Předchozí téma

1. Rozhodnětě, zda je reálné matice B a B¹⁴⁷ regulární, jestliže
   

   B =	1 3 -3 1 1 3 2 7 5 -9 2 1 -1 2 0 1 2 2 1 -1 2 -1 3 2 7

   
   

Podle Věty 7.18 z přednášky stačí zjistit, zda je det(B) a det(B¹⁴⁷) nenulový. Determinant matice B jsme už spočítali (v příkladu 9 předchozí sekce): det(B) = -344, proto je B regulární matice. Dále podle Věty 7.21 je det(B¹⁴⁷) = det(B)¹⁴⁷, navíc det(B) je nenulový, právě když je det(B)¹⁴⁷ nenulový. Tedy i matice B¹⁴⁷ je regulární.



2. Rozhodněte, zda je nad tělesy Q, Z₅ a Z₇ regulární matice M a matice M⁶³¹, jestliže
   

   M =	3 1 2 2 1 2 2 1 4 2 1 1 3 3 3 2 1 1 4 1 1 3 2 1 3

   
   

I tentokrát nám samozřejmě stačí spočítat determinant, nejprve nad tělesem charakteristiky 0. Využijeme po úpravě rozvoj podle sloupce a řádky:

det M =   det

3 1 2 2 1 2 2 1 4 2 1 1 3 3 3 2 1 1 4 1 1 3 2 1 3

=   det

3 1 2 2 0 2 2 1 4 0 1 1 3 3 2 2 1 1 4 0 1 3 2 1 0

= 2.det

3 1 2 2 2 2 1 4 2 1 1 4 1 3 2 1

= 2.det

3 1 2 2 0 1 0 0 2 1 1 4 1 3 2 1

= 2.det

3 2 2 2 1 4 1 2 1

=   -22.

Tedy determinant matice M (a podle Věty 7.21 i matice M⁶³¹) je nenulový i nad Z₅, Z₇. Matice M a M⁶³¹ jsou tedy regulární nad tělesy Q, Z₅ i Z₇.



3. Spočítejte nad tělesem Z₅ a Z₇ determinant matice M⁶³¹, kde M je matice z předchozí úlohy.
   

Víme, že det(M⁶³¹) = det(M)⁶³¹. Navíc snadno dopočítáme (viz předchozí příklad), že det(M) = 3 nad tělesem Z₅ a det(M) = 6 nad tělesem Z₇. Stačí nám tedy spočítat 3⁶³¹ nad Z₅ a 6⁶³¹ nad Z₇. Všimněme si, že 3⁴ = 1 nad Z₅ a 6² = 1 nad Z₇. Proto

det(M⁶³¹) = (3⁴)¹⁵⁷.3³ = 2 nad Z₅ a det(M⁶³¹) = (6²)³¹⁵.6 = 6 nad Z₇.

3.12.



4. Rozhodněte pro která racinální a jsou regulární matice P(a), Q(a) a P(a)¹⁵.Q(a)⁷, jestliže.
   

   P(a) =

   1 1 0 a 1 a 1 a 0

   Q(a) =

   a -1 -1 a-1 1 1 a+1 1 0

   .

   
   

Nejprve spočítáme jejich determinanty:

det

1 1 0 a 1 a 1 a 0

= a - a2,

det

a -1 -1 a-1 1 1 a+1 1 0

= -(a+1) - (a-1) - [-(a+1) + a] = 1-2a.

Věta 8.4 z přednášky říká, že je matice regulární, právě když je její determinant nenulový. Determinaty matic P(a) a Q(a) už jsme spočítali, zbývá nám s využitím Věty 7.21 spočítat det(P(a)¹⁵.Q(a)⁷)= det(P(a))¹⁵.det(Q(a))⁷ = a¹⁵.(1-a)sup>15.(1-2a)⁷.

Nyní už snadno že, že matice P(a) je regulární, právě když a leží v R-{0, 1} a Q(a) je regulární, právě když a leží v R-{1/2} a P(a)¹⁵.Q(a)⁷(a) je regulární, právě když a leží v R-{0, 1/2, 1}.



