Konečná tělesa

2. Struktura konečných těles

Lemma 2.1. Nechť F je konečné těleso a K je podtěleso F, počet prvků K je q. Pak F má q^{m} prvků pro nějaké přirozené číslo m ≥ 1.

Důkaz. Všimněme si, že F je vektorový prostor nad K (je třeba ověřit axiomy vektorového prostoru). Ten má konečnou dimenzi m ≥ 1 neboť má pouze konečně mnoho prvků a tedy obsahuje konečnou generující množinu. Zvolíme bázi b_{1}, …, b_{m} v F. Potom každý prvek x ∈ F lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru x = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + …+a_{m}b_{m}, kde a_{1}, a_{2}, …, a_{m} ∈ K. Takových lineárních kombinací je přesně q^{m}. □

Věta 2.2. Každé konečné těleso má p^{k} prvků pro nějaké prvočíslo p a celé číslo k ≥ 1.

Důkaz. Označme K prvotěleso v F. Charakteristika F je p pro nějaké prvočíslo p, tedy K má p prvků. Zbytek plyne z Lemma 2.1. □

V dalším se budeme zabývat otázkou, zda pro každé prvočíslo p a celé číslo k ≥ 1 existuje těleso s p^{k} prvky. Jestliže ano, kolik takových těles existuje?

Definice. Nechť E, F jsou dvě tělesa. Pak vzájemně jednoznačné zobrazení T : E → F je izomorfismus, jestliže pro libovolné dva prvky a, b ∈ E platí:

T(a + b) = T(a) + T(b)
T(a · b) = T(a).T(b)

Pokud pro nějaké těleso K platí K ⊆ E ∩ F, pak izomorfismus T : E → F se nazývá K-izomorfismus, jestliže pro každé a ∈ K platí T(a) = a.

Příklad. Nechť F je těleso charakteristiky p > 0 a K je prvotěleso F. Pak zobrazení T : ℤ_{p} → K definované předpisem

T(k) = \underbrace{1 + 1 + … + 1}_{k} = k · 1

je izomorfismus. Je třeba ověřit podmínky z definice izomorfizmu.

Příklad. Nechť K je těleso a p(x) ∈ K[x] je ireducibilní polynom stupně n. Pak množina polynomů z K[x] stupně menšího než n s operacemi sčítání a násobení modulo p(x) je opět těleso jak jsme si připomněli v minulé přednášce. Označíme jej E. Pro ty, co mají rádi ideály a faktorové okruhy (důkazy s nimi jsou jednodušší!) připomeňme, že E ≃ K[x]/(p).

Nechť p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{1}x + a_{0}, kde a_{i} ∈ K. Prvky E jsou polynomy x, x^{3} − x + 1 + 1, …, mezi nimi jsou i konstanty a ∈ K. S konstantami se v obou tělesech K a E počítá stejně. Tedy K ⊆ E je podtěleso tělesa E.

Polynom p(x) nemá v K žádný kořen, pokud n > 1.

Poznámka. Nechť f(x) ∈ K[x] a a ∈ K je kořen f(x). Potom (x − a)|f(x).

Důkaz. Libovolný polynom f(x) můžeme napsat ve tvaru f(x) = q(x)·(x−a)+r(x), kde degr(x) < deg(x−a) = 1, takže r(x) je konstantní polynom. Protože a je kořen f(x), po dosazení do f(x) dostáváme 0 = f(a) = q(a)·(a−a)+r(a) = r(a). Protože je r(x) konstantní polynom a r(a) = 0, platí r(x) = 0 a tedy (x − a)|f(x). □

Příklad. Uvažujme polynom p(z) = a_{n}z^{n} + … + a_{1}z + a_{0} ∈ K[z]. Dosadíme-li z = x ∈ E, pak je hodnota p(x) nějaký prvek tělesa E, konrétně je to p(x) = a_{n}x^{n} +…+a_{1}x+a_{0} ∈ E. Protože p(x) ≡ 0 mod p(x), platí p(x) = 0 ∈ E. Polynom p(z) má tedy v tělese E aspoň jeden kořen.

Definice. Nechť K je těleso a p(x) ∈ K[x] je polynom ireducibilní nad K. Potom těleso E ⊇ K se nazývá kořenové rozšíření K určené polynomem p(x), jestliže v E existuje nějaký kořen θ polynomu p(x) a každé podtěleso E, které obsahuje současně K a θ, se rovná E.

Věta 2.3 (O existenci a jednoznačnosti kořenového rozšíření tělesa K určeného ireducibilním polynomem p(x) ∈ K[x]). Nechť K je těleso a p(x) ∈ K[x] je polynom ireducibilní nad K. Potom existuje kořenové rozšíření E tělesa K určené polynomem p(x). Kořenové rozšíření je určeno jednoznačně až na K-izomorfismus.

Důkaz. (1) Nejprve dokážeme existenci kořenového rozšíření. Víme, že těleso E obsahující všechny polynomy stupně menšího než je stupeň p(x) s operacemi sčítání a násobění modulo p(x) je těleso obsahující K jako podtěleso, a ukázali jsme si, že v něm existuje aspoň jeden kořen polynomu p(x). Nechť f(x) = b_{m}x^{m} + … + b_{1}x + b_{0} ∈ K[x], přičemž m je menší než je stupeň p(x). Pak takový polynom musí ležet v libovolném podtělese E obsahujícím x a K.

