Věta 2.6. Nechť F je konečné těleso s q prvky a K je jeho podtěleso. Potom pro polynom x^{q} − x ∈ K[x] platí v F[x]

x^{q} − x = ∏_{a∈F}(x − a)

Důkaz. Podle Lemma 2.5 platí pro každý prvek a ∈ F, že a^{q} = a, tedy a^{q} − a = 0. Z toho plyne, že každý prvek a ∈ F je kořenem polynomu x^{q} − x, proto platí (x − a)|(x^{q} − x). Protože polynomy x − a jsou pro různá a ∈ F po dvou nesoudělné, platí taky ∏_{a∈F}(x − a)|(x^{q} − x).

Zbývá ještě dokázat rovnost polynomů. Oba polynomy mají stupeň q (protože F má q prvků) a vedoucí člen obou polynomů je x^{q}. Protože ∏_{a∈F}(x − a)|(x^{q} − x), oba polynomy se rovnají. □

Před následující definicí si ještě zavedeme nové označení. Je-li E rozšíření tělesa K a θ ∈ E, pak nejmenší podtěleso tělesa E obsahující (tj. průnik všech podtěles tělesa E obsahujících) podtěleso K a prvek θ budeme označovat K(θ). Druhou podmínku z definice kořenového rozšíření tělesa K určeného ireducibilním polynomem p(x) ∈ K[x] (že libovolné podtěleso E obsahující K a θ se rovná E) pak můžeme zapsat stručně jako K(θ) = E. Podobně označíme K(θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{m}) nejmenší podtěleso tělesa E obsahující K a prvky θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{m} ∈ E.

Definice. Nechť K je těleso, f(x) ∈ K[x]. Pak rozšíření E tělesa K nazýváme rozkladové rozšíření tělesa K určené polynomem f(x), pokud se polynom f(x) rozkládá v E[x] na součin lineárních polynomů a současně těleso E je nejmenší podtěleso E (vzhledem k inkluzi) obsahující K, nad kterým se f(x) rozkládá na součin lineárních činitelů. Jinak řečeno, pokud jsou θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{m} ∈ E všechny kořeny polynomu f(x), pak K(θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{m}) = E.

Je-li T : E → F izomorfizmus těles E a F, pak jej můžeme přirozeně rozšířit do izomorfizmu T : E[x] → F[x] oborů integrity polynomů jedné proměnné nad oběma tělesy pomocí předpisu

T (a_{n}x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{1}x+a_{0}) = T (a_{n})x^{n}+T (a_{n−1})x^{n−1}+⋯+T (a_{1})x+T (a_{0}).

Je samozřejmě třeba ověřit, že takto definované zobrazení T : E[x] → F[x] je skutečně izomorfizmus. Speciálně, polynom p(x) ∈ E[x] je izomorfní nad E, právě když je polynom T (p(x)) izomorfní nad F.

Věta 2.7 (O existenci a jednoznačnosti rozkladového rozšíření). Pro každé těleso K a každý polynom f(x) ∈ K[x] stupně aspoň 1 existuje rozkladové rozšíření tělesa K určená polynomem f(x).

Každá dvě rozkladová rozšíření tělesa K určená polynomem f(x) jsou K-izomorfní.

Důkaz. (1) Nejprve dokážeme existenci. Nechť degf = n a f(x) = p_{1} · p_{2} ⋯ p_{k} je rozklad polynomu f(x) na součin polynomů ireducibilních v K[x]. Budeme postupovat indukcí podle n−k. Je-li n−k = 0, jsou všechny polynomy p_{1}, p_{2}, …, p_{n} lineární a těleso K je rozkladové rozšíření K určené polynomem f(x).

Nechť n − k > 0. Pak aspoň jeden z činitelů p_{i}(x) má stupeň aspoň 2. Nechť to je p_{1}(x). Označme G kořenové rozšíření tělesa K určené polynomem p_{1}(x). V G[x] se p_{1}(x) rozkládá na součin aspoň dvou ireducibilních polynomů. Vezměme rozklad f(x) = q_{1} · q_{2} ⋯ g_{l} na součin ireducibilních polynomů v G[x]. Platí l > k, tedy n − l < n − k.

Nyní zformulujeme indukční předpoklad: pro každé rozšíření G tělesa K takové, že f(x) = q_{1} · q_{2} ⋯ q_{l} v G[x] a n − l < n − k, existuje rozkladové rozšíření E tělesa G určené f(x).

Tedy podle indukčního předpokladu existuje rozkladové rozšíření E tělesa G určené polynomem f(x). Těleso E je tedy rozšířením tělesa K, nad kterýmm se polynom f(x) rozkládá na součin lineárních činitelů. Nyní ještě musíme ověřit podmínku minimality, aby to bylo také rozkladové rozšíření tělesa K určené polynomem f(x). Nad tělesem E se polynom f(x) rozkládá na součin lineárních činitelů f(x) = a(x−θ_{1}) ⋯ (x−θ_{k}). Označme F nejmenší podtěleso tělesa E obsahující K a θ_{1}, …, θ_{k}, tj. F = K(θ_{1}, …, θ_{k}). Pak F splňuje oba požadavky na rozkladové rozšíření K určené polynomem f(x).

