  \textbf{5.} Spočtěte integrál
      $$
            \int\frac{x^2 + 5x + 4}{x^4 + 5x^2 + 4}dx.
      $$

      \textbf{Řešení} Použijeme metodu parciálních zlomků:
      $$
            \int\frac{x^2 + 5x + 4}{x^4 + 5x^2 + 4}dx =
            \int\frac{x^2 + 5x + 4}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} =
            \int\left(\frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4}\right) dx
      $$
      Vypočteme koeficienty $A$, $B$, $C$ a $D$:
      $$\begin{array}{rrcl}
            \text{u } x^3:& A + C &=& 0\\
            \text{u } x^2:& B + D &=& 1\\
            \text{u } x:  &4A + C &=& 5\\
            \text{u } 1:  &4B + D &=& 4
      \end{array}$$
      Tedy je $A = \frac53$, $B=1$, $C=-\frac53$ a $D=0$.
      \begin{multline*}
            \int\frac{x^2 + 5x + 4}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} =
            \int\left(\frac{\frac53 x + 1}{x^2 + 1} - \frac{\frac53 x}{x^2 + 4}\right) dx =\\
            \frac56 \int\frac{2x + \frac 65}{x^2 + 1} dx - \frac56 \int\frac{2x}{x^2 + 4} \konst
            \frac56 \log\lvert x^2 + 1 \rvert + \arctg x - \frac56 \log \left\lvert x^2 + 4 \right\rvert
      \end{multline*}
