Pravdivost a definovatelnost ve standardním modelu aritmetiky

V následujícím "jazyk" znamená "spočetný jazyk prvního řádu". Z kardinality plyne,že pro každý jazyk existuje množina nedefinovatelná v tomto jazyce,  Tarského věta o nedefinovatelnosti pravdivosti navíc dává způsob, jak takovou množinu konstruovat: predikát pravadivosti pro L, který popisuje sémantiku L, není definovatelný v L. Přidáním predikátu pravdivosti pro L do L tak dostaneme bohatší jatyk než L. Představme si strukturu, tzv. Tarského hierarchii, kterou dostaneme následujícím způsobem: vyjdeme z nějakého konkrétního jazyka a k němu přidáme jeho pravdivost, k novému jazyku opět jeho pravdivost... , v limitním kroku provedeme sjednocení atd. transfinitněkrát. Jaké bude mít tato hierarchie vlastnosti? Jsou všechny podmnožiny N definovatelné v nějakém takto získaném jazyce, či např. všecny konstruovatelné množiny?

Ukazuje se však, že operace "přidání pravdivost pro L do L" není obecně jednoznačná. Chceme-li totiž chápat pravdivost jako predikát definovaný na přirozených číslech, je třeba nejprve nějak očíslovat věty jazyka L. Různým očíslováním vět L však obecně dostáváme různé predikáty pravdivosti. Nabízí se tedy najít predikát pravdivosti pro L kanonický v tom smyslu, že jej každý jiný predikát pravdivosti definuje. Tarského hierarchii pak zavádíme pomocí přidávání tohoto kanonického predikátu. Klíčovou je pochopitelně otázka, pro jaké jazyky takový kanonický predikát vůbec existuje. Ukazuje se, že má netriviální odpověď: existují i nekonečné jazyky bez kanonické pravdivosti, ale existuje jazyk, který kanonickou pravdivost nemá. V soluadu s tímto pozorováním zjišťujeme, že Tarského hierarchie má horní mez, tj. po spočetně mnoha krocích se dostane k jazyku bez kanonické pravdivosti. Nicméně ordinál, u kterého se Tarského hierarchie zastaví, je podstatně větší než by se dalo očekávat,