(2) Zbývá dokázat jednoznačnost. Ve skutečnosti dokážeme silnější tvrzení v podobě:

Jsou-li G a H rozšíření téhož tělesa K, zobrazení T : G → H je Kizomorfizmus a f(x) ∈ G[x], pak jsou K-izomorfní také rozkladové rozšíření G určené polynomem f(x) a rozkladové rozšíření H určené polynomem T (f(x)).

Také v tomto případě budeme předpokládat, že degf = n a že f = p_{1} · p_{2} ⋯ p_{k} je rozklad polynomu f(x) na součin polynomů ireducibilních v G[x] a budeme postupovat indukcí podle n−k. Protože rozšířené zobrazení T : G[x] → H[x] je izomorfizmus, je také T (f) = T (p_{1})T (p_{2}) ⋯ T (p_{k}) rozklad na součin polynomů ireducibilních v H[x]. Označme E rozkladové rozšíření G určené polynomem f(x) a F rozkladové rozšíření H určené polynomem T (f(x)).

Je-li n − k = 0, pak je E = G, F = H a T : G → H je K-izomorfizmus. Nechť n − k > 0. Nechť degp_{1} > 1. Potom polynom p_{1}(x) má v E ně-

jaký kořen α a v F má nějaký kořen β. Pak E(α) je kořenové rozšíření tělesa G určené polynomem p_{1}(x) a F(β) je kořenové rozšíření tělesa H určené polynomem T (p_{1}). Podle věty o existenci a jednoznačnosti kořenového rozšíření existuje K-izomorfizmus U : G[α] → H[β]. Větu o existenci a jednoznačnosti kořenového rozšíření jsme sice nedokázali v té obecnosti, v jaké jsme ji právě použili, ale původní formulaci a důkaz lze snadno zobecnit do potřebného tvaru.

Je-li f = q_{1}q_{2} ⋯ q_{l} rozklad na polynomy ireducibilní nad G[x], pak platí l > k a tedy n − l < n − k.

Nyní zformulujeme indukční předpoklad. Pro libovolná dvě K-izomorfní rozšíření E′, F′ tělesa K, izomorfizmus T : E′ → F′ a libovolný polynom f(x) ∈ E′[x], který se nad E′ rozkládá na více ireducibilních polynomů než nad E, jsou rozkladová rozšíření F′ určené f a G′ určené T(f) K-izomorfní.

Podle indukčního předpokladu použitého na tělesa E′ = G(α), a F′ = H(β), na izomorfizmus U : E′ → F′ a na polynom f(x) tedy existuje Kizomorfismus F a G.

□

Věta 2.8 (O existenci a jednoznačnosti konečných těles). Pro každé prvočíslo p a celé číslo n > 0 existuje těleso s q = p^{n} prvky.

Libovolná dvě tělesa s p^{n} prvky jsou izomorfní (a jsou izomorfní rozkladovému rozšíření tělesa ℤ_{p} určeného polynomem x^{q} − x ∈ ℤ_{p}[x]).

Důkaz. Nejprve dokážeme existenci takového tělesa. Buď F rozkladové rozšíření ℤ_{p} určené polynomem x^{q} − x ∈ ℤ_{p}[x]. Polynom f(x) := x^{q} − x nemá v F vícenásobný kořen, protože (x^{q} − x)′ = q.x^{q−1} − 1 = −1, tedy NSD(f, f′) = 1 a proto f nemůže mít v F vícenásobný kořen. Tedy x^{q} − x má v F přesně q = p^{n} kořenů. Označme G = {a ∈ F : a^{q} − a = 0}. Ukážeme, že G je podtěleso F. Platí 0, 1 ∈ G a pro všechny a, b ∈ G platí (a.b)^{q} = a^{q}.b^{q} = a.b a (a + b)^{p^{k}} = a^{p^{k}} + b^{p^{k}} = a + b. Tedy G je podtěleso F, které obsahuje ℤ_{p} a nad kterým se x^{q} − x rozkládá na součin lineárních činitelů. Protože F je rozkladové rozšíření tělesa ℤ_{p} určené polynomem x^{q} − x, platí F = G a F má tedy q prvků.

Zbývá dokázat jednoznačnost. Nechť E je těleso s q = p^{n} prvky. Pak podle Věty 2.6 platí x^{q} − x = ∏_{a∈F}(x − a). Tedy E je rozkladové rozšíření ℤ_{p} určené polynomem x^{q} − x ∈ ℤ_{p}. Podle Věty 2.7 jsou libovolná dvě rozkladová rozšíření tělesa ℤ_{p} určená polynomem x^{q} − x izomorfní. □