     \textbf{1.} Spočtěte integrál:
      $$
            \int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)} \dx.
      $$

      \textbf{Řešení} Spočteme nejprve rozklad výrazu na parciální zlomky:
      \begin{multline*}
            \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)} =
            \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-1} =\\
            =\frac{A(x+1)(x-1) + B(x-1) + C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)} =\\
            =\frac{Ax^2 - A + Bx - B + Cx^2 + 2Cx + C}{(x+1)^2(x-1)}=\\
            =\frac{(A+C)x^2 + (B+2C)x + (C-A-B)}{(x+1)^2(x-1)}.
      \end{multline*} Čitatel tohoto zlomku se musí rovnat $x^2 + 1$, proto
      musí být $A = C = \frac 12$ a $B=-1$. Dostáváme tak, že
      \begin{multline*}
            \int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)} \dx =
            \int\left(\frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)}\right)\dx \stackrel c=\\
            \stackrel c=
            \frac 12 \log \lvert x+1 \rvert +
            \frac{1}{x+1} +
            \frac 12 \log \rvert x-1 \lvert,\\
             x\in(-\infty, -1); x\in(-1,1); x\in(1, +\infty)
      \end{multline*}
