     \textbf{4.} Spočtěte integrál
      $$
            \int \frac{\arctg \sqrt x}{\sqrt x} \cdot \frac{dx}{1+x}.
      $$
      Použijeme nejprve substituci
      \begin{align*}
            \sqrt x &= t\\
            \frac{1}{2\sqrt x} \dx &= dt.
      \end{align*}
      Dostáváme
      $$
            \int \frac{\arctg \sqrt x}{\sqrt x} \cdot \frac{dx}{1+x} \stackrel S=
            2\int \frac{\arctg t}{1 + t^2} \dt.
      $$
      Další ``substitucí'' ($\arctg t = u$ v hlavě) dostáváme výsledek
      $$
            2\int \frac{\arctg t}{1 + t^2} \dt \stackrel c= \arctg^2 t \stackrel S= \arctg^2 x, \quad x\in(0, \infty).
      $$