5. Rozhodněte pro která x z tělesa Z₅ je matice A(x) singulární, jestliže.
   

   A(x) =

   2x x+3 2x+1 x+4 3x+2 3 x+1 x 4x

   .

   
   

Opět nejprve spočítáme determinant A(x), nejprve přičteme třetí sloupec k druhému a pak rozvedeme podle třetího řádku:

det

2x x+3 2x+1 x+4 3x+2 3 x+1 x 4x

=

2x 3x+4 2x+1 x+4 3x 3 x+1 0 4x

= (x+1).(4x2+x+2) + 4x.(3x2+4x+4) = x3+x2+4x+2.

Stejně jako v předchozí úloze potřebujeme najít x pro něž je hodnota det(A(x)) = x³+x²+4x+2 = 0, což snadno zjistíme zkusmo:

det(A(0)) = 2,
det(A(1)) = 1³+1²+4.1+2 = 3,
det(A(2)) = 2³+2²+4.2+2 = 2,
det(A(3)) = 3³+3²+4.3+2 = 0,
det(A(4)) = 4³+4²+4.4+2 = 3.

Zjistili jsme, že je matice A(x) singulární, právě když je x = 3.

9.12.

6. Jestliže existuje, najděte nad R matici B^-1, kde
   

   B =	1 2 1 -2 -3 1 2 4 3

   
   

   Využijeme Větu 8.8 z přednášky a budeme elementárními úpravami upravovat matici (B|E) tak, abychom dostali matici (E|C). Pokud se nám to podaří, bude matice C právě inverzní maticí k matici B:

   1 2 1 1 0 0 -2 -3 1 0 1 0 2 4 3 0 0 1

   ~

   1 2 1 1 0 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 -2 0 1

   ~

   1 2 0 3 0 -1 0 1 0 8 1 -3 0 0 1 -2 0 1

   ~

   1 0 0 -13 -2 5 0 1 0 8 1 -3 0 0 1 -2 0 1

   Zjistili jsme, že   B-1 =

   -13 -2 5 8 1 -3 -2 0 1

   .

   
   
7. Existuje-li, určete nad tělesem Z₇ matici A^-1, kde
   

   A =	1 2 4 3 2 6 1 0 5

   
   

   Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě:

   1 2 4 1 0 0 3 2 6 0 1 0 1 0 5 0 0 1

   ~

   1 0 5 0 0 1 0 2 5 0 1 4 0 2 6 1 0 6

   ~

   1 0 5 0 0 1 0 2 0 2 6 1 0 0 1 1 6 2

   ~

   1 0 0 2 5 5 0 1 0 1 3 4 0 0 1 1 6 2

   .

   Dostali jsme A-1 =

   2 5 5 1 3 4 1 6 2

   .

10.12.

8. Spočítejte součin reálných matic:
   

   2 3 1 1

   -1

   .

   1 3 1 -1 2 0 -1 2

   
   

   Rozšíříme matici vlevo (pro níž potřebujeme určit inverz) o matici vpravo a vzniklou matici budeme v souladu s výše odvozenou metodou upravovat tak, abychom vlevo dostali jednotkovou matici. Potom vpravo bude hledaný součin:

   2 3 1 3 1 -1 1 1 2 0 -1 2

   ~

   1 1 2 0 -1 2 2 3 1 3 1 -1

   ~

   1 1 2 0 -1 2 0 1 -3 3 3 -5

   ~

   1 0 5 -3 -4 7 0 1 -3 3 3 -5

   .

   Spočítali jsme, že

   2 3 1 1

   -1

   .

   1 3 1 -1 2 0 -1 2

   =

   5 -3 -4 7 -3 3 3 -5

   .

