Kapitola 6

Lineární (ne)závislost

Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí.

Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x_{1}, x_{2}, …, x_{n} prostoru V je lineárně nezávislá, jestliže z rovnosti

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0

plyne, že a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 0. V opačném případě říkáme, že posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je lineárně závislá.

Je důležité uvědomit si explicitně, co znamená, že posloupnost vektorů x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ V není lineárně nezávislá, tj. že je lineárně závislá. Znamená to, že existují skaláry a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ T, z nichž aspoň jeden je nenulový, a pro které platí

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0.

Úloha 6.1 Dokažte, že pro každou regulární matici P řádu n s prvky z tělesa T je posloupnost sloupcových vektorů

P_{∗1}, P_{∗2}, …, P_{∗n}

lineárně nezávislá v aritmetickém n-dimenzionálním prostoru T^{n}.

Řešení. Jsou-li a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ T libovolné skaláry, pro které platí

a_{1}P_{∗1} + a_{2}P_{∗2} + ⋯ + a_{n}P_{∗n} = 0,

označíme a = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n})^{T} sloupcový vektor těchto skalárů. Tento vektor je řešením homogenní soustavy rovnic Px = 0. Protože matice P této soustavy je regulární, má soustava pouze nulové řešení podle věty 2.4. Proto a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 0. □

Cvičení 6.1 Je posloupnost vektorů e_{1} = (1, 0, 0)^{T} , e_{2} = (0, 1, 0)^{T} , e_{3} = (0, 0, 1)^{T} ∈ R^{3} lineárně závislá nebo nezávislá? Může se na tomto faktu změnit něco tím, že považujeme posloupnost e_{1}, e_{2}, e_{3} za posloupnost vektorů z aritmetického prostoru T^{3} nad libovolným tělesem T? Prozkoumejte lineární závislost nebo nezávislost několika dalších posloupností vektorů z R^{3}. Může být nějaká posloupnost čtyř vektorů z R^{3} lineárně nezávislá?

Také následující cvičení je jednoduché a plyne bezprostředně z definice.

Cvičení 6.2 Dokažte, že posloupnost vektorů x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ V je lineárně závislá, pokud

• obsahuje nějaký nulový vektor x_{i} = 0,

• obsahuje dva stejné vektory x_{i} = x_{j} pro i ≠ j.

Jaké koeficienty a_{1}, a_{2}, …, a_{n} stačí zvolit v obou případech?

Druhé tvrzení v posledním cvičení říká, že v lineárně nezávislé posloupnosti vektorů jsou všechny prvky navzájem různé. Protože sčítání vektorů ve vektorovém prostoru je komutativní, plyne z lineární nezávislosti posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineární nezávislost jakékoliv posloupnosti x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, …, x_{i_{n}}, kterou dostaneme z posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} přeházením pořadí jejich prvků. To znamená, že lineární nezávislost posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ V závisí pouze na prvcích této posloupnosti, nikoliv na jejich pořadí. To vede k následující definici.

Definice 6.2 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Množina {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} ⊆ V je lineárně nezávislá, jestliže z rovnosti

∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} = 0

plyne a_{1} = a_{2} = … = a_{n} = 0. Říkáme, že množina {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} je lineárně závislá, pokud není lineárně nezávislá. Nekonečná množina X ⊆ V je lineárně nezávislá, je-li každá její konečná podmnožina lineárně nezávislá. V opačném případě je lineárně závislá.

Cvičení 6.3 Najděte nějakou nekonečnou lineárně nezávislou podmnožinu prostoru všech polynomů s reálnými koeficienty. Najděte nějakou nekonečnou lineárně nezávislou podmnožinu prostoru všech spojitých reálných funkcí definovaných na intervalu [0, 1]. Můžete najít nekonečnou lineárně nezávislou podmnožinu v prostoru všech diferencovatelných funkcí na intervalu [0, 1]?

Úloha 6.2 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Dokažte, že platí

• je-li x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně nezávislá posloupnost vektorů z V a 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{k} ≤ n, pak podposloupnost x_{j_{1}}, x_{j_{2}}, …, x_{j_{k}} posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je také lineárně nezávislá,

• je-li naopak x_{j_{1}}, x_{j_{2}}, …, x_{j_{k}} lineárně závislá podposloupnost posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, pak je také posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně závislá,

• je-li x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně nezávislá posloupnost a y ∈ V, pak posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y je lineárně závislá právě když platí y ∈ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}).

Řešení. Pokud jde o první tvrzení, je-li

a_{j_{1}}x_{j_{1}} + a_{j_{2}}x_{j_{2}} + ⋯ + a_{j_{k}}x_{j_{k}} = 0,

položíme a_{i} = 0 pro i ≠ j_{1}, j_{2}, …, j_{k}. Potom platí také

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0.

Z lineární nezávislosti posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} plyne a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n} = 0, speciálně tedy také a_{j_{1}} = a_{j_{2}} = ⋯ = a_{j_{k}} = 0.

Druhé tvrzení plyne bezprostředně z prvního.

Třetí tvrzení vyžaduje dokázat dvě implikace. Pokud je posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y lineárně závislá, existují prvky a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, b ∈ T, které nejsou všechny rovné 0, a pro které platí

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} + by = 0.

Protože posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je lineárně nezávislá, musí být b ≠ 0. Vektor y tak můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů x_{1}, x_{2}, …, x_{n}:

y = (−a_{1}/b)x_{1} − (a_{2}/b)x_{2} − ⋯ − (a_{n}/b)x_{n}.

Podle důsledku 5.9 platí, že y ∈ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}).

Je-li naopak y ∈ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), existují podle stejného důsledku 5.9 skaláry b_{1}, b_{2}, …, b_{n} ∈ T, pro které platí

y = b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ⋯ + b_{n}x_{n}.

Potom ale

b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ⋯ + b_{n}x_{n} + (−1)y = 0.

Protože v této lineární kombinaci nejsou všechny koeficienty rovné 0, je posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y lineárně závislá. □

Zcela stejně dokážeme podobné vlastnosti lineární (ne)závislosti množin.

Cvičení 6.4 Dokažte, že ve vektorovém prostoru V nad tělesem T platí

• podmnožina lineárně nezávislé množiny X ⊆ V je lineárně nezávislá,

• je-li Y ⊆ X ⊆ V a Y je lineárně závislá množina, pak také X je lineárně závislá,

• je-li X ⊆ V lineárně nezávislá množina a y ∈ V \ X, pak je množina X ∪ {y} lineárně nezávislá právě když y ∉ L(X).

Všimněte si, že nikde nepředpokládáme, že množiny X, Y jsou konečné.

Pro porozumění následujícího tvrzení je dobré si znovu připomenout definici 3.6.

Tvrzení 6.3 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T a x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ V jsou libovolné vektory. Následující tvrzení jsou ekvivalentní

1. posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je lineárně závislá,

2. existuje vektor x_{j}, j ∈ {1, 2, …, n}, který lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů x_{i}, i ≠ j,

3. existuje vektor x_{k}, k ∈ {1, 2, …, n}, který lze vyjádřit jako lineární kombinaci předcházejících vektorů x_{i}, i < k.

Důkaz. 1 ⇒ 2. Je-li posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně závislá, existují skaláry a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ T, pro které platí

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0,

a aspoň jeden z nich je různý od 0. Nechť je to skalár a_{j}. Potom

x_{j} = ∑_{i≠j}(−a_{i}/a_{j})x_{i},

což dokazuje, že x_{j} je lineární kombinací vektorů x_{i}, i ≠ j.

