Definice. Nechť K je těleso charakteristiky p a nechť p ∤ n. Pak libovolný generátor E^{(n)} nazýváme primitivní n-tá odmocnina z 1 nad K.

Poznámka. Je-li ξ generátor E^{(n)}, pak E^{(n)} = {1, ξ, ξ^{2}, …, ξ^{n−1}}. Platí, že ξ^{s} je také generátor E^{(n)} právě tehdy, když NSD(s, n) = 1. Tedy pokud p = char T nedělí n, pak existuje φ(n) primitivních n-tých odmocnin z 1 nad K.

Definice. Nechť K je těleso charakteristiky p, p ∤ n a ξ je primitivní n-tá odmocnina z 1. Pak polynom

Q_{n}(x) = ∏_{\begin{matrix}0≤s<n \\ NSD (s,n)=1 \end{matrix}} (x − ξ^{s})

se nazývá n-tý cyklotomický polynom nad K.

Poznámka. Polynom Q_{n}(x) je nezávislý na výběru ξ, stupeň Q_{n}(x) je φ(n) a koeficienty leží v K^{(n)}.

Věta 5.2. Nechť K je těleso charakteristiky p, n > 0 je celé číslo nesoudělné s p. Pak platí

(1) x^{n} − 1 = ∏_{d|n} Q_{d}(x)

(2) koeficienty Q_{n}(x) leží v prvotělese tělesa K. Je-li p = 0, pak koeficienty

Q_{n}(x) jsou celá čísla. V K^{(n)} platí x^{n} − 1 = ∏_{ξ∈E^{(n)}} (x − ξ)

Důkaz. (1) Libovolný prvek ξ ∈ E^{(n)} je primitivní d-tá odmocnina z 1 pro nějaké d|n. Je tomu tak proto, že každý prvek ξ ∈ E^{(n)} má řád d pro nějaké d|n, platí tedy ξ^{d} − 1 = 0. Tedy ξ je d-tá odmocnina z 1 a je primitivní. Takže platí x − ξ dělí Q_{d}(x) a proto x^{n} − 1 = ∏_{d|n} Q_{d}(x).

(2) Budeme postupovat indukcí dle n. Platí,že Q_{1}(x) = x − 1 má koeficienty v prvotělese tělesa K. Nechť tvrzení platí pro všechna d < n. Pak z rovnosti x^{n} − 1 = ∏_{d|n} Q_{d}(x) spočteme

Q_{n}(x) = \frac{x^{n} − 1}{∏\begin{matrix}d|n \\ d<n \end{matrix} Q_{d}(x)}

Čitatel i jmenovatel zlomku mají koeficienty v prvotělese tělesa K. Pomocí dělení polynomů se zbytkem dostaneme, že i Q_{n}(x) má koeficienty v prvotělese tělesa K.

V případě p = 0 jsou koeficienty Q_{1}(x) celočíselné. Indukční předpoklad je, že koeficienty Q_{d}(x) jsou celočíselné pro každé d < n. Z rovnosti

Q_{n}(x) = \frac{x^{n} − 1}{∏\begin{matrix}d|n \\ d<n \end{matrix} Q_{d}(x)}

pak vyplývá pomocí indukčního předpokladu, že také koeficienty Q_{n}(x) celočíselné, neboť každý polynom Q_{d}(x) pro d < n je monický a v procesu dělení se zbytkem jsou všechny koeficienty stále celočíselné.

□

Poznámka. Ve Věte 5.2 (1), je-li char K = 0, pak je to rozklad na ireducibilní činitele, tj. všechny plynomy Q_{d}(x) jsou ireducibilní nad K. V tělese nenulové charakteristiky to tak být nemusí.

Příklad. Spočtěte Q_{r}(x) pro r prvočíslo.

Podle Věty 5.2 (1) dostáváme x^{r} − 1 = Q_{1}(x) · Q_{r}(x). Víme, že Q_{1}(x) = x − 1. Tedy

Q_{r}(x) = \frac{x^{r} − 1}{x − 1} = x^{r−1} + x^{r−2} + … + x + 1

Příklad. Spočtěte Q_{r^{k}}(x) pro r prvočíslo a k nezáporné celé číslo.

Protože r je prvočíslo, všechny dělitelé r^{k} jsou r^{0} = 1, r^{1} = r, r^{2}, r^{3}, …, r^{k−1}, r^{k}. Podle Věty 5.2 (1) tedy platí

x^{r^{k}} − 1 = Q_{1}(x) · Q_{r}(x) · Q_{r^{2}}(x) · . . . · Q_{r^{k−1}}(x) · Q_{r^{k}}(x)

Všimněme si, že platí x^{r^{k−1}} − 1 = Q_{1}(x) · Q_{r}(x) · Q_{r^{2}}(x) · . . . · Q_{r^{k−1}}(x). Tedy

Q_{r^{k}}(x) = \frac{x^{r^{k}} − 1}{x^{r^{k−1}} − 1} = x^{(r−1).r^{k−1}} + x^{(r−2).r^{k−1}} + … + x^{r^{k−1}} + 1

Věta 5.3. n-té cyklotomické rozšíření tělesa K je jednoduchým algebraickým rozšířením tělesa K určeným vhodným ireducibilním polynomem z K[x].

