Věta 2.9 (O podtělesech konečných těles). Nechť F_{q} je konečné těleso, q = p^{n}. Pak každé podtěleso tělesa F_{q} má p^{m} prvků pro nějaké m, které dělí n.

Pro každé m|n existuje právě jedno podtěleso tělesa F_{q}, které má p^{m} prvků.

Důkaz. Nejprve dokážeme první část věty. Je-li G podtěleso F_{p^{n}}, má také charakteristiku p a tedy p^{m} prvků pro nějaké m ≤ n. Navíc p^{n} musí být podle Lemma 2.1 mocninou p^{m}, čili m|n.

Zbývá dokázat druhou část věty. Těleso F_{p^{n}} je rozkladové rozšíření F_{p} určené polynomem x^{p^{n}} − x ∈ F_{p}[x]. Ukážeme napřed, že z předpokladu m|n plyne, že (x^{p^{m}} − x)|(x^{p^{n}} − x), neboli (x^{p^{m}−1} − 1)|(x^{p^{n}−1} − 1). Platí (p^{m} − 1)|(p^{n} − 1), neboť z n = k·m plyne (p^{km}−1) = (p^{m}−1)(p^{(k−1)m} +p^{(k−2)m} +⋯+p^{m}+1). Pokud a = b·c, pak (x^{bc} −1) = (x^{b} −1)(x^{(c−1)b} +x^{(c−2)b} +…+x^{b} +1). Tedy (x^{p^{m}−1}−1)|(x^{p^{n}−1}−1) a tedy (x^{p^{m}} − x)|(x^{p^{n}} − x). Každý kořen polynomu x^{p^{m}} − x je proto také kořenem polynomu x^{p^{n}} − x a leží tedy v F_{p^{n}}. Tedy x^{p^{m}} − x se nad F_{p^{n}} rozkládá na součin lineárních činitelů, proto F_{p^{n}} obsahuje rozkladové rozšíření F_{p} určené polynomem x^{p^{m}} − x, t.j. F_{p^{m}}. Dvě různá podtělesa mohutnosti p^{m} by obsahovala dohromady více než p^{m} kořenů polynomu x^{p^{m}} − x, což nelze. □

Příklad. Podtělesa F_{2^{30}} jsou F_{2}, F_{2^{2}} , F_{2^{3}} , F_{2^{5}} , F_{2^{6}} , F_{2^{10}} , F_{2^{15}} , F_{2^{30}} .

Pomocí Haaseova diagramu můžeme znázornit, jak jsou obsažena jedno v druhém.

[figure: F_{2}; F_{2^{2}}; F_{2^{3}}; F_{2^{5}}; F_{2^{6}}; F_{2^{10}}; F_{2^{15}}; F_{2^{30}}]

Věta 2.10. Multiplikativní grupa F_{q}^{∗} konečného tělesa F_{q} je cyklická.

Důkaz. Položme h = q − 1 = p_{1}^{r_{1}} · p_{2}^{r_{2}} · · · · · p_{k}^{r_{k}}. Polynom x^{h/p_{i}} − 1 má v F_{q} nejvýše \frac{h}{p_{i}} < h nenulových kořenů, proto existuje 0 ≠ a_{i} ∈ F_{q} (neboli a_{i} ∈ F_{q}^{∗}) takové,

že a_{i}^{h/p_{i}} ≠ 1. Položme b_{i} = a_{i}^{h/p_{i}^{r_{i}}} ≠ 1. Spočteme řád b_{i}. Platí b_{i}^{p_{i}^{r_{i}}} = a_{i}^{h} = 1

(neboť řád a_{i} dělí počet prvků F_{q}^{∗}, t.j. h = q − 1). Protože b_{i}^{p_{i}^{r_{i}−1}} = a_{i}^{h/p_{i}} ≠ 1, je řád b_{i} rovný p_{i}^{r_{i}}. Položme b = b_{1}b_{2} ⋯ b_{k}. Platí b^{h} = 1. Dále pro i = 1, 2, …, k platí b^{h/p_{i}} = ∏_{j=1}^{k} b_{j}^{h/p_{i}}. Je-li j ≠ i, tak p_{j}^{r_{j}} dělí \frac{h}{p_{i}} a tedy b_{j}^{h/p_{i}} = 1. Proto

b^{h/p_{i}} = b_{i}^{h/p_{i}} ≠ 1, neboť p_{i}^{r_{i}} ∤ \frac{h}{p_{i}} a p_{i}^{r_{i}} je řád b_{i}. Takže řád b je rovný h. □

Definice. Libovolný generátor F_{q}^{∗} se nazývá primitivní prvek F_{q}.