2 ⇒ 3. Je-li vektor x_{j} lineární kombinací vektorů x_{i}, i ≠ j, existují skaláry b_{i}, i ≠ j, pro které platí

x_{j} = ∑_{i≠j}b_{i}x_{i}.

Označíme-li b_{j} = −1, dostaneme rovnost

b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ⋯ + b_{n}x_{n} = 0.

Je-li k největší index takový, že b_{k} ≠ 0, potom

x_{k} = (−b_{1}/b_{k})x_{1} + (−b_{2}/b_{k})x_{2} + ⋯ + (−b_{k−1}/b_{k})x_{k−1}.

Aspoň jeden takový index k existuje, neboť b_{j} = −1. Vektor x_{k} je tak lineární kombinací vektorů x_{i} pro i < k.

3 ⇒ 1. Pokud je vektor x_{k} lineární kombinací vektorů x_{i}, i < k, existují skaláry c_{1}, …, c_{k−1}, pro které platí

x_{k} = c_{1}x_{1} + ⋯ c_{k−1}x_{k−1}.

Potom

c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2} + ⋯ + c_{k−1}x_{k−1} + (−1)x_{k} + 0x_{k+1} + ⋯ + 0x_{n} = 0,

proto je posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně závislá. □

Následující tvrzení bývá často nazýváno Steinitzova věta o výměně. Je to první netriviální tvrzení o vektorových prostorech, které nevyplývá přímo z definic.

Tvrzení 6.4 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T a x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ V je lineárně nezávislá posloupnost vektorů. Je-li 0 ≠ y ∈ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), pak existuje vektor x_{k} pro nějaké k ∈ {1, 2, …, n} takový, že posloupnost

y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}

je lineárně nezávislá a

L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = L(y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}).

Důkaz. Podle tvrzení 6.3 je posloupnost vektorů

y, x_{1}, …, x_{n}

lineárně závislá, neboť jeden její prvek — vektor y — je lineární kombinací ostatních vektorů v posloupnosti, vektorů x_{1}, …, x_{n}. Podle téhož tvrzení 6.3 existuje vektor této posloupnosti, který je lineárně závislý na předchozích vektorech. Kvůli předpokladu y ≠ 0 to nemůže být vektor y. Je to tedy nějaký vektor x_{k} pro k ∈ {1, 2, …, n}. Platí proto

x_{k} = a_{0}y + ∑_{i=1}^{k−1}a_{i}x_{i}

pro nějaké skaláry a_{0}, a_{1}, …, a_{k−1} ∈ T. Posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je lineárně nezávislá, proto podle téhož tvrzení 6.3 vektor x_{k} není lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{k−1}. Proto musí být a_{0} ≠ 0. Z poslední rovnosti proto můžeme vyjádřit

y = ∑_{i=1}^{k−1}(−a_{i}a_{0}^{−1})x_{i} + a_{0}^{−1}x_{k}.

Abychom dokázali, že posloupnost y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} je lineárně nezávislá, uvažujeme libovolné skaláry b_{0}, b_{1}, …, b_{k−1}, b_{k+1} , …, b_{n}, pro které platí

b_{0}y + ∑_{j≠k}b_{j}x_{j} = 0.

Za vektor y dosadíme předchozí vyjádření a dostaneme

∑_{i=1}^{k−1}(−b_{0}a_{i}a_{0}^{−1})x_{i} + b_{0}a_{0}^{−1}x_{k} + ∑_{j≠k}b_{j}x_{j} = 0,

tj.

∑_{i=1}^{k−1}(−b_{0}a_{i}a_{0}^{−1} + b_{i})x_{i} + b_{0}a_{0}^{−1}x_{k} + ∑_{j=k+1}^{n} b_{j}x_{j} = 0.

Z lineární nezávislosti posloupnosti x_{1}, …, x_{n} vyplývá, že platí b_{0} = b_{k+1} = ⋯ = b_{n} = 0 a po dosazení za b_{0} do koeficientů u x_{1}, …, x_{k−1} rovněž b_{1} = ⋯ = b_{k−1} = 0. Tím je dokázáno, že také posloupnost y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} je lineárně nezávislá.

Zbývá dokázat rovnost

L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = L(y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}).

Protože y je lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{n}, platí

{y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}} ⊆ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}),

a proto také

L(y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}) ⊆ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}).

Opačnou inkluzi dokážeme zcela stejně. Protože

x_{k} = a_{0}y + ∑_{i=1}^{k−1}a_{i}x_{i},

platí

{x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} ⊆ L(y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n})

a proto také

L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ⊆ L(y, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}).

□

Důsledek 6.5 Je-li X ⊆ V konečná a lineárně nezávislá, a 0 ≠ y ∈ L(X), pak existuje vektor x ∈ X, pro který platí, že množina (X \ {x}) ∪ {y} je také lineárně nezávislá a

L(X) = L((X \ {x}) ∪ {y}).

Steinitzovu větu o výměně budeme používat pro zkoumání vztahů mezi různými lineárně nezávislými posloupnostmi a množinami ve vektorových prostorech.

Definice 6.6 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Posloupnost x_{1}, …, x_{n} ∈ V se nazývá báze prostoru V, je-li lineárně nezávislá a současně L(x_{1}, …, x_{n}) = V. Prostor V se nazývá konečně dimenzionální, pokud v něm existuje konečná báze.

Nekonečná množina X ⊆ V se nazývá báze prostoru V, je-li lineárně nezávislá a současně generuje celý prostor V, tj. L(X) = V.

Cvičení 6.5 Dokažte, že posloupnost vektorů e_{1}, e_{2}, …, e_{n} ∈ T^{n}, kde vektor e_{i} má všechny souřadnice 0 s výjimkou i-té souřadnice, která se rovná 1, je báze v prostoru T^{n}. Této bázi se říká standardní báze v T^{n}.

Najděte nějakou bázi v prostoru R[x] reálných polynomů jedné proměnné. Najděte nějakou bázi v prostoru R_{≤n}[x]. Kolik má prvků?

Existuje báze v nulovém prostoru N = {0}?

Lineární algebra se zabývá především konečně dimenzionálními vektorovými prostory. Nekonečně dimenzionální prostory jsou zkoumány ve funkcionální analýze. Proto budeme v následujícím textu prakticky vždy předpokládat, že V je konečně dimenzionální vektorový prostor nad nějakým tělesem T.

Tvrzení 6.7 Předpokládáme, že V je konečně dimenzionální vektorový prostor nad tělesem T a x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je nějaká báze ve V. Jestliže je posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{m} lineárně nezávislá ve V, pak m ≤ n, a pokud m < n, pak můžeme rozšířit posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{m} do báze připojením nějakých prvků báze x_{1}, x_{2}, …, x_{n}.

Libovolné dvě báze v prostoru V mají stejný počet prvků.

Důkaz. Obě posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} a y_{1}, y_{2}, …, y_{m} jsou lineárně nezávislé. Naproti tomu posloupnost

y_{m}, x_{1}, x_{2}, …, x_{n}

je lineárně závislá podle tvrzení 6.3, protože y_{m} ∈ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). V této posloupnosti tedy existuje nějaký vektor, který je lineární kombinací předcházejících vektorů. Protože je y_{m} ≠ 0 (neboť y_{1}, y_{2}, …, y_{m} je lineárně nezávislá posloupnost a nemůže proto obsahovat vektor 0), existuje podle Steinitzovy věty o výměně, tj. podle Tvrzení 6.4, vektor x_{k} takový, že posloupnost

y_{m}, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}

je lineárně nezávislá a

L(y_{m}, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}) = L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = V.

