Komutativní okruhy
Průběh přednášky
(8.10.) 1. K čemu jsou dobré ideály? Základní pojmy teorie komutativních okruhů příklady (komutativní okruh, obor, ideály, homomorfismus ) [D,část I.1]. Jednoznačný vztah mezi ideály a algebraicky korektní faktorizací. Ideálový popis a zobecnění dělitelnosti.
Hlavní a konečně generované ideály.
(15.10.) Popis noetherovských okruhů a Hilbertova věta o bázi [D, I.2.1]. Prvoideály, maximální ideály a prvočinitelé,
popis pomocí těles a oborů [D, I.1.1 - 3]. Aritmetika ideálů.
(22.10.) 2. Jak zjednodušit počítání v komutativním okruhu? A) Faktorizací: komaximální ideály a Čínská věta o zbytcích [D, I.3.1.- I 3.3].
B) Lokalizací: princip lokalizace komutativního oboru v multiplikativní množině, univerzální vlastnost lokalizace a popis ideálů[D,VI.2], obecné lokální a kvazilokální okruhy.
(29.10.) 3. Exkurz: Axiom výběru, ordinální čísla a Zornovo lemma. Formulace axiomu výběru [SA]. Tranzitivní třídy, dobré uspořádání
a ordinální čísla, [K, kap.11].
(5.11.) Zornovo lemma a existence dobrého uspořádání. Použití Zornova lemmatu [SA]: existence maximálních ideálů,
existence báze vektorového prostoru, existence a jednoznačnost algebraického uzávěru. Rozšíření homomorfismů těles na automorfismy algebraického uzávěru .
4.Úvod do radikálů.
Multiplikativní množiny a prvoideály [D,I.3.7-8], odmocnina z ideálu a prvoideály [D, I.3.10-13].
(12.11.) Jacobsonův radikál [D I.3.14-15]. Geometrické příklady radikálových ideálů.
5.Zobecnění vektorových prostorů nad okruhy: pojem modulu. Zavedení modulů, podmodulů, a faktormodulů. Příklady.
(19.11.) Součty podmodulů, podmoduly indukované ideály, faktorové moduly, modulové homomorfismy.
Věta o homomorfismu a 1., 2. a 3 věta o izomorfismu, konečně generované a Noetherovské moduly [D, I.1.5-6, I.5.1].
Direktní suma modulů, její vnější a vnitřní popis [D, I.4.1]. Příklady direktního rozkladu: podprostory vlastních vektorů diagonalizovatelného
operátoru a Čínská věta o zbytcích na konečných abelovských grupách.
(26.11.) 6. Volné moduly Popis volné báze, "aritmetický"
volný modulu R(A) nad komutativním okruhem R, hodnost volného modulu [D, I.4.2-7],
volný faktorový modul [D, I.4.11].
(3.12.) Matice přechodu mezi volnými bázemi volného modulu konečného ranku.
Volba volné báze a obsah prvku volného modulu v oboru integrity hlavních ideálů [D, I.4.9].
Torzní část modulu, direktní rozklad konečně generovaného modulu na torzní
a volnou část [D, I.5.2-6]. Podmoduly volného modulu konečné hodnosti nad obory hlavních ideálů [D, I.4.10, I.6.2].
Rankt podmodulů [D, I.5.5], Direktní rozklady konečně generovaných modulů nad obory
hlavních ideálů na cyklické moduly s klesající posloupností anihilátorů [D, I.6.3].
(10.12.) Struktura konečně generovaných modulů: struktura p-modulů u[D, I.5.8]
ireducibilní direktní rozklad konečně generovaného modulu nad obory hlavních ideálů [D, I.5.11].
(17.12.) 7. Galoisova teorie podruhé.
Stupeň separability a separabilní rozšíření [D, II.2.1 - 4], existence ireducibilních neseparabilních polynomů [D, II.2.7].
Algebraická rozšíření perfektních těles jsou separabilní [D, II.2.8], separabilní rozšíření konečného stupně je jednoduché [D, II.3.1].
Chrakterizace normálních a Galoisových rozšíření [D, II.3.4-5].
Galoisova grupa a podtěleso pevných bodů [D, II.3.2, II.3.7-9],
Galoisova korespondence [D, II.4.3].
(7.1.) 8. Celistvá rozšíření a Dedekindovy obory. Norma, stopa, charakteristický polynom, jejich souvislost s minimálním polynomem
[D, II.5.1]. Výpočet a skládání normy a stopy [D, II.5.2-3]. Celistvé prvky a celistvá rozšíření [D, III.2.2-2.7].
Dedekindovy obory.
(14.1) Primární rozkladu ideálu Dedekindových oborů [D, III.4.2-4].
Struktura celistvých rozšíření Dedekindovy oborů, celistvě uzavřené podokruhy číselných těles [D, III.2.9-12, III.3.1-6].
Průběh cvičení
(15.10.) Prvoideály a maximální ideály v oborech hlavních ideálů.
Netriviální příklady provoideálů v Z[x] a v oborech polynomů více neznámých. Příklady oborů, které nejsou noetherovské
(29.10.) Použití Čínské věty o zbytcích. Lokalizace v celých číslech,
struktura svazu ideálů lokalizace celých čísel v prvoideálu.
Lokalizace v obecných komutativních okruzích: ekvivalence krácení, přirozený homomorfismus, příklady.
(12.11.) Výpočet odmocnin ideálů v okruzích celých čísel a polynomů jedné neurčité,
výpočet nilradikálu a Jacobsonova radikálu kvazilokálních okruhů, okruhů polynomů a faktorů oborů hlavních ideálů.
(26.11.) Homomorfismy a podmoduly volných Z-modulů konečného ranku,
Z-modul racionálních čísel Q: beztorzní, uniformní, nekonečně generovaný, není volný.
(10.12.) Direktní rozklady konečně generovaných Z-modulů.
Vektorové prostory s lineárním operátorem jako moduly nad okruhem polynomů.
(7.1.) Norma a stopa komplexního rozšíření reálných čísel a rozšíření racionálních čísel stupně 2.
(14.1.) Písemka.
[D] skripta A. Drápala,
[K] text Tomáše Kaisera,
[R] prezentace P. Růžičky,
[S] skripta D.Stanovského, Základy algebry, Matfyzpress, Praha 2010.
[SA] Text D.Stanovského o Axiomu výběru