   
   
9. Spočítejte součin reálných matic B.A^-1, pokud
   

   A =

   3 4 2 3

   a   B =

   2 0 -1 3 1 2

   
   

   Předně si uvědomme, že (B.A^-1)^T = (A^-1)^T.B^T = (A^T)^-1.B^T. Nyní už můžemem stejným způsobem jako v minulém příkladu určit součin (A^T)^-1.B^T:

   3 2 2 -1 1 4 3 0 3 2

   ~

   12 8 8 -4 4 12 9 0 9 6

   ~

   3 2 2 -1 1 0 1 -8 13 2

   ~

   3 0 18 -27 -3 0 1 -8 13 2

   ~

   1 0 6 -9 -1 0 1 -8 13 2

   .

   Zjistili jsme, že (AT)-1.BT =

   6 -9 -1 -8 13 2

   , a proto B.A-1 = ((AT)-1.BT)T =

   6 -8 -9 13 -1 2

   .

   
   
10. Najděte nad tělesem Z₇ adjungovanou matici k maticím
    

    A =

    1 2 3 6

    ,    B =

    1 1 1 2

    ,    C =

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    ,    D =

    1 2 4 3 2 6 1 0 5

    
    

Postupujme nejprve podle definice, na i-tém řádku a v j-tém sloupci adjungované matice se nachází determinant původní matice, v níž vyškrtneme j-tý řádek a i-tý sloupec, vynásobený hodnotou (-1)^i+j:

adj(A) =

6 5 4 1

,    adj(B) =

2 6 6 1

,    adj(C) =

0 0 0 0 0 0 0 0 0

.

U poslední matice, o níž z příkladu 2 víme, že je regulární, můžeme využít Věty 8.12, která říká, že D.adj(D) = det(D).E, proto adj(D) = det(D).D^-1, tedy

adj(D) =   5.

2 5 5 1 3 4 1 6 2

=

3 4 4 5 1 6 5 2 3

.

16.12.



11. Vyřešte nad reálnými čísly soustavu rovnic Ax^T= (1,0,0)^T s reálným parametrem a pro matici
    

    A =	2a+1 a 2a a 1 a+1 2a 0 2a

    
    

Pro počítání použijeme Cramerovo pravidlo. Nejdříve určíme det A = 2a(a+1). To znamená, že Cramerovo pravidlo můžeme využít pro parametr a z množiny R-{0, -1} (tj. je-li matice A regulární). Dále určíme determinant matic A_i, které vzniknou z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran (1,0,0)^T:

det

1 a 2a 0 1 a+1 0 0 2a

= 2a,      det

2a+1 1 2a a 0 a+1 2a 0 2a

= 2a,      det

2a+1 a 1 a 1 0 2a 0 0

= -2a.

Podle Cramerova pravidla spočítáme hodnotu i-té neznámé jako x_i = det A_i/det A. Tedy x₁ = x₂ = 2a/(2a(a+1)) = 1/(a+1) a x₃ = -2a/(2a(a+1)) = -1/(a+1).

Konečně standardním postupem zjistíme, že soustava pro a= -1 nemá řešení a pro a = 0 leží všechna řešení v množině (1,0,0) + < (0,1,-1) >.



12. Najděte všechna reálná řešení soustavy rovnic s reálným parametrem a:

    ax + (a+3)y	= 2a+1
    (2a-1)x + (2a+1)y	= a

    
    

    Budeme opět postupovat pomocí Cramerova pravidla. Nejprve tedy spočítáme determinant matice levých stran a determinanty matice levých stran s nahrazeným sloupcem:

    det A =   det

    a a+3 2a-1 2a+1

    = 3-4a,      det A1, =   det

    2a+1 a+3 a 2a+1

    = 3a2+a+1,      det A2, =   det

    a 2a+1 2a-1 a

    = 1-3a2.

    Je-li a různé od 3/4, potom použitím Cramerova pravidla dostáváme x = (3a²+a+1)/(3-4a) a y = (1-3a²)/(3-4a). Konečně v případě, kdy x = 3/4 snadno zjistíme, že soustava nemá řešení.

1. Uvažujme reálný vektorový prostor R[x] všech polynomů. Dokažte, že první derivace ' tvoří homomorfismus R[x] do R[x]. Jak vypadá jádro Ker(')?
   
