Komutativní okruhy


Průběh přednášky

   (8.10.) 1. K čemu jsou dobré ideály? Základní pojmy teorie komutativních okruhů příklady (komutativní okruh, obor, ideály, homomorfismus ) [D,část I.1]. Jednoznačný vztah mezi ideály a algebraicky korektní faktorizací. Ideálový popis a zobecnění dělitelnosti. Hlavní a konečně generované ideály.

   (15.10.) Popis noetherovských okruhů a Hilbertova věta o bázi [D, I.2.1]. Prvoideály, maximální ideály a prvočinitelé, popis pomocí těles a oborů [D, I.1.1 - 3]. Aritmetika ideálů.

   (22.10.) 2. Jak zjednodušit počítání v komutativním okruhu? A) Faktorizací: komaximální ideály a Čínská věta o zbytcích [D, I.3.1.- I 3.3]. B) Lokalizací: princip lokalizace komutativního oboru v multiplikativní množině, univerzální vlastnost lokalizace a popis ideálů[D,VI.2], obecné lokální a kvazilokální okruhy.

   (29.10.) 3. Exkurz: Axiom výběru, ordinální čísla a Zornovo lemma. Formulace axiomu výběru [SA]. Tranzitivní třídy, dobré uspořádání a ordinální čísla, [K, kap.11].

   (5.11.) Zornovo lemma a existence dobrého uspořádání. Použití Zornova lemmatu [SA]: existence maximálních ideálů, existence báze vektorového prostoru, existence a jednoznačnost algebraického uzávěru. Rozšíření homomorfismů těles na automorfismy algebraického uzávěru . 4.Úvod do radikálů. Multiplikativní množiny a prvoideály [D,I.3.7-8], odmocnina z ideálu a prvoideály [D, I.3.10-13].

   (12.11.) Jacobsonův radikál [D I.3.14-15]. Geometrické příklady radikálových ideálů. 5.Zobecnění vektorových prostorů nad okruhy: pojem modulu. Zavedení modulů, podmodulů, a faktormodulů. Příklady.

   (19.11.) Součty podmodulů, podmoduly indukované ideály, faktorové moduly, modulové homomorfismy. Věta o homomorfismu a 1., 2. a 3 věta o izomorfismu, konečně generované a Noetherovské moduly [D, I.1.5-6, I.5.1]. Direktní suma modulů, její vnější a vnitřní popis [D, I.4.1]. Příklady direktního rozkladu: podprostory vlastních vektorů diagonalizovatelného operátoru a Čínská věta o zbytcích na konečných abelovských grupách.

   (26.11.) 6. Volné moduly Popis volné báze, "aritmetický" volný modulu R(A) nad komutativním okruhem R, hodnost volného modulu [D, I.4.2-7], volný faktorový modul [D, I.4.11].

   (3.12.) Matice přechodu mezi volnými bázemi volného modulu konečného ranku. Volba volné báze a obsah prvku volného modulu v oboru integrity hlavních ideálů [D, I.4.9]. Torzní část modulu, direktní rozklad konečně generovaného modulu na torzní a volnou část [D, I.5.2-6]. Podmoduly volného modulu konečné hodnosti nad obory hlavních ideálů [D, I.4.10, I.6.2]. Rankt podmodulů [D, I.5.5], Direktní rozklady konečně generovaných modulů nad obory hlavních ideálů na cyklické moduly s klesající posloupností anihilátorů [D, I.6.3].

   (10.12.) Struktura konečně generovaných modulů: struktura p-modulů u[D, I.5.8] ireducibilní direktní rozklad konečně generovaného modulu nad obory hlavních ideálů [D, I.5.11].

   (17.12.) 7. Galoisova teorie podruhé. Stupeň separability a separabilní rozšíření [D, II.2.1 - 4], existence ireducibilních neseparabilních polynomů [D, II.2.7]. Algebraická rozšíření perfektních těles jsou separabilní [D, II.2.8], separabilní rozšíření konečného stupně je jednoduché [D, II.3.1]. Chrakterizace normálních a Galoisových rozšíření [D, II.3.4-5]. Galoisova grupa a podtěleso pevných bodů [D, II.3.2, II.3.7-9], Galoisova korespondence [D, II.4.3].

   (7.1.) 8. Celistvá rozšíření a Dedekindovy obory. Norma, stopa, charakteristický polynom, jejich souvislost s minimálním polynomem [D, II.5.1]. Výpočet a skládání normy a stopy [D, II.5.2-3]. Celistvé prvky a celistvá rozšíření [D, III.2.2-2.7]. Dedekindovy obory.

   (14.1) Primární rozkladu ideálu Dedekindových oborů [D, III.4.2-4]. Struktura celistvých rozšíření Dedekindovy oborů, celistvě uzavřené podokruhy číselných těles [D, III.2.9-12, III.3.1-6].


Průběh cvičení

   (15.10.) Prvoideály a maximální ideály v oborech hlavních ideálů. Netriviální příklady provoideálů v Z[x] a v oborech polynomů více neznámých. Příklady oborů, které nejsou noetherovské

   (29.10.) Použití Čínské věty o zbytcích. Lokalizace v celých číslech, struktura svazu ideálů lokalizace celých čísel v prvoideálu. Lokalizace v obecných komutativních okruzích: ekvivalence krácení, přirozený homomorfismus, příklady.

   (12.11.) Výpočet odmocnin ideálů v okruzích celých čísel a polynomů jedné neurčité, výpočet nilradikálu a Jacobsonova radikálu kvazilokálních okruhů, okruhů polynomů a faktorů oborů hlavních ideálů.

   (26.11.) Homomorfismy a podmoduly volných Z-modulů konečného ranku, Z-modul racionálních čísel Q: beztorzní, uniformní, nekonečně generovaný, není volný.

   (10.12.) Direktní rozklady konečně generovaných Z-modulů. Vektorové prostory s lineárním operátorem jako moduly nad okruhem polynomů.

   (7.1.) Norma a stopa komplexního rozšíření reálných čísel a rozšíření racionálních čísel stupně 2.

   (14.1.) Písemka.


[D] skripta A. Drápala,
[K] text Tomáše Kaisera,
[R] prezentace P. Růžičky,
[S] skripta D.Stanovského, Základy algebry, Matfyzpress, Praha 2010.
[SA] Text D.Stanovského o Axiomu výběru