Posloupnost y_{m}, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} je tedy rovněž báze prostoru V a můžeme celý postup znovu opakovat s posloupností

y_{m−1}, y_{m}, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}.

Tato posloupnost je opět lineárně závislá, neboť

y_{m−1} ∈ L(y_{m}, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}) = V.

Existuje v ní proto vektor, který je lineární kombinací předchozích vektorů. Nemůže to být žádný z vektorů y_{m−1} a y_{m}, protože posloupnost y_{m−1}, y_{m} je lineárně nezávislá coby podposloupnost lineárně nezávislé posloupnosti y_{1}, y_{2}, …, y_{m}. Musí to tedy být jeden z vektorů x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}.

Ten můžeme v bázi y_{m}, x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} nahradit vektorem y_{m−1} a dostaneme tak novou bázi, jejíž první dva prvky jsou y_{m−1}, y_{m} a zbývajících n − 2 prvků pochází z vektorů x_{1}, …, x_{n}.

Opakujeme tento postup vždy tak, že před bázi získanou v předchozím kroku připíšeme další vektor y_{i}. Formální důkaz bychom udělali indukcí podle m.

Nemůžeme dříve vyčerpat posloupnost x_{1}, …, x_{n} než vyčerpáme posloupnost y_{1}, …, y_{m}. Kdyby totiž bylo m > n, dostali bychom po n krocích předchozího postupu bázi y_{m−n+1} , …, y_{m} a vektor y_{1} by tak byl lineární kombinací vektorů y_{m−n+1} , …, y_{m}, což je spor s lineární nezávislostí posloupnosti y_{1}, …, y_{m}. Tím je dokázáno, že m ≤ n, a pokud m < n, tak potom dostaneme po m krocích předchozího důkazu bázi

y_{1}, …, y_{m}, x_{i_{1}}, …, x_{i_{n−m}}.

Jsou-li y_{1}, …, y_{m} a x_{1}, …, x_{n} dvě báze prostoru V, pak je podle předchozího odstavce m ≤ n, neboť posloupnost y_{1}, …, y_{m} je lineárně nezávislá. Ze stejného důvodu (také posloupnost x_{1}, …, x_{n} je lineárně nezávislá) platí rovněž n ≤ m. Tím je rovnost m = n dokázána. □

Poslední tvrzení ospravedlňuje následující definici.

Definice 6.8 Je-li V konečně dimenzionální vektorový prostor nad tělesem T, pak počet prvků libovolné báze prostoru V nazýváme dimenze prostoru V a označujeme jej dim V.

Cvičení 6.6 Jaká je dimenze aritmetického vektorového prostoru T^{n} nad tělesem T?

Jaká je dimenze nulového prostoru N = {0}?

Jaká je dimenze prostoru reálných polynomů R_{≤n}[x] stupně nejvýše n? Má prostor všech reálných polynomů jedné proměnné R[x] konečnou di-

menzi?

Nejdříve si dokážeme několik jednoduchých vlastností vektorových prostorů dimenze n.

Tvrzení 6.9 Předpokládáme, že V je vektorový prostor dimenze n nad tělesem T a x_{1}, …, x_{n} je posloupnost prvků V. Potom je ekvivalentní

1. posloupnost x_{1}, …, x_{n} je báze prostoru V,

2. posloupnost x_{1}, …, x_{n} je maximální (co do délky) lineárně nezávislá posloupnost vektorů ve V, 3. posloupnost x_{1}, …, x_{n} je minimální (opět pokud jde o délku) generu-

jící posloupnost vektorů ve V.

Důkaz. 1 ⇒ 2. Je-li posloupnost x_{1}, …, x_{n} báze prostoru V, je lineárně nezávislá. Pak pro každý vektor y ∈ V platí y ∈ L(x_{1}, …, x_{n}), neboť posloupnost x_{1}, …, x_{n} generuje prostor V. Posloupnost x_{1}, …, x_{n}, y proto není lineárně nezávislá podle tvrzení 6.3.3.

2 ⇒ 3. Nyní předpokládáme, že posloupnost x_{1}, …, x_{n} je maximální lineárně nezávislá posloupnost v prostoru V. Je-li z ∈ V libovolný vektor, pak posloupnost x_{1}, …, x_{n}, z není lineárně nezávislá, neboť má délku větší než n. Podle tvrzení 6.3.3 existuje v této posloupnosti vektor, který je lineárně závislý na předchozích. Nemůže to být žádný z vektorů x_{i} pro i = 1, 2, …, n, neboť posloupnost x_{1}, …, x_{n} je lineárně nezávislá. To znamená, že vektor z je lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n}. Posloupnost x_{1}, …, x_{n} proto generuje prostor V.

Pokud z posloupnosti x_{1}, …, x_{n} vynecháme nějaký vektor x_{k} pro k = 1, 2, …, n, pak podposloupnost x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} negeneruje prostor V, protože vektor x_{k} není lineární kombinací všech zbývajících vektorů x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} podle tvrzení 6.3.2.

3 ⇒ 1. Předpokládáme, že posloupnost x_{1}, …, x_{n} je minimální generující posloupnost ve V. Pokud by byla lineárně závislá, existoval by v ní nějaký vektor x_{k}, který by byl lineárně závislý na ostatních. Potom by platila rovnost

L(x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}) = L(x_{1}, …, x_{n}) = V.

To znamená, že posloupnost x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n} by také generovala prostor V, což je ve sporu s předpokladem, že x_{1}, …, x_{n} je minimální generující posloupnost ve V. Posloupnost x_{1}, …, x_{n} je proto lineárně nezávislá a tedy báze v prostoru V. □

Důsledek 6.10 Ve vektorovém prostoru V dimenze n nad tělesem T platí

• každá lineárně nezávislá posloupnost x_{1}, …, x_{n} je báze V,

• každá posloupnost x_{1}, …, x_{n} generující prostor V je báze V.

Důkaz. Podle tvrzení 6.7 má každá lineárně nezávislá posloupnost ve V nejvýše n prvků, posloupnost x_{1}, …, x_{n} je proto maximální lineárně nezávislá posloupnost a tedy báze podle tvrzení 6.9.

Pokud by posloupnost x_{1}, …, x_{n} byla lineárně závislá, mohli bychom z ní vybrat lineárně nezávislou podposloupnost generující prostor V tak, že bychom postupně vyškrtávali vektory lineárně závislé na předchozích. Dostali bychom tak bázi prostoru V, která by měla méně než n prvků, což je spor s tvrzením 6.7. □

Následující věta je intuitivně zřejmá, je ale nutné ji dokázat.

Věta 6.11 Předpokládáme, že V je vektorový prostor dimenze n nad tělesem T a U ⊆ V je podprostor prostoru V. Potom je prostor U také konečně dimenzionální a dim U ≤ dim V.

Důkaz. Je-li U = {0}, potom prázdná množina ∅ je báze U a dim U = 0 ≤ dim V. Pokud je U ≠ {0}, existuje nenulový vektor y_{1} ∈ U. Posloupnost y_{1} je lineárně nezávislá a pokud je L(y_{1}) = U, je to báze podprostoru U. Proto dim U = 1 ≤ dim V podle Tvrzení 6.7, neboť posloupnost y_{1} je lineárně nezávislá také v prostoru V.

Pokud je L(y_{1}) ≠ U, existuje vektor y_{2} ∈ U \ L(y_{1}). Posloupnost y_{1}, y_{2} je lineárně nezávislá jak v U tak i v celém prostoru V podle tvrzení 6.3. Je-li L(y_{1}, y_{2}) = U, je to báze U a dim U = 2 ≤ dim V podle Tvrzení 6.7.