   

   Tvrzení, že (p+q)' = p' + q' a (c.p)' = c.p' je dokázáno na přednášce matematické analýzy pro každou dvojici diferencovatelných funkcí p a q a každou reálnou konstantu c. Tedy první derivace je homomorfismus. Snadno nahlédneme, že Ker(') obsahuje právě všechnny konstantní funkce.

17.12.

2. Nechť f je zobrazení Z₅³ do Z₅² dané předpisem f(v) = vA. Rozhodněte, zda jde o homomorfismus, je-li
   

   A =	4 1 2 1 2 3

   
   

Podle věty 4.7 z přednášky zobrazení dané násobením sloupcového vektoru (tedy matice nx1) maticí splňuje axiomy homomorfismu, tedy (u+v)A = uA+vA a (r.u).A = r.(uA).



3. Pro homomorfismus f z předchozího příkladu popište podprostory Ker f a Im f.
   

Připomeňme, že Ker f = {v| f(v)=0} = {v| Av^T=0}. Tedy Ker f je právě množina všech řešení homogenní soustavy s maticí A. Snadno spočítáme, že Ker f = < (2,0,1) >.

Vezmeme-li libovolnou generující množinu G vektorového prostoru Z₅³ (například kanonickou bázi), potom f(G) tvoří generující množinu podprostoru Im f = f(Z₅³). Vidíme, že f((1,0,0)) = (4,1)^T, f((0,1,0)) = (1,2)^T a f((0,0,1)) = (2,3)^T (tj. obrazy vektorů kanonické báze tvoří právě sloupce matice A). Zbývá si všimnout, že

< (4,1)^T, (1,2)^T, (2,3)^T > = Z₅².



4. Najděte matici homomorfismus f vzhledem ke kanonickým bázím.
   

Podle definice nejprve potřebujeme zjistit souřadnice vektorů f(e_i) vzhledem ke kanonické bázi:

{f(e₁)}_K2 = {(4,1)}_K2 = (4,1),
{f(e₂)}_K2 = {(1,2)}_K2 = (1,2),
{f(e₃)}_K2 = {(2,3)}_K2 = (2,3).

Nyní zbývá souřadnicové vektory uspořádat do sloupců matice homomorfismu vzhledem ke kanonickým bázím [f]_{K3 K2} = A^T (tedy homomorfismus jsme měli de facto zadaný právě maticí vzhledem ke kanonickým bázím).



5. Nechť g je zobrazení R² do R³ určené předpisem g((x₁,x₂))= (x₁+2x₂, 4x₁-x₂, 3x₂). Dokažte, že se jedná o homomorfismus.
   

Snadno zjistíme, že zobrazení lze vyjádřit jako součin matice a aritmetického vektoru, tedy jde (podle úvahy 2. příkladu) o homomorfismus:

g((x1,x2)) =

(x1,x2)

1 4 0 2 -1 2



6. Najděte matici vzhledem ke kanonickým bázím homomorfismu g z předchozí úlohy a určete dimenze jádra a obrazu daného homomorfismu.
   

Postupujeme stejně jako v 4. příkladu. Stačí tedy dosadit vektory kanonické báze do g a seřadíme je do sloupců matice:

[g]K2 K3 =

1 2 4 -1 0 2

Snadno nahlédneme, že matice [g]_{K2 K3} hodnost 2, proto soustava s maticí [g]_{K2 K3} má nulovou množinu řešení, tedy Ker g je nulový prostor. Využijeme-li nyní Větu 9.27, dostáváme, že dim(Im g) = dim(R²) - dim(Ker g) = 2-0 = 2.



7. Spočítejte matice [g]_{B K3} a [g]_BC pro homomorfismus g z předchozách dvou příkladů, je-li B = ((1,2), (1,1)) a C = ((1,1,1), (1,0,0), (1,1,0)).
   

Matici [g]_{B K3} můžeme určit přímo z definice, neboť g((1,2)) = {g((1,2))}_K3 = (5,2,6) g((1,1)) = {g((1,1))}_K3 = (3,3,3)

[g]B K3 =

5 3 2 3 6 3

.