(2) Zbývá dokázat jednoznačnost. Nechť F ⊇ K je nějaké kořenové rozšíření K obsahující kořen θ polynomu p(x). Definujme zobrazení T : E → F předpisem T(f(x)) = f(θ), kde f(x) = b_{m}x^{m} + … + b_{1}x + b_{0} a f(θ) = b_{m}θ^{m} + … + b_{1}θ + b_{0}.

Chceme dokázat, že T je K-izomorfismus. Jestliže a ∈ K, potom T(a) = a.

Dokážeme, že T je homomorfismus. Nechť f(x), g(x) ∈ E jsou libovolné dva prvky, f(x) = b_{m−1}x^{m−1} + … + b_{1}x + b_{0} a g(x) = c_{m−1}x^{m−1} + … + c_{1}x + c_{0}. Potom platí platí

T(f(x)) = ∑_{i=0}^{m−1} b_{i}θ^{i}, T(g(x)) = ∑_{i=0}^{m−1} c_{i}θ^{i}

\begin{aligned}T((f + g)(x)) & = ∑_{i=0}^{m−1}(b_{i} + c_{i})θ^{i} = ∑_{i=0}^{m−1} b_{i}θ^{i} + ∑_{i=0}^{m−1} c_{i}θ^{i} = \\ & = T(f(x)) + T(g(x)) \end{aligned}

Podobně (důkaz ale vyžaduje více počítání!)

T(fg(x)) = T(f(x)) · T(g(x)).

Nyní dokážeme, že T je prosté zobrazení. Nechť f(x), g(x) ∈ E jsou navzájem různé polynomy z E takové, že T(f(x)) = T(g(x)). Pak ∑_{i=0}^{m−1} b_{i}θ^{i} = ∑_{i=0}^{m−1} c_{i}θ^{i}, t.j. ∑_{i=0}^{m−1}(b_{i} −c_{i})θ^{i} = 0. Takže θ je kořen polynomu 0 ≠ g(x) = (b_{m−1} − c_{m−1})x^{m−1} + … + (b_{1} − c_{1})x + (b_{0} − c_{0}) ∈ K[x], který musí mít stupeň aspoň 1. Prvek θ je ale také kořenem polynomu p(x) ∈ K[x]. Tedy θ je kořen polynomu d(x) :=NSD(g(x), p(x)) ∈ K[x]. Pak d(x)|p(x) v K[x], přičemž 1 ≤ degd(x) < degp(x). To je však spor s předpokladem, že p(x) je ireducibilní v K[x].

Zbývá dokázat, že T je na F. ℑT je podtěleso F obsahující K a θ. Protože F je kořenové rozšíření K určené p(x), platí ℑT = F.

Jsou-li nyní F, G dvě kořenová rozšíření K určená polynomem p(x), pak existují K-izomorfismy T : E → F a U : E → G. Potom UT^{−1} : F → G je K-izomorfismus F a G.

□

Poznámka. Jsou-li F a G dvě kořenová rozšíření tělesa K určená ireducibilním polynomem p(x) ∈ K[x] a označíme-li θ ∈ F a σ ∈ G kořeny plynomu p(x), pak K-izomorfizmus UT^{−1} : F → G z posledního odstavce důkazu předchozí věty má vlastnost

UT^{−1}(θ) = U(x) = σ.

Lemma 2.4. Nechť F je těleso charakteristiky p > 0. Pak pro libovolné a, b ∈ F a libovolné celé číslo k > 0 platí

(a + b)^{p^{k}} = a^{p^{k}} + b^{p^{k}}

Důkaz. Důkaz provedeme indukcí dle k.

(1) Nechť k = 1. Podle binomické věty platí (a + b)^{p} = a^{p} + \binom{p}{1}a^{p−1}b + \binom{p}{2}a^{p−2}b^{2} + … + \binom{p}{p−1}ab^{p−1} + b^{p}. Protože p|\binom{p}{i} pro i ∈ \{1, 2, …, p − 1\}, platí v tělese F, že \binom{p}{i}.1 = 0. Tedy také \binom{p}{i}a^{p−i}b^{i} = 0 v F a proto

(a + b)^{p} = a^{p} + b^{p}.

(2) Předpokládejme platnost tvrzení pro k−1, tedy (a+b)^{p^{k−1}} = a^{p^{k−1}} +b^{p^{k−1}}.

Potom platí (a + b)^{p^{k}} = ((a + b)^{p^{k−1}})^{p} = (a^{p^{k−1}} + b^{p^{k−1}})^{p} = a^{p^{k}} + b^{p^{k}}.
□

Lemma 2.5. Nechť F je konečné těleso s q prvky. Potom pro každé a ∈ F platí a^{q} = a.

Důkaz. Pro a = 0 lemma platí. Nechť a ≠ 0, pak vezmeme multiplikativní grupu F. Ta má q − 1 prvků. Protože řád libovolného prvku konečné grupy je dělitelem počtu prvků této grupy, tak platí a^{q−1} = 1. □