
 
\subsubsection { }
S pomocí jednoduchých substitucí spočtěte
$$
\begin{array} a
\int \frac{x}{1+x^4},\ \ \int \frac{x^2}{\cos(x^3)},\ \ \int\frac{1}{x 
\log x},\ \\
\int \frac{2x+1}{x^2+x+1},\ \ \int \sin^{2k+1}x,\ \ \int 
\cos^{2k+1}x.
\end{array}
$$
 
\subsubsection { }
S využitím metody per partes spočtěte
$$
\int x^3\log^2x  \quad  
\int x^a \log x (a>0),
$$

$$
\int e^x\sin x,\ \ \int x\sin x,\ \ 
$$

$$
\ \ \int \arcsin x,\ \ \int \operatorname{arctg} x,\ \ \int 
\frac{x^2}{e^x}.
$$

\subsubsection { }
Počítejte primitivní funkce následujících racionálních funkcí
$$\int \frac{3x+5}{2x^2+3x+7},\ \ \int \frac{x^{17}-5}{x^2-1},
$$

$$
\int 
\frac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x},\ \ \int \frac{x^4}{x^4+5x^2+4},$$

$$
\int \frac{x}{x^3-3x+2},\ \ \int \frac{x}{x^3-1},\ \ \int \frac{1}{x^6+1},
$$

$$
\int \frac{x}{2x^2-3x-2},\ \ \int \frac{x^3+1}{x^3-x^2},$$

$$\ \ \int \frac{x^2}{(x+2)^2 (x+4)^2}.$$

 
\subsubsection { }
 Procvičte si "lepení" primitivních funkcí při hledání 
primitivních funkcí  
$$\int |x|,\ \ \int \max\{x,x^2\},\ \ \int |\sin x+\frac{1}{2}|.$$


\subsubsection { }
Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím; pomožte si 
převedením na integrování racionálních funkcí pomocí vhodné substituce:
$$
\begin{array} a
\int \frac{e^x}{e^x+1};
\ \ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{1}{x},\ \ 
\int \root 3 \of {\frac{1-x}{1+x}} \frac{1}{x},\\ 
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\root 3\of{x+1}},\ \ \int \frac{1}{1+\sqrt{x+1}},
\end{array}
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},\ \ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\ \ \int 
\frac{1}{\sqrt{(x^2-1)^3}},
$$

$$
\int \frac{1}{1+\sqrt{x^2+2x+1}},\ \ \int 
\sqrt{x^2-2x-1},$$

$$\ \ \int \frac{2x+3}{(x^2+2x+3)\sqrt{x^2+2x+4}};   
\int \frac{1}{\sin x \cos x},$$

$$
\int \frac{1}{\sin x},\ \ \int 
\frac{1}{\cos x},\ \ \int \frac{\sin x}{1+\sin x},$$

$$ \int \operatorname{tg}^5 x,\ \int \sin ^5 x,\ 
$$

$$
\ \int \frac{\cos^4 x+\sin^4 x}{\cos^2 x-\sin^ x},\ \ \int 
\frac{1}{2\sin x-\cos x+5}.$$


\subsubsection { }
 Vyšetřete, jaké vlastnosti musí mít primitivní funkce k funkci 
$f$, která je lichá, sudá, omezená, periodická, neklesající, nezáporná.


\subsubsection { }
 Je-li $f'\in{\Bbb R }\setminus\{0\}$ na $(\alpha, \beta), 
f((\alpha,\beta))=(a,b), F=\int f + C,$ pak $\int 
f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-F\circ 
f^{-1}(x)+C.$

Zkuste vzorec odvodit provedením  per partes a substitucí "x=f(t)".



\subsubsection { }
 S pomocí různých postupů, např. naznačených nestandardních 
substitucí hledejte primitivní funkce
$$\int\frac{x^2+1}{x^4+1} \ (t=x+\frac{1}{x}),\ \ \int \sin(\log x),\ \ 
$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x-a}\sqrt{x-b}}\  (x=a\cos^2 t+b\sin^2 t),$$

$$\ \ \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \ (x=\tan t),\ \ \int \sqrt{x^2+1} \ 
(x=\operatorname{cosh} t),
$$

$$
\int \log(x+\sqrt{1+x^2}),\ \ \int \frac{\log\cos x }{\cos^2 
x},$$

$$\ \ \int \sqrt{e^x-1},\ \ \int \frac{1}{\cos^3 x\sqrt{\sin 2x}},\ \ 
$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^x+1}},\ \ \int e^{\sqrt{x}}.$$