Použijeme-li Věty 10.6 a 10.14 z přednášky, dostaneme [g]_{B C} = [1.g]_{B C} = [1]_{K3 C} . [g]_{B K3} = [1]_{C K3}^-1 . [g]_{B K3}, kde 1 značí identický homomorfismus (bez ohledu na vektorový prostor na němž operuje). Matici přechodu [1]_{C K3} od kanonické báze k bázi C přitom najdeme velmi snadno, tak, že do sloupců sepíšeme vektory báze C. Zbývá nám tedy dopočítat:

[g]B C = [1]C K3-1 . [g]B K3 =

1 1 1 1 0 1 1 0 0

-1

.

5 3 2 3 6 3

=

6 3 3 0 -4 0

.

6./7.1.



8. Mějme A=((1,4), (3,1)) bázi prostoru Z₇² a B=((1,1,2), (1,0,3), (6,0,5)) bázi prostoru Z₇³. Najděte matici homomorfismu h vzhledem k bázím A a B vektorového prostoru Z₇² do vektorového prostoru Z₇³, známe-li matici h vzhledem ke kanonickým bázím
   

   [h]K2 K3 =

   1 3 4 0 2 6

   
   

Dvojí aplikací Věty 10.6 z přednášky můžeme vyjádřit hledanou matici [h]_AB jakou součin matic:

[h]_AB = [1]_{K3 B} [h]_{A K3} = [1]_{K3 B} [h]_{K2 K3} [1]_{A K2},

kde 1 označuje identický homomorfismus bez ohledu na nosný vektorový prostor. Snadno určíme přímo podle definice matice přechodu od kanonické báze k bázi A resp. B (tj. do sloupečků sepíšeme bázi A resp. B):

[1]A K2 =

1 3 4 1

[1]B K3 =

1 1 6 1 0 0 2 3 5

Konečně zbývá uvážit, že [1]_{B K3} [1]_{S3 B} = I₃, tedy [1]_{K3 B} = [1]_{B K3}^-1. Dokončení úlohy už je jen rutinním počítáním s maticemi:

[h]A B =

1 1 6 1 0 0 2 3 5

-1

.

1 3 4 0 2 6

.

1 3 4 1

=

1 1 6 1 0 0 2 3 5

-1

.

6 6 4 5 5 5

.

Hledaný součin matic dopočítáme obvyklým způsobem:

1 1 6 6 6 1 0 0 4 5 2 3 5 5 5

~

1 0 0 4 5 0 1 6 2 1 0 3 5 4 2

~

1 0 0 4 5 0 1 6 2 1 0 0 1 5 6

~

1 0 0 4 5 0 1 0 0 0 0 0 1 5 6

.

Zjistili jsme, že [h]A B =

4 5 0 0 5 6

.



9. Najděte vektor F((1,0,2)) pro homomorfismsus F aritmetického vektorového prostoru Z₃³ do aritmetického vektorového prostoru Z₃² daný maticí vzhledem k bázím A = ((1,1,1), (1,0,1), (1,1,0)), B = ((1,2), (1,1)):
   

   [F]AB =

   1 1 0 2 1 1

   
   

   Víme-li, že souřadnice vektoru F((1,0,2)) vzhledem k bázi B dostaneme jako součin

   [F((1,0,2)]_B = [(1,0,2)]_A [F]_{A B}^T,

   stačí nám najít souřadnice [(1,0,2)]_A = (1,1,2), tedy [F((1,0,2))]_B = (2,2). Konečně dopočítáme, že F((1,0,2) = 2.(1,2) + 2.(1,1) = (1,0).

   
   
10. Najděte maticí vzhledem ke kanonickým bázím homomorfismu F z předchozího příkladu.
    

    Postupujeme standardním cestou s využitím Věty 10.6 (či speciální Věty 10.13):

    [F]K3 K2 = [1]B K2.[F]A B.[1]K3 A =

    1 1 2 1

    .

    1 1 0 2 1 1

    .

    1 1 1 1 0 1 1 1 0

    -1

    =

    0 1 2 0 1 0

    .

