1)\arctg x}{x^2+1} + \frac{\arctg x}{x^2+1}\right) \dx =\\
        =\int(x^2+1)\arctg x \dx + \int\frac{\arctg x}{x^2+1} \dx.
    \end{multline*}
    Spočteme zvlášť první integrál:
    \begin{multline*}
        \int(x^2 + 1)\arctg x \dx \pp
        \begin{bmatrix}
            u' = x^2 + 1    & u  = \frac{x^3}3 + x\\
            v  = \arctg x   & v' = \frac{1}{1+x^2}
        \end{bmatrix}\pp\\
        \pp\left(\frac{x^3}3 + x\right)\arctg x - \frac13 \int\frac{x^3 + 3x}{x^2 + 1}\dx =\\
        =\left(\frac{x^3}3 + x\right)\arctg x - \frac13 \int\left(x + \frac{2x}{x^2+1}\right) \dx \konst\\
        \konst\left(\frac{x^3}3 + x\right)\arctg x - \frac13 \left(\frac{x^2}2 + \log(x^2+1)\right).
    \end{multline*}
    Druhý integrál spočteme substitucí $\arctg x = t$, je roven $\frac12 \arctg^2 x$.
    Výsledek je tedy
    $$
        \int\frac{x^4 \arctg x}{x^2 + 1} \dx \konst
        \left(\frac{x^3}3 + x\right)\arctg x - \frac13 \left(\frac{x^2}2 + \log(x^2+1)\right) +
        \frac12 \arctg^2 x.
    $$
