4. Stopy, normy a báze

Připomeňme si, že je-li F_{q^{m}} ⊇ F_{q}, tak všechny automorfismy F_{q^{m}} nad F_{q} jsou tvaru α → α^{q^{i}} pro i = 0, 1, 2, …, m − 1 a libovolné α ∈ F_{q^{m}}.

V dalším bude často používat označení F = F_{q^{m}} a K = F_{q}.

Definice. Nechť F = F_{q^{m}}, K = F_{q} a α ∈ F. Pak definujeme prvek Tr_{F/K} (α) = α + α^{q} + α^{q^{2}} + … + α^{q^{m−1}} a nazýváme ho stopa α nad K.

Je-li K prvotěleso v F, potom zapisujeme Tr_{F/K} (α) = Tr_{F}(α) a prvek Tr_{F}(α) nazýváme absolutní stopa α ∈ F.

Lemma 4.1. Platí Tr_{F/K} (α) ∈ K pro libovolné α ∈ F.

Důkaz. Nechť f(x) = x^{d} +a_{m−1}x^{m−1} +…+a_{1}x+a_{0} ∈ K[x] je minimální polynom prvku α ∈ F nad K. Protože f(x)|x^{q^{m}} − x, platí d|m. Polynom f(x)^{\frac{m}{d}} = g(x) se nazývá charakteristický polynom α nad K. Kořeny f(x) jsou α, α^{q}, α^{q^{2}}, … α^{q^{d−1}} a všechny prvky konjugované k α nad K jsou právě všechny prvky kořeny polynomu g(x) = x^{m} + b_{m−1}x^{m−1} + … + b_{1}x + b_{0} = (x − α)(x − α^{q})(x − α^{q^{2}}) … (x − α^{q^{m−1}}). Tedy Tr_{F/K} (α) = −b_{m−1} ∈ K. □

Poznámka. Tedy platí Tr_{F/K} : F → K.

Věta 4.2 (O stopě). Nechť F = F_{q^{m}} a K = F_{q}. Potom Tr_{F/K} má následující vlastnosti

(1) Tr_{F/K} (α + β) = Tr_{F/K} (α) + Tr_{F/K} (β) pro všechny α, β ∈ F

(2) Tr_{F/K} (c · α) = c · Tr_{F/K} (α) pro všechna c ∈ K a α ∈ F

(3) Tr_{F/K} : F → K je lineární zobrazení na celé těleso K

(4) Tr_{F/K} (a) = m.a pro všechna a ∈ K

(5) Tr_{F/K} (α^{q}) = Tr_{F/K} (α) pro všechna α ∈ F

Důkaz. (1) Platí Tr_{F/K} (α + β) = (α + β) + (α + β)^{q} + (α + β)^{q^{2}} + … + (α + β)^{q^{m−1}} = α + β + α^{q} + β^{q} + α^{q^{2}} + β^{q^{2}} + … + α^{q^{m−1}} + β^{q^{m−1}} = Tr_{F/K} (α) + Tr_{F/K} (β).

(2) Platí Tr_{F/K} (c · α) = c · α + (c · α)^{q} + … + (c · α)^{q^{m−1}} = c · α + c · α^{q} + c · α^{q^{2}} + … + c · α^{q^{m−1}} = c · Tr_{F/K} (α), protože c ∈ K = F_{q}.

(3) Lineárnost zobrazení plyne z předchozích dvou bodů. Stačí tedy najít α ∈ F, pro které 0 ≠ Tr_{F/K} (α) = α + α^{q} + … + α^{q^{m−1}}. Je-li Tr_{F/K} (α) = 0, je α kořen rovnice x + x^{q} + … + x^{q^{m−1}} ∈ K[x]. Takových je nejvýše q^{m−1} < q^{m}.

(4) Pro a ∈ K platí Tr_{F/K} (a) = a + a^{q} + a^{q^{2}} + … + a^{q^{m−1}} = \underbrace{a + a + … + a}_{m-krát} =

m.a

(5) Platí Tr_{F/K} (α^{q}) = α^{q} + (α^{q})^{q} + … + (α^{q})^{q^{m−2}} + (α^{q})^{q^{m−1}} = α^{q} + α^{q^{2}} +

… + α^{q^{m−1}} + α = Tr_{F/K} (α)

□

Věta 4.3. Nechť F = F_{q^{m}} ⊇ F_{q} = K. Pak všechna lineární zobrazení z F do K jsou tvaru L_{β}(α) = Tr_{F/K} (α · β) pro β ∈ F.

Je-li β ≠ γ, pak L_{β} ≠ L_{γ}.

Důkaz. Nejprve dokážeme, že L_{β}(α) je lineární zobrazení. Platí L_{β}(α_{1} + α_{2}) = Tr_{F/K} ((α_{1} + α_{2})β) = Tr_{F/K} (α_{1}β) + Tr_{F/K} (α_{2}β) = L_{β}(α_{1}) + L_{β}(α_{2}) pro všechny α_{1}, α_{2} ∈ F. Podobně L_{β}(cα) = Tr_{F/K} (cαβ) = c · Tr_{F/K} (αβ) = c · L_{β}(α).

Je-li β ≠ γ, potom existuje prvek α ∈ F takový, že Tr_{F/K} ((β − γ)α) ≠ 0 a tedy L_{β}(α) ≠ L_{γ}(α). Počet lineárních zobrazení z F do K je q^{m}, tedy stejný jako počet zobrazení L_{β}. □

Věta 4.4. Nechť F = F_{q^{m}} ⊇ F_{q} = K. Potom pro α ∈ F platí Tr_{F/K} (α) = 0 právě tehdy, když α = β^{q} − β pro nějaké β ∈ F.

