Domácí úlohy z algebry, cvičení v pondělí od 12:20
Vypracovaný domácí úkol odevzdejte prosím (nejpozději) na následujícím cvičení.
- (12.10.)
Najděte pro každé prvočíslo p všechna celočíselná řešení rovnice
(x2)mod p = (y2)mod p
a dokažte, že se jedná o všechna řešení.
(2 body)
- (19.10.)
Najdete pro každé kladné celé číslo n monoid o n prvcích,
který obsahuje právě jeden invertibilní prvek.
(2 body)
- (26.10.)
Nechť (P, . ) je konečná pologrupa.
Dokažte, že v ní existuje prvek e splňující podmínku
e.e=e.
(2 body)
- (9.11.)
Dokažte pro každé přirozené n > 3, že
< (12), (12...n) > = Sn,
tj., že je symetrická grupa na n prvcích
generovaná jednou transpozicí a jedním n-cyklem.
(2 body)
--------------------
- (23.11.) Rozhodněte, zda pro grupu
(Z2xZ2,+,-,(0,0))
existuje věrná reprezentace stupně dva nad tělesem reálných čísel.
Své tvrzení dokažte.
(2 body)
- (30.11.) Najděte příklad množiny R opatřené operacemi
+, - , 0, . ,1, aby splňovala všechny axiomy
okruhu s výjimkou právě jedné distributivity. Dokažte.
(2 body)
- (7.12.)
Nechť T je těleso a n přirozené číslo.
Dokažte, že pro každou čtvrecovou matici A z okruhu
Mn(T) existuje matice B, pro niž
A.B.A = A.
(2 body)
- (14.12.)
Nechť X je konečná množina a I je ideál okruhu
P(X) všech podmnožin množiny X
(z okruhovou strukturou danou symetrickou
diferencí a průnikem, viz cvičení).
Dokažte, že je faktorový okruh P(X)/I izomorfní okruhu
P(Y) pro vhodnou (konečnou) množinu Y.
(2 body)