    
    
11. Rozhodněte, zda existuje homomorfismus g (a zda je případně určen jednoznačně) aritmetického vektorového prostoru Z₇³ do Z₇⁴ splňující podmínky:
    a) g((1,3,1)) = (0,2,1,0), g((5,6,0)) = (1,1,1,5) a g((1,1,0)) = (3,4,6,0).
    b) g((1,3,1)) = (0,2,1,0), g((5,6,0)) = (1,1,1,5) a g((3,3,2)) = (4,4,5,2).
    c) g((1,3,1)) = (0,2,1,0), g((5,6,0)) = (1,1,1,5) a g((3,3,2)) = (3,0,5,1).
    

    a) Všimněme si, že posloupnost ((1,3,1), (5,6,0), (1,1,0)) tvoří bázi Z₇³. Aplikujeme-li Větu 9.22, zjišťujeme, že homorfismus rozšiřující zobrazení na bázi existuje právě jeden, tedy homomorfismus g splňující dané podmínky existuje a je určen jednoznačně.

    b) Tentokrát obvyklým způsobem nahlédneme, že posloupnost vektorů ((1,3,1), (5,6,0), (3,3,2)) je lineárně závislá, konkrétně (3,3,2) = 2.(1,3,1)+3.(5,6,0). Kdyby existoval homomorfismus s požadovanými vlastnostmi, muselo by (podle definice) platit:

    (4,4,5,2) = g((3,3,2)) = g(2.(1,3,1)+3.(5,6,0)) = 2.g((1,3,1)) + 3.g((5,6,0)) = 2.(0,2,1,0) + 3.(1,1,1,5) = (3,0,5,1).

    To samozřejmě neplatí, proto takový homomorfismus g neexistuje.

    c) Nyní vidíme, že posloupnost ((1,3,1), (5,6,0)) je lineárně nezávislá a podmínka g((3,3,2)) = g(2.(1,3,1)+3.(5,6,0)) = 2.(0,2,1,0)+3.(1,1,1,5) = (3,0,5,1) je splněna, tedy podmínka g((3,3,2)) = (3,0,5,1) plyne z prvních dvou podmínek a z toho, že g má být homomorfismus. Doplníme-li nyní posloupnost ((1,3,1), (5,6,0)) na bázi B například vektorem (1,0,0) a vektor (1,0,0) zobrazíme na libovolný vektor (a,b,c,d) prostoru Z₇⁴, pak podle Věty 9.22 existuje (právě jeden) homomorfismus g splňující dané podmínky. Homomorfismus splňující původní podmínky tedy určen jednoznačně není: vidíme, že existuje právě 7⁴ takových homomorfismů.

    
    
12. Najděte matici endomorfismus f vektorového prostoru R² vzhledem ke kanonické bázi, víte-li, že f((1,2)) = (3,0) a f((2,1)) = (3,3).
    

    Protože B=((1,2), (2,1)) tvoří bázi R², víme, že daná podmínka určuje homomorfismus f jednoznačně a přímo z definice dostaneme matici

    [f]B K2 =

    3 3 0 3

    .

    Dále postupujeme obvyklým způsobem, tj.

    [f]K2 = [f]K2 K2 = [f]B K2 . [1]K2 B = [f]B K2 . [1]B K2-1 =

    3 3 0 3

    .

    1 2 2 1

    -1

    =

    1 1 2 -1

    .

    
    
13. Najděte matici ve vektorovém prostoru Z₃² matici přechodu od báze M = ((2,1), (1,1)) k bázi N = ((1,1), (0,1))
    

    Uvědomíme si, že matice přechodu od báze M k bázi N je právě maticí [1]_NM identického homomorfismu vzhledem k bázím N a M. Nyní opět použíjeme Větu 5.6, abychom dostali:

    [1]NM = [1]K2 M . [1]N K2 = [1]K2 M-1 . [1]N K2 = =

    2 1 1 1

    -1

    .

    1 0 1 1

    =

    0 2 1 2

    .

