Je-li α_{1}, …, α_{m} báze F = F_{q^{m}} nad K = F_{q}, potom libovolný prvek α ∈ F_{q^{m}} můžeme vyjádřit jednoznačně ve tvaru

α = c_{1}(α) · α_{1} + c_{2}(α) · α_{2} + … + c_{m}(α) · α_{m}

kde c_{i}(α) ∈ F_{q} pro i = 1, …, m.

Každé zobrazení c_{i}(α) : F_{q^{m}} → F_{q} je lineární funkcionál. Pro každé i = 1, …, m existuje β_{i} ∈ F_{q^{m}} takové, že

c_{i}(α) = Tr_{F/K} (αβ_{i})

Je-li α = α_{j}, pak

c_{i}(α_{j}) = δ_{ij} = \{ \begin{matrix}0, & i ≠ j \\ 1, & i = j. \end{matrix}

Tedy Tr_{F/K} (α_{j}β_{i}) = δ_{ij}.

Posloupnost β_{1}, …, β_{m} je lineárně nezávislá nad F_{q}, neboť z rovnosti

d_{1}β_{1} + … + d_{m}β_{m} = 0

pro d_{1}, …, d_{m} ∈ F_{q} plyne pro každé j = 1, …, m

d_{1}β_{1}α_{j} + … + d_{m}β_{m}α_{j} = 0,
Tr_{F/K} (d_{1}β_{1}α_{j} + … + d_{m}β_{m}α_{j}) = 0,
d_{1}Tr_{F/K} (β_{1}α_{j}) + … + d_{m}Tr_{F/K} (β_{m}α_{j}) = 0
d_{j} · 1 = 0.

Proto β_{1}, …, β_{m} je opět báze F_{q^{m}} nad F_{q}.

Definice. Báze β_{1} …, β_{m} se nazývá duální báze k bázi α_{1}, …, α_{m} v F_{q^{m}} nad F_{q}.

Poznámka. Duální báze k bázi α_{1}, …, α_{m} je určena jednoznačně bází α_{1}, …, α_{m}. To plyne ze vztahu c_{i}(α) = Tr_{F/K} (αβ_{i}). Proto duální báze k bázi β_{1}, …, β_{m} je původní báze α_{1}, …, α_{m}.

Příklad. Nechť F_{8} ⊇ F_{2} je kořenové rozšíření F_{2} určené polynomem f(x) = x^{3} + x^{2} + 1 ∈ F_{2}[x]. Buď α ∈ F_{8} kořen f(x). Uvažujme prvky α, α^{2}, α^{3} = α^{2} + 1, α^{4} = α(α^{2}+1) = α^{3}+α = α^{2}+α+1, α^{5} = α(α^{2}+α+1) = α^{3}+α^{2}+α = α^{2}+1+α^{2}+α = α + 1, α^{6} = α(α + 1) = α^{2} + α, α^{7} = 1.

Prvky α, α^{2}, α^{4} tvoří bázi F_{8} nad F_{2}. Ukážeme, že β_{1} = α, β_{2} = α^{2}, β_{3} = α^{2} + α + 1 je duální báze k α, α^{2}, α^{2} + α + 1. Plyne to z následujících rovností.

Tr(α_{1}β_{1}) = Tr(αα) = Tr(α^{2}) = α^{2} + α^{4} + α^{8} = α^{2} + α^{2} + α + 1 + α = 1.

Tr(α_{1}β_{2}) = Tr(αα^{2}) = Tr(α^{3}) = α^{3} + α^{6} + α^{12} = α^{2} + 1 + α^{2} + α + α + 1 = 0.

Analogicky dál.

Definice. Báze F_{q^{m}} nad F_{q} tvaru α, α^{q}, α^{q^{2}} …, α^{q^{m−1}} pro nějaké α ∈ F_{q^{m}} se nazývá normální báze F_{q^{m}} nad F_{q}.

Věta 4.8. Je-li F_{q^{m}}rozšíření F_{q}, pak existuje v F_{q^{m}} nad F_{q} normální báze. Dokonce existuje normální báze tvořená primitivními prvky F_{q^{m}}.

Definice. Nechť F = F_{q^{m}} ⊇ F_{q} = K a α_{1}, …, α_{m} ∈ F. Označme B = (Tr_{F/K} (α_{i}, α_{j}))_{i,j}. Čili B je čtvercová matice řádu m, která má na místě (i, j) prvek Tr_{F/K} (α_{i}, α_{j}). Pak Δ_{F/K} (α_{1}, …, α_{m}) = detB se nazývá diskriminant α_{1}, …, α_{m} nad F_{q}.

Věta 4.9. Prvky α_{1}, …, α_{m} ∈ F tvoří bázi F = F_{q^{m}} nad K = F_{q} právě tehdy, když Δ_{F/K} (α_{1}, …, α_{m}) ≠ 0.