Je-li L(y_{1}, y_{2}) ≠ U, existuje vektor y_{3} ∈ U \ L(y_{1}, y_{2}), atd. Pokud jsme již pro nějaké k ≤ dim V = n sestrojili lineárně nezávislou posloupnost y_{1}, …, y_{k} prvků podprostoru U a stále L(y_{1}, …, y_{k}) ≠ U, vezmeme libovolný vektor y_{k+1} ∈ U\L(y_{1}, …, y_{k}). Posloupnost y_{1}, …, y_{k}, y_{k+1} je potom opět lineárně nezávislá podle tvrzení 6.3. Proto rovněž k + 1 ≤ dim V = n podle Tvrzení 6.7.

Proto musí existovat k ≤ n, pro které platí L(y_{1}, …, y_{k}) = U. V takovém případě je y_{1}, …, y_{k} báze prostoru U, prostor U má konečnou dimenzi a platí dim U ≤ dim V. □

Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Začneme jednoduchou úlohou.

Úloha 6.3 Předpokládáme, že x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je báze vektorového prostoru V nad tělesem T. Zvolíme libovolný prvek z ∈ V. Jsou-li

z = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n}

a

z = b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ⋯ + b_{n}x_{n}

dvě vyjádření vektoru z jako lineární kombinace prvků báze x_{1}, …, x_{n}, potom a_{i} = b_{i} pro každé i = 1, 2, …, n.

Řešení. Odečteme-li obě vyjádření, dostaneme

0 = (a_{1} − b_{1})x_{1} + (a_{2} − b_{2})x_{2} + ⋯ + (a_{n} − b_{n})x_{n}.

Protože je posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně nezávislá, platí a_{i} − b_{i} = 0, tj. a_{i} = b_{i}, pro každé i = 1, 2, …, n. □

V důsledku předchozí úlohy jsme oprávněni přijmout následující definici.

Definice 6.12 Je-li A : x_{1}, x_{2}, …, x_{n} báze vektorového prostoru V nad tělesem T a

z = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n}

vyjádření vektoru z ∈ V jako lineární kombinace prvků báze x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, pak vektor (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) nazýváme souřadnice vektoru z vzhledem k bázi x_{1}, x_{2}, …, x_{n} a budeme jej označovat [z]_{A}.

Cvičení 6.7 Zvolte několik bází v prostoru R^{3} a najděte souřadnice několika různých vektorů vzhledem k těmto bázím. Jaké jsou souřadnice vektoru (1, 2, 3) vzhledem ke standardní bázi e_{1}, e_{2}, e_{3}? Jaké jsou souřadnice téhož vektoru vzhledem k bázi e_{2}, e_{1}, e_{3}?

Cvičení 6.8 Předpokládáme, že x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je báze vektorového prostoru V nad tělesem T. Jsou-li (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) souřadnice vektoru y ∈ V vzhledem k bázi x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, pak souřadnice vektoru ky vzhledem k téže bázi jsou (ka_{1}, ka_{2}, …, ka_{n}). Pokud jsou dále (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}) souřadnice dalšího vektoru z vzhledem k bázi x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, pak jsou souřadnice součtu y + z vzhledem k téže bázi rovné (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, …, a_{n} + b_{n}). Dokažte.

Elementární transformace posloupnosti vektorů

Elementární (řádkové i sloupcové) úpravy matice zobecníme na libovolné posloupnosti prvků obecného vektorového prostoru V nad tělesem T pomocí následující definice.

Definice 6.13 Je-li x_{1}, x_{2}, …, x_{n} posloupnost prvků vektorového prostoru V nad tělesem T, pak elementární transformací této posloupnosti rozumíme jednu z následujících tří úprav:

1. prohození dvou vektorů x_{i} a x_{j},

2. nahrazení vektoru x_{i} vektorem cx_{i} pro nějaké 0 ≠ c ∈ T,

3. nahrazení vektoru x_{j} vektorem x_{j} + cx_{i} pro nějaké c ∈ T a i ≠ j.

Stejně jako v případě elementárních řádkových úprav matice jsou také elementární transformace posloupnosti vektorů vratné jak si můžete snadno sami ověřit. Následující cvičení je o něco složitější.

Cvičení 6.9 Dokažte, že efektu první elementární transformace můžeme docílit také vhodnou posloupností elementárních transformací druhého a třetího typu.

Následující tvrzení je rovněž jednoduchým důsledkem definic.

Tvrzení 6.14 Předpokládáme, že x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je posloupnost prvků vektorového prostoru V nad tělesem T, a že posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} jsme dostali z posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} pomocí posloupnosti elementárních transformací. Potom platí

• L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = L(y_{1}, y_{2}, …, y_{n}),

• posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je lineárně nezávislá právě když je také posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} lineárně nezávislá,

• posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} je báze prostoru V právě když je posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} také báze V.

Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pouze pro případ, že y_{1}, y_{2}, …, y_{n} dostaneme z x_{1}, x_{2}, …, x_{n} jednou elementární transformací. V tom případě je každý prvek posloupnosti y_{1}, y_{2}, …, y_{n} lineární kombinací nějakých (nejvýše dvou) prvků posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Proto

{y_{1}, y_{2}, …, y_{n}} ⊆ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})

a tedy

L(y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) ⊆ L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}).

Vzhledem k tomu, že každá elementární transformace je vratná, dostaneme také posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} z posloupnosti y_{1}, y_{2}, …, y_{n} jednou elementární transformací. Proto platí také opačná inkluze

L(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ⊆ L(y_{1}, y_{2}, …, y_{n}).

Je-li posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně nezávislá a dostaneme-li z ní posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} první elementární transformací, obsahují obě posloupnosti stejné prvky a proto je také posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} lineárně nezávislá.

Pokud dostaneme y_{1}, y_{2}, …, y_{n} z posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} druhou elementární transformací, platí y_{i} = cx_{i} pro nějaké i a 0 ≠ c ∈ T, a dále y_{j} = x_{j} pro j ≠ i. Platí-li

a_{1}y_{1} + a_{2}y_{2} + ⋯ + a_{n}y_{n} = 0,

pak také

(a_{i}c)x_{i} + ∑_{j≠i}a_{j}x_{j} = 0.

Protože je posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně nezávislá, plyne odtud a_{j} = 0 pro j ≠ i a dále ca_{i} = 0. Vzhledem k tomu, že je c ≠ 0, platí rovněž a_{i} = 0. Posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} je tedy lineárně nezávislá. Vzhledem k tomu, že posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} dostaneme z y_{1}, y_{2}, …, y_{n} také druhou elementární transformací — vynásobením vektoru y_{i} = cx_{i} skalárem c^{−1} ≠ 0 — plyne z lineární nezávislosti y_{1}, y_{2}, …, y_{n} také lineární nezávislost posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n}.

Pokud dostaneme y_{1}, y_{2}, …, y_{n} z posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n} třetí elementární transformací, platí y_{k} = x_{k} pro všechny indexy k ≠ j a y_{j} = x_{j} + cx_{i} pro i ≠ j. Platí-li

∑_{k=1}^{n} a_{k}y_{k} = 0

pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{n} ∈ T, dostaneme po dosazení za vektory y_{k} a přerovnání

∑_{k≠j}a_{k}x_{k} + a_{j}(x_{j} + cx_{i}) = 0,

tj. po dalším přerovnání

∑_{k≠i}a_{k}x_{k} + (a_{i} + a_{j}c)x_{i} = 0.

