     \textbf{5.} Spočtěte integrál
    $$
        \int x^3 e^{3x} \dx.
    $$

    \textbf{Řešení} Pokud bychom počítali tento integrál per partes, dostali bychom po 3 derivováních výraz tvaru
    $$
        \int x^3 e^{3x} \dx \konst e^{3x}(ax^3 + bx^2 + cx + d).
    $$ Můžeme proto zderivovat tento výraz (musíme dostat výraz $e^{3x} x^3$) a spočítat koeficienty $a$, $b$, $c$ a $d$:
    \begin{multline*}
        \bigl( e^{3x}(ax^3 + bx^2 + cx + d) \bigr)' =\\
        =3e^{3x}(ax^3 + bx^2 + cx + d) + e^{3x}(3ax^2 + 2bx + c) =\\
        =e^{3x}\bigl(3ax^3 + (3b+3a)x^2 + (3c + 2b)x + (3c+d)\bigr).
    \end{multline*}
    Tedy musí platit:
    \begin{align*}
        3a  &= 1\\
        3b+3a   &= 0\\
        3c+2b   &= 0\\
        3c+d    &= 0
    \end{align*}
    Řešením této soustavy rovnic je $a=\frac13$, $b=-\frac13$, $c=-\frac29$ a $d=\frac{2}{27}$.
    Proto je
    $$
        \int x^3 e^{3x} \dx =
        e^{3x}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac2{27}\right).
    $$