Příklad. Kolik primitivních prvků má těleso F_{q}? Tolik, kolik je čísel menších než q − 1 nesoudělných s q − 1, t.j. φ(q − 1), kde φ je Eulerova funkce.

Připomeňme si, že jsou-li F ⊆ E dvě tělesa a α ∈ E je algebraický nad F, pak monický polynom g z F[x] nejmenšího stupně, jehož kořenem je α, nazýváme minimální polynom prvku α. Pro polynom f ∈ F[x] platí, že f(α) = 0 právě tehdy, když q|f.

Věta 2.11. Nechť F_{q} ⊆ F_{r} jsou konečné tělesa a α je primitivní prvek F_{r}. Potom F_{r} = F_{q}(α).

Důkaz. Jelikož F_{q}(α) musí obsahovat 0 a všechny mocniny α, obsahuje taky všechny nenulové prvky F_{r}. □

Věta 2.12. Nechť F_{q} je konečné těleso, n > 0 je celé číslo. Pak existuje ireducibilní polynom f(x) ∈ F_{q}[x] stupně n.

Důkaz. Nechť α je primitivní prvek F_{q^{n}}. Víme, že F_{q} ⊆ F_{q^{n}}. Prvek α je kořenem nějakého polynomu f(x) ∈ F_{q}[x]. To plyne z toho, že F_{q^{n}} je vektorový prostor nad F_{q} a má nějakou konečnou dimenzi k (ve skutečnosti k = n). Proto jsou prvky 1 = α^{0}, α^{1}, α^{2}, …, α^{k} lineárně závislé a tedy existují prvky a_{0}, a_{1}, …, a_{k} ∈ F_{q} takové, že a_{0} · 1 + a_{1} · α + a_{2} · α^{2} + ⋯ + a_{k} · α^{k} = 0. Tedy α je kořenem polynomu f(x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{k}x^{k} ∈ F_{q}[x]. Buď g ∈ F_{q}[x] minimální polynom prvku α ∈ F_{q^{m}}, tedy g je ireducibilní nad F_{q}. Tedy F_{q^{n}} obsahuje kořenové rozšíření F_{q} určené polynomem g(x). Protože F_{q^{n}} = F_{q}(α), je tím kořenovým rozšířením celé těleso F_{q^{n}}. Odtud plyne, že degg = n. □

3. Kořeny ireducibilních polynomů

Lemma 3.1. Nechť f ∈ F_{q}[x] je ireducibilní polynom nad F_{q} a E ⊇ F_{q} je nějaké rozšíření obsahující kořen α polynomu f. Pak pro libovolný polynom h ∈ F_{q}[x] platí h(α) = 0 právě tehdy, když f|h.

Důkaz. Nechť a je vedoucí koeficient polynomu f(x), pak a^{−1}f(x) je monický polynom, jehož kořenem je α. Označme g ∈ F_{q}[x] minimální polynom prvku α. Potom g(x)|a^{−1}f(x). Protože f(x) je ireducibilní, platí g(x) = a^{−1}f(x). Proto f(x) dělí každý polynom g ∈ F_{q}[x], jehož kořenem je α. □

Lemma 3.2 (O zamrzlém kýblu). Nechť f ∈ F_{q}[x] je ireducibilní polynom stupně m. Potom platí f(x)|(x^{q^{n}} − x) právě tehdy, když m|n.

Důkaz. (⇒) Nechť f(x)|(x^{q^{n}} − x). Buď E kořenové rozšíření F_{q} určené polynomem f(x) a nechť v E leží kořen α polynomu f(x). Proto je α také kořenem polynomu x^{q^{n}} − x. Tedy F_{q^{n}} (rozkladové rozšíření F_{q} určené polynomem x^{q^{n}} − x) obsahuje kořen α polynomu f(x) a tedy i F_{q}(α) (kořenové rozšíření F_{q} určené polynomem f(x)). Těleso E = F_{q}(α) má q^{m} prvků a je podtělesem F_{q^{n}}, tedy m|n.

(⇐) Nechť m|n. Pak F_{q^{m}} je podtělesem F_{q^{n}} a F_{q^{m}} je kořenové rozšíření F_{q} určené polynomem f(x), tedy obsahuje kořen α polynomu f(x). Proto α ∈ F_{q^{n}} a platí α^{q^{n}}−α = 0, neboli α je kořen polynomu x^{q^{n}}−x ∈ F_{q}[x]. Protože také f(α) = 0 a NSD(f(x), x^{q^{n}} −x) = f(x) (protože f(x) je ireducibilní), platí f(x)|(x^{q^{n}} −x). □