Protože je posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně nezávislá, platí a_{k} = 0 pro všechna k ≠ i a rovněž a_{i} + a_{j}c = 0. Protože je a_{j} = 0, plyne odtud rovněž a_{i} = 0. Posloupnost y_{1}, y_{2}, …, y_{n} je proto také lineárně nezávislá.

Protože dostaneme také x_{1}, x_{2}, …, x_{n} z posloupnosti y_{1}, y_{2}, …, y_{n} pomocí třetí elementární transformace — k prvku y_{j} = x_{j} + cx_{i} přičteme prvek −cx_{i} = −cy_{i} — plyne naopak z lineární nezávislosti posloupnosti y_{1}, y_{2}, …, y_{n} lineární nezávislost posloupnosti x_{1}, x_{2}, …, x_{n}.

Třetí tvrzení plyne bezprostředně z prvních dvou. □

Dále použijeme poznatky z této kapitoly pro ujasnění si některých vlastností matic.

Úloha 6.4 Dokaže, že pro každou matici A = (a_{ij}) typu m × n s prvky z tělesa T platí

• je-li P regulární matice řádu m, pak R(A) = R(PA),

• rank(A) = dim R(A).

Řešení. Pokud jde o první tvrzení, stačí si uvědomit, že vynásobit matici A zleva nějakou regulární maticí P řádu m je totéž jako ji upravit posloupností elementárních řádkových úprav, jak vyplývá z tvrzení 3.13 a poznámek doprovázejících definice jednotlivých elementárních matic. Dále je zřejmé, že posloupnost [PA]_{1∗}, [PA]_{2∗}, …, [PA]_{m∗} řádkových vektorů matice PA dostaneme z posloupnosti A_{1∗}, A_{2∗}, …, A_{m∗} řádkových vektorů matice A pomocí elementárních transformací. Podle první části předchozího Tvrzení 6.14 pak platí, že

R(A) = L(A_{1∗}, A_{2∗}, …, A_{m∗}) =
= L([PA]_{1∗}, [PA]_{2∗}, …, [PA]_{m∗}) =
= R(PA).

Abychom dokázali druhou část úlohy, najdeme posloupnost elementárních řádkových úprav matice A, která ji převede do matice U v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru, neboli regulární matici P řádu m, takovou, že PA = U. Podle předchozího odstavce víme, že R(A) = R(U) a tedy také dim R(A) = dim R(U). Označme si indexy bázových sloupců matice U postupně 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r} ≤ n, kde r = rank(U) = rank(A) je hodnost matice A. Ukážeme, že nenulové řádky matice U jsou lineárně nezávislé a tvoří tak bázi řádkového prostoru R(U) matice U. Nechť je

c_{1}U_{1∗} + c_{2}U_{2∗} + ⋯ + c_{r}U_{r∗} = 0.

Podíváme se, jak vypadá j_{k}-tá souřadnice lineární kombinace řádkových vektorů na levé straně poslední rovnosti pro k = 1, 2, …, r. Z vektorů U_{1∗}, U_{2∗}, …, U_{r∗} má nenulovou j_{k}-tou souřadnici pouze vektor U_{k∗} a u něho se tato souřadnice rovná 1. Proto je j_{k}-tá souřadnice lineární kombinace na levé straně poslední rovnosti rovna c_{k}. Z poslední rovnosti tak plyne, že c_{k} = 0 pro k = 1, 2, …, r. Nenulové řádkové vektory matice U jsou tedy lineárně nezávislé, a proto dim R(U) = r. Shrneme-li všechny rovnosti pro hodnosti a dimenze dokázané v tomto paragrafu, dostáváme

dim R(A) = dim R(U) = r = rank(U) = rank(A).

□

Formule rank(A) = dim R(A) z předcházející úlohy ukazuje alternativní definici (řádkové) hodnosti matice, která je v učebnicích lineární algebry používána mnohem častěji než definice 2.3. Častěji používaná definice říká, že řádková hodnost matice se rovná dimenzi řádkového prostoru této matice. Pokud bychom vyšli z této definice, pak bychom museli ukázat postup, jak dimenzi řádkového prostoru matice spočítat. Tento postup by spočíval v tom, že bychom matici převedli pomocí elementárních řádkových úprav do odstupňovaného tvaru, a dokázali bychom, že počet nenulových řádků v řádkově odstupňovaném tvaru se rovná dimenzi řádkového prostoru matice. My jsme obvyklý postup pouze obrátili, vyšli jsme z “algoritmické” definice hodnosti matice a teprve mnohem později jsme dokázali, že takto definovaná hodnost matice je vlastně dimenze řádkového prostoru matice. Na tomto místě je třeba připomenout, že jsme dosud nedokázali tvrzení 2.2, které ospravdlňuje definici 2.3. Uděláme to nyní. Budeme k tomu potřebovat následující jednoduchou vlastnost násobení matic.

Lemma 6.15 Předpokládáme, že A a B = PA jsou dvě matice téhož typu m × n a P je regulární matice řádu m. Potom platí pro libovolné sloupcové indexy 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r} ≤ n a j ≠ j_{1}, …, j_{r}, že

A_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}A_{∗j_{k}} právě když B_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}B_{∗j_{k}}.

Důkaz. Jestliže platí

A_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}A_{∗j_{k}},

vynásobíme tuto rovnost zleva maticí P. Pomocí pravidel pro násobení matic dostaneme

PA_{∗j} = P (∑_{k=1}^{r} c_{k}A_{∗j_{k}}) = ∑_{k=1}^{r} c_{k}PA_{∗j_{k}}.

Protože podle tvrzení 3.7 platí

B_{∗l} = PA_{∗l}

pro libovolné l = 1, 2, …, n, plyne odtud

B_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}B_{∗j_{k}}.

Opačnou implikaci dostaneme tak, že poslední rovnost vynásobíme zleva maticí P^{−1} inverzní k P. □

Důkaz jednoznačnosti redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru matice

Předpokládáme, že matice A má typ m × n, a že matici U v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru jsme dostali z A pomocí posloupnosti elementárních řádkových transformací. Podle tvrzení 3.13.4 existuje regulární matice P, pro kterou platí U = PA.

Podle lemma 6.15 platí, že vektor A_{∗j} je lineární kombinací předcházejících sloupcových vektorů A_{∗1}, …, A_{∗j−1} právě když je vektor U_{∗j} lineární kombinací sloupcových vektorů U_{∗1}, …, U_{∗j−1}.

Podle definice redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru platí, že U_{∗j} je bázový sloupec matice U právě když je lineárně nezávislý na předcházejících sloupcích U_{∗1}, …, U_{∗j−1} matice U. Z lemma 6.15 pak vyplývá, že sloupcový vektor A_{∗j} je bázový sloupec matice A právě když je lineárně nezávislý na předcházejících sloupcích A_{∗1}, …, A_{∗j−1} matice A. Poloha (a tedy i počet) bázových sloupců (a proto i pivotů) v matici U tak závisí pouze na matici A, nikoliv na posloupnosti elementárních řádkových transformací, kterými jsme matici U dostali z matice A. Kromě toho je posloupnost bázových sloupců matice A lineárně nezávislá.

Nechť jsou A_{j_{1}}, … A_{j_{r}} všechny bázové sloupce matice A. Pokud je A_{j} nebázový sloupec, je lineárně závislý na předcházejících sloupcových vektorech A_{∗1}, … A_{∗j−1}. Zvolíme maximální k = 1, …, r takové, že j_{k} < j. Protože se lineární obal posloupnosti vektorů nezmění pokud z něj vyškrtneme vektory lineárně závislé na předcházejících, vyplývá odtud, že sloupec A_{j} můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci bázových vektorů A_{j_{1}}, …, A_{j_{k}}. Protože je posloupnost bázových vektorů matice A lineárně nezávislá, plyne z úlohy 6.3 jednoznačnost skalárů c_{1}, …, c_{k} ∈ T, pro které platí

A_{∗j} = ∑_{i=1}^{k}c_{i}A_{∗j_{i}}.

