  \textbf{1.} Spočtěte integrál
      $$
            \int \frac{dx}{ (1+\sqrt[4]x)^3 \cdot \sqrt x }.
      $$

      \textbf{Řešení} Použijeme substituci $\sqrt[4]x = t$, pak $\frac14 x^{-3/4} dx = dt$ a $dx = 4t^3 dt$:
      $$
            \int \frac{dx}{ (1+\sqrt[4]x)^3 \cdot \sqrt x } \subst
            \int \frac{4t^3 dt}{(1+t)^3 t^2}.
      $$ Tento integrál spočteme pomocí rozkladu na parciální zlomky:
      \begin{multline*}
            \int \frac{4t^3 dt}{(1+t)^3 t^2} =
            \int \left( \frac{A}{t+1} + \frac{B}{(t+1)^2} + \frac{C}{(t+1)^3} +
                  \frac{D}{t} + \frac{E}{t^2} \right) dt =\\
            =\int \left(
                  \frac{At^2 (t+1)^2 + Bt^2(t+1) + Ct^2 + Dt(t+1)^3 + E(t+1)^3}{t^2(t+1)^3}
            \right) dt.
      \end{multline*} Koeficienty jsou $A = 0$, $B = 4$, $C = -4$, $D = 0$ a $E = 0$. Počítáme integrál:
      \begin{multline*}
            \int \left( \frac{A}{t+1} + \frac{B}{(t+1)^2} + \frac{C}{(t+1)^3} +
                  \frac{D}{t} + \frac{E}{t^2} \right) dt =\\
            =\int \left( \frac{4}{(t+1)^2} - \frac{4}{(t+1)^3} \right) dt \konst\\
            \konst -\frac{4}{t+1} + \frac{2}{(t+1)^2} \subst
            -\frac{4}{\sqrt[4]x + 1} + \frac{2}{(\sqrt[4]x + 1)^2}.
      \end{multline*}