    
    
14. Mějme f homomorfismus vektorového prostoru Z₃³ do vektorového prostoru Z₃² a g homomorfismus Z₃² do Z₃² vše nad tělesem Z₃. Označme báze A = ((1,1,1), (1,0,1), (1,1,0)), B = ((1,2), (1,1)), K₂ kanonickou bázi Z₃² a K₃ kanonickou bázi Z₃³. Určete matici [gf]_{K3 K2} homomorfismu gf vzhledem k bázím K₃ a K₂, víte-li, že
    

    [f]AB =

    1 1 0 2 1 1

    [g]K2 K2 =

    1 1 1 0

    
    

    Při počítání několikrát využijeme větu o matici složeného lineárního zobrazení (10.6):

    [gf]_{K3 K2} = [g]_{K2 K2} [f]_{K3 K2} = [g]_{K2 K2} [1]_{B K2} [f]_{A B} [1]_{K3 A}.

    Matice [g]_{K2 K2} i [f]_{A B} přitom známe a matice přechodu od kanonické báze k bázi A resp. B zjistíme velmi snadno (souřadnice jednotlivých bázických vektorů vzhledem ke kanonické bázi, tj. přímo dané aritmetické vektory, umístíme do sloupců matice přechodu):

    [1]B K2 =

    1 1 2 1

    ,     [1]A K3 =

    1 1 1 1 0 1 1 1 0

    .

    Uvážíme-li nakonec, že [1]_{K3 A} = [1]_{A K3}^-1, zbývá nám dopočítat součin matic:

    [gf]K3 K2 =

    1 1 1 0

    .

    1 1 2 1

    .

    1 1 0 2 1 1

    .

    1 1 1 1 0 1 1 1 0

    -1

    =

    1 2 2 0 2 1

    .

    1 1 1 1 0 1 1 1 0

    -1

    Spočítali jsme, že [gf]K3 K2 =

    0 2 2 0 1 2

    .

13./14.1.

1. Dokažte, že zobrazení f ze Z₇⁴ do Z₇ definované předpisem f((x₁,x₂,x₃,x₄)) = 2x₁ + 3x₂ + 4x₄ a najděte souřadnice f vzhledem ke standardní bázi a vzhledem k bázi B = ((1,1,1,1), (2,0,2,2), (1,1,0,1), (4,4,4,0)).
   

   Neboť f(v) dostaneme jako součin vektoru v a sloupcového vektoru (2,3,0,4)^T, jdo o homomorfismus vektorového prostoru Z₇⁴ do Z₇¹=Z₇, tj. (přímo podle definice) jde o lineární formu na prostoru Z₇⁴.

   Souřadnice f vzhledem k jakékoli bázi dostaneme dosazením jednotlivých bázických vektorů a jejich seřazením do řádku, tedy

   {f}_K4 = (2,3,0,4) a {f}_B = [f]_B(1) = (2,5,2,6).

   
   
2. Najděte duální bázi ke kanonické bazi K₄ vektorového prostoru Z₇⁴ (určete analytické vyjádření příslušných lineárních forem).
   
   

   Označme (f₁, f₂, f₃, f₄) hledanou duální bázi. Z definice víme, že f_i (e_j) = 0, je-li i různé od j, a f_i (e_i)= 1. Snadno nahlédneme, že takovou podmínku splňují právě lineární formy f_i((x₁,x₂,x₃,x₄)) = x_i.

   
   
3. Najděte souřadnice lineární formy f chápané jako vektor duálního vektorového prostoru vzhledem duální bázi ke kanonické bazi a vzhledem k duální bázi k bázi B, kde f a B bereme z 1. příkladu.
   

   Označme K₄^*, respektive B^* duální báze k bázím K₄ a B. Nejprve přímo podle definice a předchozí úlohy vidíme, že {f}_K4* = (2,3,0,4). Využijeme-li dále Větu 11.7 z přednášky, pak snadno určíme souřadnice lineární formy vzhledem k duální bázi B^* bez toho, že bychom B^* museli hledat, neboť platí {f}_B* = {f}_B = (2,5,2,6).