Z lemma 6.15 vyplývá, že tato rovnost platí právě když

U_{∗j} = ∑_{i=1}^{k}c_{i}U_{∗j_{i}}.

Protože ale z definice redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru plyne U_{j_{i}} = e_{i} pro i = 1, …, r, kde e_{i} je i-tý vektor standardní báze aritmetického vektorového prostoru T^{m×1} dimenze m nad tělesem T, plyne odtud, že

U_{∗j} = (c_{1}, …, c_{k}, 0, …, 0)^{T} .

Všechny sloupce matice U tak závisí pouze na matici A, nikoliv na posloupnosti elementárních řádkových úprav, kterými jsme ji dostali z matice A. Tím je jednoznačnost matice U, která je v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru, a dostali jsme ji z matice A posloupností elementárních řádkových úprav dokázána. Doplnili jsme tím důkaz tvrzení 2.10.

Nyní také můžeme snadno doplnit důkaz tvrzení 2.2. Pokud převedeme matici A pomocí elementárních řádkových úprav do matice E v řádkově odstupňovaném tvaru, můžeme matici E dále převést do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru U tak, že napřed vynásobíme každý nenulový řádek matice E vhodným nenulovým číslem tak, aby byl pivot rovný 1. Potom vynulujeme prvky nad každým pivotem pomocí elementárních řádkových úprav třetího druhu. Těmito úpravami se nezmění poloha pivotů, pivoty v matici U budou na stejných místech, jako pivoty v matici E. Protože je matice U určená maticí A jednoznačně, jsou také místa pro pivoty v matici U určená jednoznačně. Proto jsou i místa pro pivoty v matici E určená jednoznačně.

Pokud nějaké tvrzení dokazujeme mnohem později, než jsme je zformulovali, a používáme k tomu další tvrzení, která jsme mezitím dokázali, musíme vždy dát pozor, abychom neudělali důkaz kruhem. To znamená ověřit, jestli k důkazu nepoužíváme nějaké tvrzení, které jsme dokázali pomocí nedokázaného tvrzení, které se snažíme dokázat teprve nyní. V našem případě je ověření, že jsme nepostupovali kruhem, poměrně jednoduché. K důkazu tvrzení 2.10 a tvrzení 2.2 jsme potřebovali lemma 6.15, které závisí pouze na definici lineární kombinace vektorů a na vlastnostech součinu matic z tvrzení 3.7, které vycházelo pouze z definice součinu matic. Dále jsme potřebovali nějaké výsledky o lineárních obalech z páté a šesté kapitoly, které jsme dokázali pouze na základě axiomů vektorového prostoru. Ani v jednom případě jsme nepotřebovali nic, co by jakýmkoliv způsobem vycházelo z jednoznačnosti matice v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru, kterou dostaneme z dané matice A pomocí elementárních řádkových úprav.

Úloha 6.5 Dostaneme-li matici B posloupností elementárních řádkových úprav z matice A typu m × n, potom platí

dim S(A) = dim S(B).

Řešení. Víme už, že platí B = PA pro nějakou regulární matici P řádu m — viz tvrzení 3.13. Dále z lemma 6.15 plyne, že jsou-li 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r} ≤ n nějaké sloupcové indexy, j ≠ j_{1}, …, j_{r}, pak

A_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}A_{∗j_{k}} právě když B_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}B_{∗j_{k}}.

Jinak řečeno, platí

A_{∗j} ∈ L(A_{∗j_{1}}, A_{∗j_{2}}, …, A_{∗j_{r}})

právě když

B_{∗j} ∈ L(B_{∗j_{1}}, B_{∗j_{2}}, …, B_{∗j_{r}}).

Odtud plyne, že posloupnost sloupcových vektorů A_{∗j_{1}}, A_{∗j_{2}}, …, A_{∗j_{r}} generuje sloupcový prostor S(A) právě když posloupnost B_{∗j_{1}}, B_{∗j_{2}}, …, B_{∗j_{r}} generuje sloupcový prostor S(B) matice B.

Z lemma 6.15 rovněž dostaneme, že posloupnost A_{∗j_{1}}, A_{∗j_{2}}, …, A_{∗j_{r}} je lineárně nezávislá právě když je lineárně nezávislá posloupnost B_{∗j_{1}}, B_{∗j_{2}}, …, B_{∗j_{r}}. Platí proto, že posloupnost A_{∗j_{1}}, A_{∗j_{2}}, …, A_{∗j_{r}} je báze sloupcového prostoru S(A) matice A právě když je posloupnost B_{∗j_{1}}, B_{∗j_{2}}, …, B_{∗j_{r}} báze sloupcového prostoru S(B) matice B. Oba sloupcové prostory S(A) a S(B) proto mají stejnou dimenzi. □

Dimenzi sloupcového prostoru S(A) matice A obvykle nazýváme sloupcová hodnost matice A. Rovná se (řádkové) hodnosti transponované matice A^{T}. Spojíme-li zjištění posledních dvou úloh, dostaneme následující větu, která je jedním ze zázraků lineární algebry.

Věta 6.16 Pro každou matici A typu m × n s prvky z tělesa T platí

dim R(A) = dim S(A).

Důkaz. Matici A převedeme pomocí elementárních řádkových úprav do matice U, která je v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru. To znamená, že najdeme regulární matici P, pro kterou platí PA = U. Podle předchozích dvou úloh platí R(A) = R(U), tj. rovněž dim R(A) = dim R(U) , a také dim S(A) = dim S(U). Stačí proto dokázat, že platí dim R(U) = dim S(U).

Při řešení Úlohy 6.4 jsme ukázali, že nenulové řádky matice U tvoří bázi řádkového prostoru R(U) matice U. Označíme-li r počet nenulových řádků matice U, pak platí r = dim R(U).

Jsou-li U_{∗j_{1}}, U_{∗j_{2}}, …, U_{∗j_{r}} bázové sloupce matice U, pak U_{∗j_{k}} = e_{k} pro k = 1, …, r. Bázové sloupce tak tvoří prvních r vektorů standardní báze aritmetického vektorového prostoru T^{m}. Posloupnost bázových sloupců je proto lineárné nezávislá. Dokážeme-li, že bázové sloupce také generují sloupcový prostor S(U), dostaneme že platí také r = dim S(U).

K tomu stačí ukázat, že každý sloupcový vektor U_{∗j} matice U je lineární kombinací bázových sloupců U_{∗j_{1}}, U_{∗j_{2}}, …, U_{∗j_{r}}. Protože v matici U je pouze prvních r řádků nenulových, platí U_{∗j} = (c_{1}, …, c_{r}, 0, …, 0)^{T} pro nějaké prvky c_{1}, …, c_{r} ∈ T. Potom

U_{∗j} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}e_{k} = ∑_{k=1}^{r} c_{k}U_{∗j_{k}},

a to znamená, že

S(U) = L(U_{∗1}, U_{∗2}, …, U_{∗n}) = L(U_{∗j_{1}}, U_{∗j_{2}}, …, U_{∗j_{r}}).

□

Důsledek 6.17 Pro každou matici A s prvky z tělesa T platí

rank(A) = rank(A^{T}).