Nechť K = F_{q} a NSD(q, n) = 1. Potom se Q_{n}(x) rozkládá na součin \frac{φ(n)}{d} různých monických ireducibilních polynomů téhož stupně d, K^{(n)} je rozkladové rozšíření tělesa K určené libovolným ireducibilním faktorem Q_{n} v K[x] a dim_{K} K^{(n)} = d, kde d je nejmenší kladné přirozené číslo takové, že q^{d} ≡ 1 mod n.

Důkaz. Pokud char K ∤ n, vezměme primitivní n-tou odmocninu z 1 a označme ji ξ. Nejmenší podtěleso K^{(n)} obsahující K a ξ musí obsahovat všechny prvky {1, ξ, ξ^{2} …, ξ^{n−1}}. Ty jsou navzájem různé a tvoří všechny kořeny polynomu x^{n}−1. Tedy polynom x^{n} − 1 se rozkládá na součin lineárních činitelů nad nejmenším podtělesem tělesa K^{(n)} obsahujícím K a ξ. Protože K^{(n)} je rozkladové rozšíření K určené polynomem x^{n} − 1, platí, že K^{(n)} je nejmenší podtěleso K^{(n)} obsahující K a ξ. Vezměme minimální polynom prvku ξ nad K a označme jej f. Potom K^{(n)} je kořenovým rozšířením K určeným f.

Pokud p = char K | n, vezmeme rozklad n = m · p^{l}, kde p ∤ m. Pak K^{(n)} = K^{(m)}, char K ∤ m a K^{(m)} je jednoduché algebraické rozšíření K určené vhodným polynomem podle předchozího odstavce.

Zbývá dokázat druhou část věty. Nechť K = F_{q} a NSD(q, n) = 1. Buď ξ primitivní n-tá odmocnina z 1. Prvek ξ leží v tělese F_{q^{k}} právě tehdy, když platí ξ^{q^{k}−1} = 1, což je ekvivalentní n|q^{k} − 1, tedy q^{k} ≡ 1 mod n. Nechť d je nejmenší k > 0, pro které to platí. Pak platí ξ ∈ F_{q^{d}} a neleží v žádném vlastním podtělese F_{q^{d}}. Tedy minimální polynom ξ nad F_{q} má stupeň d. Minimální polynom ξ nad F_{q} je ireducibilní nad F_{q}. Protože to platí pro libovolnou primitivní n-tou odmocninu z 1 nad F_{q}, rozkládá se Q_{n}(x) na součin ireducibilních polynomů stupně d a těch je \frac{φ(n)}{d}. □

Příklad. Buď K = F_{11}. Spočtěte Q_{12}(x). Dále spočtěte nejmenší d, pro které platí 11^{d} ≡ 1 mod 12.

Podle Věty 5.2 platí

x^{12} − 1 = Q_{1}(x) · Q_{2}(x) · Q_{3}(x) · Q_{6}(x) · Q_{4}(x) · Q_{12}(x)

Z Věty 5.2 taktéž víme, že Q_{1}(x)·Q_{2}(x)·Q_{3}(x)·Q_{6}(x) = x^{6} −1 a Q_{4} = x^{2} +1. Tedy x^{12} − 1 = Q_{1}(x) · Q_{2}(x) · Q_{3}(x) · Q_{6}(x) · Q_{4}(x) · Q_{12}(x) = (x^{6} − 1)(x^{2} + 1) · Q_{12}(x) = (x^{8} + x^{6} − x^{2} − 1) · Q_{12}(x) a proto

Q_{12}(x) = \frac{x^{12} − 1}{x^{8} + x^{6} − x^{2} − 1} = x^{4} − x^{2} + 1

Hledané d spočteme podle Věty 5.3. Platí NSD(11, 12) = 1 a podle Věty 5.3 se Q_{12}(x) rozkládá na součin \frac{φ(12)}{d} různých monických polynomů téhož stupně d. Platí Q_{12}(x) = x^{4} − x^{2} + 1 = (x^{2} + 5x + 1)(x^{2} − 5x + 1). Jelikož Q_{12}(x) se rozkládá na 2 polynomy stupně 2, je d = 2. Platí taky d = \frac{φ(12)}{2} = \frac{4}{2} = 2. Tedy F_{11}^{(12)} = F_{11^{2}} .