   
   
4. Mějme bázi B=((1,0,1), (3,2,2), (2,0,4)) vektorového prostoru Z₅³. Určete analytické vyjádření lineárních forem duální báze k bázi B.
   

   Potřebujeme najít souřadnice linárních forem duální báze vzhledem ke kanonické bázi, z nichž už snadno dostaneme analytický tvar. Označme B^*=(f₁, f₂, f₃) duální bázi k bázi B a souřadnice forem:

   {f_i}_K3 = (a_i1, a_i2, a_i3).

   Uvědomme si, že požadavek na duální bazi lze v maticovém zápisu vyjádřit následovně:

   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

   1 3 2 0 2 0 1 2 4

   =

   1 0 0 0 1 0 0 0 1

   .

   Hledáme tedy obvyklým způsobem inverzní matici ke známé matici, snadno spočítáme, že

   {f1}K3 {f2}K3 {f3}K3

   =

   1 3 2 0 2 0 1 2 4

   -1

   =

   2 3 4 0 3 0 2 4 3

   .

   Zbývá sepsat analytické vyjádření forem: f₁(x,y,z) = 2x+3y+ 4z , f₂(x,y,z) = 3y, f₃(x,y,z) = 2x+4y+3z.

   
   
5. Mějme bázi M=((1,-1), (-1,2)) aritmetického vektorového prostoru R². Najděte souřadnice vzhledem k M a vzhledem ke kanonické bázi lineárních forem duální báze k bázi M.
   

   Označme M^*=(g₁, g₂) duální bázi k bázi M. Okamžitě z definice vidíme, že {g₁}_M = (1,0) a {g₂}_M = (0,2) (tedy souřadnice jsou právě vektory kanonické báze).

   Při hledání souřadnic {g_i}_K2 můžeme postupovat stejně jako v předchozím příkladu nebo podle Věty 11.9. V obou případech nám zbývá najít inverzní matici:

   {g1}K2 {g2}K2

   =

   1 -1 -1 2

   -1

   =

   2 1 1 1

   .

   Tedy {g₁}_K2 = (2,1) a {g₂}_K2 = (1,1).

   
   
6. Uvažujme h₁(x) = 4x₂+4x₃, a h₂(x) = 4x₁+2x₂+x₃ h₃(x) = 3x₁+3x₂ lineární formy na vektorovém prostoru Z₅³. Ověřte, že (h₁, h₂, h₃) tvoří bázi duálního vektorového prostoru, a najděte bázi B prostoru Z₅³ tak, aby (h₁, h₂, h₃) byla duální bází k bázi B.
   

   Řešíme duální úlohu k předchozím dvěma příkladům. Známe tentokrát souřadnice lineárních forem vzhledem ke kanonické bázi a potřebujeme najít vektory u_i tak, aby součin u_i{g_j}_K3^T byl roven 0 (pro i různé) od j nebo 1 (pro i=j), což snadno vyjádříme pomocí matic:

   {u1}K3 {u2}K3 {u3}K3

   ({g1}K3T| {g2}K3T| {g3}K3T)

   =

   {u1}K3 {u2}K3 {u3}K3

   0 4 3 4 2 3 4 1 0

   =

   1 0 0 0 1 0 0 0 1

   .

   Tedy opět se úkol redukuje na nalezení inverzní matice. Navíc teprve při hledání inverzní matice můžeme zodpovědět otázku existence báze B, pokud by neexistovala inverzní matice k dané matici (tj. pokud by souřadnice lineárních forem h_i byly lineárně závislé), pak by lineární formy h_i netvořili bázi, v opačném případě bází budou. Dopočítáme tedy:

   {u1}K3 {u2}K3 {u3}K3

   =

   0 4 3 4 2 3 4 1 0

   -1

   =

   2 3 1 2 3 2 1 1 4

   .

   Zjistili jsme, že u₁ = (2,3,1), u₂ = (2,3,2) a u₃ = (1,1,4) a (h₁, h₂, h₃) je duální bází vzhledem k bázi (u₁, u₂, u₃).