Důkaz. Z předchozí věty 6.16, definice řádkového a sloupcového prostoru matice a úlohy 6.4 plyne

rank(A) = dimR(A) = dimS(A) = dimR(A^{T}) = rank(A^{T}).

□

Je vhodné ještě jednou si připomenout, jak probíhal důkaz rovnosti řádkové a sloupcové hodnosti matice. Nejdříve jsme v Úloze 6.4 dokázali, že elementární řádkové úpravy nemění řádkový prostor matice. Potom jsme v Úloze 6.5 ukázali, že elementární řádkové úpravy nemění dimenzi sloupcového prostoru matice. Snadno si sami najdete příklad, že elementární řádkové úpravy mohou změnit samotný sloupcový prostor. Nemění ale jeho dimenzi. A nakonec jsme dokázali, že pro matici v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru platí rovnost dimenzí řádkového a sloupcového prostoru. Spolu s faktem, že každou matici můžeme převést pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru, to završilo důkaz rovnosti řádkové a sloupcové hodnosti matice.

Komprimace dat

Máme-li uchovat velkou matici s malou hodností, můžeme využít našich znalostí k tomu, abychom podstatně zmenšili objem dat, která musíme uchovávat. Tak například, máme-li čtvercovou matici řádu 10^{3} a víme-li, že její hodnost je 10^{2}, nemusíme uchovávat všech 10^{6} prvků matice. Stačí uchovat pouze 10^{2} bázových sloupců a pro každý ze zbývajících 900 sloupcových vektorů uchovat pouze 100 koeficientů lineární kombinace bázových sloupců, která se danému nebázovému sloupci rovná. Stačí tak uložit pouze 10^{2}·10^{3} = 10^{5} skalárů z bázových sloupců a dále 9·10^{2}·10^{2} = 9·10^{4} < 10^{5} koeficientů lineárních kombinací pro nebázové sloupce. Tímto způsobem jsme dokázali snížit počet skalárů, které je nutno uchovávat, na méně než jednu pětinu, aniž bychom jakkoliv zmenšili velikost uložené informace.

Znovu o podprostorech určených maticí

Nejdříve si nově zformulujeme výsledky druhé kapitoly o řešení homogenní soustavy lineárních rovnic.

Tvrzení 6.18 Je-li A matice typu m×n s prvky z tělesa T a rank(A) = r, pak dimN (A) = n − r.

Důkaz. Platí x ∈ N (A) právě když Ax = 0, tj právě když je vektor x řešením homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí A. Z definice hodnosti matice plyne, že matice A má r = rank(A) bázových sloupců. Z druhé kapitoly už víme, že hodnoty n − r volných proměnných x_{f_{1}}, x_{f_{2}}, …, x_{f_{n−r}} můžeme zvolit libovolně a z nich potom jednoznačně dopočítáme hodnoty zbývajících proměnných. Existuje tedy pro každé i = 1, …, n − r řešení x_{i} = (x_{i,1}, …, x_{i,n}) soustavy Ax = 0, pro které platí

x_{i,f_{j}} = δ_{i,j}

pro j = 1, …, n − r.

Dokážeme, že tato řešení x_{1}, …, x_{n−r} jsou lineárně nezávislá v prostoru T^{n}. Je-li

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n−r}x_{n−r} = 0,

pak pro každé j = 1, …, n − r platí

a_{1}x_{1,f_{j}} + a_{2}x_{2,f_{j}} + ⋯ + a_{n−r}x_{n−r,f_{j}} = a_{j} = 0.

Tím je lineární nezávislost vektorů x_{1}, …, x_{n−r} dokázána.

Z druhé kapitoly dále víme, že každé řešení soustavy Ax dostaneme jako lineární kombinaci řešení x_{1}, …, x_{n−r}, čili že

N (A) = L(x_{1}, …, x_{n−r}).

Posloupnost vektorů x_{1}, …, x_{n−r} tak tvoří bázi prostoru N (A), proto

dimN (A) = n − r.

□

Následuje tvrzení, které udává jak snadno najít bázi levého nulového prostoru M(A) matice A.

Tvrzení 6.19 Předpokládáme, že A je matice hodnosti rank(A) = r, typu m×n a s prvky z tělesa T. Je-li P regulární matice řádu m taková, že součin PA = U je v řádkově odstupňovaném tvaru, pak

M(A) = L(P_{r+1∗} , P_{r+2∗} , …, P_{m∗}),

neboli levý nulový prostor M(A) matice A se rovná lineárnímu obalu posledních m − r řádků matice P.

Dále platí, že dim M(A) = m − r.

Důkaz. Protože je i-tý řádek matice U nulový pro i = r+1, …, m, platí podle tvrzení 3.7

P_{i∗}A = [PA]_{i∗} = U_{i∗} = 0

pro i = r + 1, …, m, neboli

P_{i∗} ∈ M(A)

pro všechna i = r + 1, …, m. Protože M(A) je podprostor prostoru T^{n}, platí rovněž

L(P_{r+1∗} , …, P_{m∗}) ⊆ M(A).

Řádky regulární matice jsou lineárně nezávislé, proto

dimL(P_{r+1∗} , …, P_{m∗}) = m − r.

Dále platí pro libovolný vektor x ∈ T^{m}, že

xA = 0 právě když (xA)^{T} = A^{T} x^{T} = 0.

To znamená, že x ∈ M(A) právě když x^{T} ∈ N (A^{T}). Oba prostory M(A) a N (A^{T}) se proto rovnají a mají stejnou dimenzi, která se podle tvrzení 6.18 rovná m − r, neboť matice A^{T} je typu n × m. Proto platí

rank(A^{T}) = dimR(A^{T}) = dimS(A^{T}) = dim(R(A)) = rank(A) = r

podle věty 6.16.

Odtud vyplývá rovnost prostorů L(P_{r+1∗} , …, P_{m∗}) = M(A). □

Úloha 6.6 Najděte nějakou generující množinu levého nulového prostoru M(A) matice

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{matrix} ) .

Řešení. Najdeme posloupnost elementárních matic E_{k}, …, E_{1} řádu 3, pro kterou platí E_{k} ⋯ E_{1}A = U, kde U je matice v řádkově odstupňovaném tvaru. Potom platí P = E_{k} ⋯ E_{1}I_{3}, tj. matici P dostaneme tak, že stejnou posloupnost elementárních řádkových úprav uděláme na jednotkovou matici I_{3}. Postupujeme tedy obdobně jako při výpočtu inverzní matice. Připíšeme si jednotkovou matici I_{3} k matici A a děláme tytéž elementární řádkové úpravy současně na obě matice A a I_{3}:

( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & −1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2/3 & −1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & −5/3 & 1 \end{matrix} ) .

Proto

P = ( \begin{matrix}−1/3 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & −1/3 & 0 \\ 1/3 & −5/3 & 1 \end{matrix} )

a tedy M(A) = L((1/3, −5/3, 1)). □

Následující tvrzení shrnuje dosud získané poznatky o dimenzi a bázích čtyřech podprostorů definovaných maticí.

Tvrzení 6.20 Předpokládáme, že A je matice hodnosti rank(A) = r, tvaru m × n a s prvky z tělesa T. Potom platí

• dim S(A) = r a bázové sloupce matice A tvoří bázi prostoru S(A).

Jestliže P je regulární matice řádu m a součin PA = U je v řádkově odstupňovaném tvaru, pak

• dim R(A) = r a nenulové řádky matice U tvoří bázi prostoru R(A),

• dim M(A) = m − r a posledních m − r řádků matice P tvoří bázi prostoru M(A).