Důkaz. (⇒) Nechť α_{1}, …, α_{m} je báze F nad K. Ukážeme, že řádky matice B jsou lineárně nezávislé. Je-li d_{1}·Tr_{F/K} (α_{1}α_{j})+d_{2}·Tr_{F/K} (α_{2}α_{j})+…+d_{m}·Tr_{F/K} (α_{m}α_{j}) = 0 pro nějaké d_{1}, …, d_{m} ∈ K a každé j = 1, …, m, pak platí

Tr_{F/K} ((d_{1}α_{1} + … + d_{m}α_{m}) · α_{j}) = 0

pro j = 1, …, m. Označme si β = d_{1}α_{1} + … + d_{m}α_{m}. Tedy Tr_{F/K} (βα_{j}) = 0 pro j = 1, …, m. Protože α_{1}, …, α_{m} je báze F nad K, plyne odtud Tr_{F/K} (βα) = 0 pro libovolné α ∈ F_{q^{m}}. Proto β = 0, neboli d_{1}α_{1} + … + d_{m}α_{m} = 0. Protože α_{1}, …, α_{m} je báze F nad K, platí d_{1} = d_{2} = … = d_{m} = 0.

(⇐) Nechť Δ_{F/K} (α_{1}, …, α_{m}) ≠ 0 a c_{1}α_{1}+…+c_{m}α_{m} = 0 pro nějaké c_{1}, …, c_{m} ∈ K. Pak platí c_{1}α_{1}α_{j} + … + c_{m}α_{m}α_{j} = 0 pro libovolné j = 1, …, m. Proto 0 = Tr_{F/K} (c_{1}α_{1}α_{j} + … + c_{m}α_{m}α_{j}) = c_{1} · Tr_{F/K} (α_{1}α_{j}) + … + c_{m} · Tr_{F/K} (α_{m}α_{j}) pro j = 1, …, m. Tedy lineární kombinace řádků matice B s koeficienty c_{1}, …, c_{m} se rovná 0. Protože detB = Δ_{F/K} (α_{1}, …, α_{m}) ≠ 0, jsou řádky matice B lineárně nezávislé a proto c_{1} = … = c_{m} = 0. Tedy α_{1}, …, α_{m} jsou lineárně nezávislé nad K a tvoří bázi F nad K. □

Označme si nyní

A = ( α_{1}  α_{2} … α_{m} ; α_{1}^{q}  α_{2}^{q} … α_{m}^{q} ; ⋮ ; α_{1}^{q^{m−1}} α_{2}^{q^{m−1}} … α_{m}^{q^{m−1}} ) = (α_{j}^{q^{i−1}} )_{i,j}

Platí Tr_{F/K} (α_{i}α_{j}) = α_{i}α_{j} + α_{i}^{q}α_{j}^{q} + … + α_{i}^{q^{m−1}} α_{j}^{q^{m−1}} . Proto platí A^{T} · A = B a tedy detB = (detA)^{2}.

Důsledek 4.10. Prvky α_{1}, …, α_{m} tvoří bázi F nad K právě tehdy, když detA ≠ 0.

5. Odmocniny z 1 a cyklotomické polynomy

Definice. Je-li K libovolné těleso, pak rozkladové rozšíření K určené polynomem x^{n}−1 ∈ K[x] se nazývá n-té cyklotomické těleso nad K a označuje se K^{(n)}. Množina všech kořenů polynomu x^{n} − 1 v K^{(n)} se označuje E^{(n)}.

Věta 5.1. Nechť n > 0 a K je těleso charakteristiky p. Pak platí

(1) pokud p ∤ n, pak E^{(n)} je cyklická podgrupa řádu n multiplikativní grupy (K^{(n)})^{∗} tělesa K^{(n)},

(2) pokud p|n a n = p^{l}m, kde p ∤ m, pak K^{(n)} se rovná K^{(m)} a kořeny polynomu x^{n} − 1 jsou prvky E^{(m)}, každý s násobností p^{l}.

Důkaz. (1) Platí, že x^{n} − 1 a nx^{n} − 1 nemají společný kořen v K[n], tedy jsou v K[x] nesoudělné a x^{n} − 1 nemá žádný vícenásobný kořen. Tedy E^{(n)} obsahuje přesně n prvků.

Jsou-li ξ, μ ∈ E^{(n)}, pak (ξμ)^{n} = ξ^{n}μ^{n} = 1. Protože ξ je kořen x^{n} − 1, platí ξ^{n} = 1. Proto (ξ^{−1})^{n} = 1.(ξ^{−1})^{n} = ξ^{n}.(ξ^{−1})^{n} = 1^{n} = 1. Tedy E^{(n)} je podgrupa (K^{(n)})^{∗}.

Nechť n = p_{1}^{l_{1}} · . . . · p_{t}^{l_{t}} rozklad na prvočinitele. Pak pro každé i = 0, …, t

existuje prvek a_{i} ∈ E^{(n)}, pro který platí ai^{\frac{n}{p_{i}}} ≠ 1. Potom prvek b_{i} = ai^{\frac{n}{p{l_{i} \atop i}}} má řád p_{i}^{l_{i}} a b_{1}, …, b_{t} je generátor grupy E^{(n)}.

(2) Platí x^{n} − 1 = (x^{m} − 1)^{p^{l}} v K[x], odkud už tvrzení snadno plyne.

□