Konečná tělesa

1. Úvod

Definice. Těleso F je množina se dvěma operacemi +, ·, splňující axiomy: (A1) a + (b + c) = (a + b) + c pro libovolné a, b, c ∈ F (A2) a + b = b + a pro libovolné a, b ∈ F (A3) existuje 0 ∈ F tak, že pro všechna a ∈ F platí a + 0 = 0 + a = a (A4) pro všechna a ∈ F existuje −a ∈ F tak, že platí a + (−a) = (−a) + a = 0 (M1) a · (b · c) = (a · b) · c pro všechna a, b, c ∈ F (M2) a · b = b · a pro všechna a, b ∈ F (M3) existuje 1 ∈ F tak, že pro všechna a ∈ F platí 1 · a = a · 1 = a (M4) pro všechna a ≠ 0 existuje a^{−1} ∈ F tak, že platí a · a^{−1} = a^{−1} · a = 1 (D) a · (b + c) = a · b + a · c pro všechna a, b, c ∈ F (distributivita) (N) 0 ≠ 1 (netrivialita)

Je-li F konečná množina, pak F je konečné těleso.

V dalším textu postupně přejdeme od zápisu součinu dvou prvků a, b ∈ F ve tvaru a · b ke stručnému ab.

Příklad. Příkladem tělesa je ℤ_{p} s operacemi sčítání a násobení modulo p, kde p je prvočíslo a ℤ_{p} = {0, 1, …, p − 1}.

Jediné ne zcela zřejmé je dokázat existenci inverzního prvku. Jak se inverzní prvky hledají? Nechť p = 19997 a mějme číslo 16. Pak hledáme prvek 16^{−1}.

Pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu najdeme celá čísla a, b tak, že a·16+b· p = 1. Nalezené číslo a ale nemusí patřit do ℤ_{p} a proto není obecně ještě inverzním prvkem k 16 v ℤ_{p}. Najdeme proto dále nezáporný zbytek r při dělení čísla a číslem p. Číslo r je určené jednoznačně podmínkami a = p · q + r pro nějaké celé číslo q a 0 ≤ r < p. Dosazením a = p · q + r do rovnosti a · 16 + b · p = 1 pak dostaneme r · 16 + p · (16 · q + b) = 1 a tedy r · 16 ≡ 1 mod p. Protože nyní už platí r ∈ ℤ_{p}, je r hledaný inverz k 16.

Použitím Eukleidova algoritmu tedy dostáváme:

19997 = 1249 · 16 + 13
16 = 1 · 13 + 3
13 = 4 · 3 + 1

Teď spočteme vyjádření čísel a a b. Z prvé rovnice dostáváme 13 = 19997−1249·16. Z druhé rovnice dostáváme 3 = 16 − 1 · 13 a po dosazení vyjádření z prvé rovnice dostáváme 3 = 16−(19997−1249·16) = 1250·16−19997. Z třetí rovnice dostáváme 1 = 13 − 4 · 3 a po dosazení vyjádření z prvé a druhé rovnice dostáváme 1 = (19997 − 1249 · 16) − 4 · (1250 · 16 − 19997) = −6249 · 16 + 5 · 19997.

Hledaným číslem je −6249 + 19997 = 13748. Inverz k číslu 16 v ℤ_{19997} je tedy číslo 13748.

Příklad. Nechť p(x) = x^{3} + x + 1 ∈ ℤ[x]. Platí, že množina všech polynomů s koeficienty v ℤ_{2} stupně rovného nebo menšího než 2 s operacemi sčítaní a násobení modulo x^{3} + x + 1 je těleso.

Vezměme polynom (x + 1). Chceme najít polynom (x + 1)^{−1} inverzní k (x + 1). Budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladě. Pomocí Eukleidova algoritmu najdeme polynomy a(x), b(x) ∈ ℤ_{2}[x] takové, aby platilo a(x) · (x + 1) + b(x) · p(x) = 1.

x^{3} + x + 1 = (x + 1) · (x^{2} + x) + 1

Tedy (x + 1)^{−1} = x^{2} + x.

Tento postup funguje vždy, kdykoliv největší společný dělitel p(x) ∈ F[x] a libovolného nenulového polynomu z F[x] stupně menšího než je stupeň p(x), je roven 1.

Postup neplatí například pro polynom p(x) = x^{3} + x = x · (x^{2} + 1).

Definice. Polynom p(x) ∈ F[x], kde F je těleso, se nazývá ireducibilní nad F, pokud degp(x) ≥ 1 a kdykoliv p(x) = a(x).b(x) v F[x], pak buď a(x) nebo b(x) je konstanta.

Věta 1.1 (o existenci kořenového rozšíření tělesa F určeného ireducibilním polynomem p(x) ∈ F[x]). Nechť p(x) ∈ F[x] je polynom stupně n ireducibilní nad F. Pak množina všech polynomů z F[x] stupně menšího než n se sčítáním a násobením modulo n je těleso.

Důkaz. Všechny vlastnosti tělesa jsou zřejmé, až na vlastnost (M4). Pro ověření vlastnosti (M4) potřebujeme předpoklad, že p(x) je ireducibilní v F[x]. Pro každý polynom 0 ≠ f(x) ∈ F[x] stupně menšího než n platí, že NSD(f(x), p) = 1, tedy existují polynomy a(x), b(x) ∈ F[x] takové, že a(x)f(x)+b(x)p(x) = 1. Po úpravě a vydělení polynomu a(x) polynomem f(x) se zbytkem dostáváme a(x) = p(x)q(x) + r(x), kde degr(x) < n a dosazení do rovnosti a(x)f(x) + b(x)p(x) = 1 dostaneme r(x)f(x) + p(x)(f(x)q(x) + b(x)) = 1. Polynom r(x) je tedy inverzní polynom k f(x). □

Definice. Je-li F těleso, pak nejmenší číslo n > 0, pro které platí \underbrace{1 + 1 + … + 1}_{n} =

0, se nazývá charakteristika F.

Pokud žádné takové n neexistuje, pak říkáme, že F má charakteristiku 0.

Poznámka (opakování). Charakteristika libovolného tělesa je buď 0 nebo prvočíslo. Konečné těleso má vždy nenulovou charakteristiku.

Definice. Je-li F těleso, pak nejmenší podtěleso K tělesa F se nazývá prvotěleso tělesa F.

Poznámka. Jak prvotěleso v tělese F vypadá, závisí na charakteristike F.

(1) Je-li charakteristika F rovna prvočíslu p ≥ 2, musí v prvotělese ležet prvky 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …, \underbrace{1 + 1 + … + 1}_{p−1}, které jsou navzájem různé.

Značení:

\underbrace{1 + 1 + … + 1}_{k} = k.1

k.1 + l.1 = (k + l).1 = r.1 , kde r je zbytek po dělení k + l prvočíslem p (k.1) · (l.1) = (kl).1 = s.1, kde s je zbytek po dělení k + l prvočíslem p

Prvotěleso v F je izomorfní se ℤ_{p}.

(2) Je-li charakteristika F rovna 0, pak prvotěleso v F je izomorfní s tělesem ℚ.