Komutativní okruhy


Průběh přednášky

   (3.10.) Základní pojmy teorie komutativních okruhů. Zavedení modulů.
   (4.10.) Podmoduly, faktorové moduly. Noetherovské moduly a okruhy [D, I.1.5, I.1.6].
   (10.10.) Hilbertova věta o bázi [D, I.2.1], podobory Z[c] tělesa komplexních čísel, Gaussovo lemma [D, I.2.4].
   (11.10.) Gaussov věta [D, I.2.7], komaximální ideály, Čínská věta o zbytcích [D, I.3.3., I 3.4].
   (17.10.) Maximmální ideály, prvoideály a multiplikativní množiny [D, I.3.7], "odmocnina" z ideálu a prvoideály [D, I.3.12].
   (18.10.) Nilradikál a Jacobsonův radikál [D, I.3.14, I.3.15], direktní suma modulů, její vnitřní popis [D, I.4.1], volná báze volného modulu.
   (24.10.) Popis volné báze [D, I.4.4], hodnost volného modulu [D, I.4.7], volný faktorový modul [D, I.4.11].
   (25.10.) Obsah prvku volného modulu, souvislost s volbou volné báze a podmoduly v oboru integrity hlavních ideálů [D, I.4.9, I.4.10], torzní podmodul.
   (31.10.) Struktura konečně generovaný modulů nad obory hlavních ideálů [D, I.5.2 - I.5.7].
   (1.11.) Konečně generované p-moduly nad obory hlavních ideálů [D, I.5.8 - I.5.10].
   (7.11.) Existence a jednoznačnost dále nerozložitelných direktních rozkladů konečně generovaných modulů nad obory hlavních ideálů [I.5.11]. Podmoduly volného modulu konečné hodnosti nad obory hlavních ideálů jsou volné [D, I.6.2].
   (8.11.) Existence a jednoznačnost direktních rozkladů konečně generovaných modulů nad obory hlavních ideálů: na cyklické moduly s klesající posloupností anihilátorů [D, I.6.8]. Algebraická rozšíření a algebraické uzávěry těles [D, část II.1].
   (14.11.) Stupeň separability a separabilní rozšíření [D, II.2.1 - 4]
   (15.11.) Separabilní uzávěr [D, II.2.6], existence ireducibilních neseparabilních polynomů [D, II.2.7], separabilní rozšíření konečného stupně je jednoduché [D, II.3.1]
   (21.11.) Galoisovo rozšíření je právě rozkladové nadtěleso ireducibilního separabilního polynomu [II.3.4], normální uzávěr [D, II.3.5-6].
   (22.11.) Galoisova grupa a podtěleso pevných bodů [D, II.3.2, II.3.7-9], Galoisova korespondence a Hlavní věta Galoisovy teorie [D, II.4.3].
   (28.11.) Řešitelné grupy, Galoisova grupa polynomu x^n-a [R, 3.26-29]. Norma.
   (29.11.) Norma, stopa, charakteristický polynom, jejich souvislost s minimálním polynomem [D, II.5.1]. Výpočet a skládání normy a stopy [D, II.5.2-3].
   (5.12.) Stopa součinu prvků jako regulární bilineární forma a diskriminant [D, II.5.5-7]. Nealgebraické rozšíření těles [D, II.6.1].
   (6.12.) Algebraická nezávislost [D, II.6.2-4], Lemma o výměně [D, II.6.5], transcendentní báze [D, II.6.6]
   (12.12.) Stupeň transcendence [D, II.6.7-8], konečně generované algebry [D, II.7.1-7.5].
   (13.12.) Afinní K-algebry [D, II.7.7], Hilbertova věta o nulách [D, II.7.9].
   (19.12.) Prvoideály okruhu polynomů nad algebraicky uzavřeným tělesem [D, II.7.10]. Celistvé prvky [D, III.2.2-2.4].
   (20.12.) Celistvá rozšíření a uzávěry [D, III.2.5-2.12].
   (3.1.) Celistvě uzavřené obory, celistvá báze [D, III.3.3-3.8], Dedekindovy obory [D, III.4.1]
   (9.1.) Struktura Dedekindových oborů [D, III.4.2-4], noetherovská normalizace.
   (10.1.) Věta o normalizaci [D, VI.1.1-5].


[D] skripta A. Drápala,
[R] prezentace P. Růžičky,