Důkaz. (⇒) Plyne z Věty 4.2 (5), protože Tr_{F/K} (α) = Tr_{F/K} (β^{q}−β) = Tr_{F/K} (β^{q})− Tr_{F/K} (β) = Tr_{F/K} (β) − Tr_{F/K} (β) = 0.

(⇐) Nechť Tr_{F/K} (α) = 0. Vezmeme polynom x^{q} − x − α ∈ F[x]. Buď β kořen polynomu x^{q} −x−α v nějakém rozšíření E ⊇ F. Platí β^{q} −β = α. Zbývá dokázat, že β ∈ F_{q^{m}}. Platí 0 = Tr_{F/K} (α) = α+α^{q}+α^{q^{2}} +…+α^{q^{m−1}} = β^{q}−β+(β^{q}−β)^{q}+(β^{q}− β)^{q^{2}} +…+(β^{q} −β)^{q^{m−1}} = (β^{q} −β)+(β^{q^{2}} −β^{q})+(β^{q^{3}} −β^{q^{2}})+…+(β^{q^{m}} −β^{q^{m−1}}) = β^{q^{m}} − β. Tedy β^{q^{m}} − β = 0 a proto β ∈ F_{q^{m}}. □

Věta 4.5 (O tranzitivitě stopy). Jsou-li K = F_{q} ⊆ F = F_{q^{m}} ⊆ E = F_{q^{m.n}} konečná tělesa, pak Tr_{E/K} = Tr_{F/K} ∘ Tr_{E/F} .

Důkaz. Je-li α ∈ E, pak

Tr_{F/K} (Tr_{E/F} (α)) = ∑_{i=0}^{m−1}(Tr_{E/F} (α))^{q^{i}} = ∑_{i=0}^{m−1}(∑_{j=0}^{n−1}(α^{q^{m}})^{j})^{q^{i}}

a dále

∑_{i=0}^{m−1}(∑_{j=0}^{n−1}(α^{q^{m}})^{j})^{q^{i}} ∑_{i=0}^{m−1} ∑_{j=0}^{n−1} α^{q^{mj+i}} = ∑_{k=0}^{mn−1} α^{q^{k}} = Tr_{E/K} (α).

□

Definice. Nechť F = F_{q^{m}} ⊇ F_{q} = K. Pak prvek

N_{F/K} (α) = α · α^{q} · α^{q^{2}} · . . . · α^{q^{m−1}} = α^{\frac{q^{m}−1}{q−1}}

nazýváme norma α ∈ F nad K.

Poznámka. Pro všechna α ∈ F je N_{F/K} (α) ∈ K, neboť je až na znaménko rovna absolutnímu členu charakteristického polynomu prvku α nad K - viz důkaz Lemma 4.1.

Věta 4.6 (O normě). Pro funkci N_{F/K} platí (1) N_{F/K} (α · β) = N_{F/K} (α) · N_{F/K} (β) pro všechna α, β ∈ F

(2) N_{F/K} je zobrazení z F na K a z F^{∗} na K^{∗}
(3) N_{F/K} (d) = d^{m} pro všechna d ∈ K
(4) N_{F/K} (α^{q}) = N_{F/K} (α) pro všechna α ∈ F

Důkaz. (1) Platí N_{F/K} (α · β) = (α · β) · (α · β)^{q} · . . . · (α · β)^{q^{m−1}} = α · α^{q} · . . . ·

α^{q^{m−1}} · β · β^{q} · . . . · β^{q^{m−1}} = N_{F/K} (α) · N_{F/K} (β)

(2) Podle (1) je N_{F/K} : F^{∗} → K^{∗} homomorfismus grup. V jádru N_{F/K} jsou kořeny rovnice

x^{\frac{q^{m}−1}{q−1}} − 1 ∈ K[x].

Buď d počet prvků (řád) jádra N_{F/K} . Platí d ≤ (q^{m} − 1)/(q − 1) a současně d|(q^{m} − 1). Tedy Im(N_{F/K} ) má velikost (q^{m} − 1)/d ≥ q − 1, což je řád K^{∗}.

(3) Platí N_{F/K} (d) = d · d^{q} · d^{q^{2}} · . . . · d^{q^{m−1}} = \underbrace{d · d · . . . · d}_{m-krát} = d^{m}

(4) Platí N_{F/K} (α^{q}) = α^{q}·(α^{q})^{q}·· · ··(α^{q})^{q^{m−2}} ·(α^{q})^{q^{m−1}} = α^{q}·α^{q^{2}} ·. . .·α^{q^{m−1}} ·α =

N_{F/K} (α)

□

Věta 4.7 (O tranzitivitě normy). Jsou-li K = F_{q} ⊆ F = F_{q^{m}} ⊆ E = F_{q^{m.n}} konečná tělesa, pak pro libovolné α ∈ E platí N_{E/K} (α) = N_{F/K} (N_{E/F} (α)).

Důkaz. Z definice platí N_{E/F} (α) = α^{\frac{(q^{m})^{n}−1}{q^{m}−1}} . Pak platí

N_{F/K} (N_{E/F} (α)) = (N_{E/F} (α))^{\frac{q^{m}−1}{q−1}} = (α^{\frac{(q^{m})^{n}−1}{q^{m}−1}} )^{\frac{q^{m}−1}{q−1}} = α^{\frac{q^{m.n}−1}{q−1}} = N_{E/K} (α).

□