A nakonec, je-li x = x_{f_{1}}h_{1} + x_{f_{2}}h_{2} + ⋯ + x_{f_{n−r}}h_{n−r} obecné řešení homogenní soustavy Ax = 0, pak platí • dim N (A) = n − r a vektory h_{1}, h_{2}, …, h_{n−r} tvoří bázi prostoru

N (A).

Důkaz. Jediné, co jsme ještě nedokázali, je lineární nezávislost vektorů h_{1}, h_{2}, …, h_{n−r}. Z tvrzení 6.18 plyne, že dim N (A) = n − r. Protože vektory h_{1}, h_{2}, …, h_{n−r} generují podprostor N (A) podle věty 2.4, plyne jejich lineární nezávislost z druhé části Tvrzení 6.9. □

Následující důsledek je natolik důležitý, že jej uvedeme jako větu.

Věta 6.21 Pro každou matici tvaru m × n s prvky z tělesa T platí

dim S(A) + dim N (A) = n.

□

Cvičení 6.10 Na základě řešení Úlohy 6.6 zformulujte analogický algoritmus pro řešení homogenní soustavy m lineárních rovnic o n neznámých Ax = 0. Porovnejte výpočetní náročnost tohoto algoritmu s výpočetní náročností algoritmu založeného na Gaussově eliminaci a zpětné substituci.

Hodnost součinu matic

Tvrzení 6.22 Jsou-li A matice tvaru m × n a B matice tvaru n × p, obě s prvky z tělesa T, pak platí

rank(AB) = rank(B) − dim N (A) ∩ S(B).

Důkaz. Zvolíme nějakou bázi y_{1}, …, y_{s} v podprostoru N (A) ∩ S(B). Protože platí N (A) ∩ S(B) ⊆ S(B) a posloupnost y_{1}, …, y_{s} je lineárně nezávislá, můžeme ji podle Tvrzení 6.7 doplnit do báze y_{1}, …, y_{s}, z_{1}, …, z_{t} prostoru S(B). Potřebujeme dokázat, že dim S(AB) = t. To uděláme tak, že dokážeme, že posloupnost vektorů Az_{1}, …, Az_{t} je báze prostoru S(AB).

Je-li b ∈ S(AB), pak platí b = ABy pro nějaký vektor y ∈ T^{n}. To znamená, že vektor By ∈ S(B) můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze y_{1}, …, y_{s}, z_{1}, …, z_{t} prostoru S(B):

By = ∑_{j=1}^{s}b_{j}y_{j} + ∑_{k=1}^{t} c_{k}z_{k},

a tedy

b = A(By) = ∑_{j=1}^{s}b_{j}Ay_{j} + ∑_{k=1}^{t} c_{k}Az_{k} = ∑_{k=1}^{t} c_{k}Az_{k}.

To znamená, že vektory Az_{1}, …, Az_{t} generují prostor S(AB).

Abychom dokázali, že posloupnost Az_{1}, …, Az_{t} je lineárně nezávislá, budeme předpokládat, že

0 = ∑_{k=1}^{t} a_{k}Az_{k} = A(∑_{k=1}^{t} a_{k}z_{k}).

Odtud dostáváme, že vektor

∑_{k=1}^{t} a_{k}z_{k} ∈ N (A) ∩ S(B).

Můžeme proto tento vektor vyjádřit jako lineární kombinaci prvků báze y_{1}, …, y_{s} prostoru N (A) ∩ S(B):

∑_{k=1}^{t} a_{k}z_{k} = ∑_{j=1}^{s}d_{j}y_{j},

tj.

∑_{k=1}^{t} a_{k}z_{k} + ∑_{j=1}^{s}(−d_{j})y_{j} = 0.

Vzhledem k lineární nezávislosti prvků báze y_{1}, …, y_{s}, z_{1}, …, z_{t} prostoru S(B) odtud plyne, že a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{t} = 0. Posloupnost Az_{1}, …, Az_{t} je tedy lineárně nezávislá a proto báze prostoru S(AB). Odtud dostáváme, že

rank(B) = dim S(B) = s + t = dim N (A) ∩ S(B) + dim S(AB) =
= dim N (A) ∩ S(B) + rank(AB).

□

Tvrzení 6.22 má několik důsledků. První z nich jsme již dokázali jiným způsobem v Úloze 6.4 a Úloze 6.5.

Důsledek 6.23 Předpokládáme, že A je matice tvaru m×n s prvky z tělesa T. Potom pro každou regulární matici P řádu m a každou regulární matici Q řádu n platí

• rank(A) = rank(PA) = rank(AQ) = rank(PAQ).

Jeli dále B matice tvaru n × p s prvky z tělesa T, pak platí

• rank(AB) ≤ rank(A), rank(B), KAPITOLA 6. LINEÁRNÍ (NE)ZÁVISLOST 98

• rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB).

Důkaz. Je-li P regulární matice, pak N (P) = {0} podle cvičení 5.4. Proto také N (P) ∩ S(A) = {0}. Proto podle tvrzení 6.22 platí

rank(PA) = rank(A) − dim N (P) ∩ S(A) = rank(A). K důkazu rovnosti rank(A) = rank(AQ) použijeme navíc rovnost hod-

nosti matice a matice k ní transponované vyplývající z věty 6.16. Platí rank(AQ) = rank(AQ)^{T} = rank(Q^{T} A^{T}) = rank(A^{T}) = rank(A). K důkazu druhé části použijeme opět Tvrzení 6.22:

rank(AB) = rank(B) − dim N (A) ∩ S(B) ≤ rank(B).

Z právě dokázané nerovnosti a Věty 6.16 pak plyne rovněž

rank(AB) = rank(AB)^{T} = rank(B^{T} A^{T}) ≤ rank(A^{T}) = rank(A). Tím je dokázána druhá část.

Z inkluze N (A) ∩ S(B) ⊆ N (A) plyne podle Věty 6.11 a poslední části Tvrzení 6.20 nerovnost

dim N (A) ∩ S(B) ≤ dim N (A) = n − rank(A),

a proto opětovným použitím Tvrzení 6.22 dostaneme nerovnost rank(AB) = rank(B) − dim N (A) ∩ S(B) ≥ rank(B) + rank(A) − n. □

Všimněte si také, že druhá část posledního důsledku plyne rovněž z tvrzení 3.7. Z něho vyplývá, že každý řádek součinu AB je lineární kombinací řádků matice B, a proto každý řádek součinu AB leží v prostoru L(B_{1∗}, B_{2∗}, …, B_{n∗}) = R(B). Proto také R(AB) ⊆ R(B) a

rank(AB) = dim R(AB) ≤ dim R(B) = rank(B).

Obdobně nerovnost rank(AB) ≤ rank(A) plyne z faktu, že každý sloupec součinu AB je lineární kombinací sloupců matice A a proto S(AB) ⊆ S(A). Součet podprostorů Definice 6.24 Jsou-li X a Y dva podprostory vektorového prostoru V nad tělesem T, pak definujeme součet podprostorů X a Y jako podprostor

X + Y = L(X ∪ Y)

prostoru V.

Úloha 6.7 Dokažte, že jsou-li X a Y dva podprostory vektorového prostoru V nad tělesem T, pak platí

X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y}.

Řešení. Inkluze {x + y : x ∈ X , y ∈ Y} ⊆ X + Y je zřejmá. K důkazu opačné inkluze vezmeme libovolný prvek z ∈ X + Y = L(X ∪ Y). Podle tvrzení 5.8 platí

z = ∑_{i=1}^{k}a_{i}x_{i} + ∑_{j=1}^{l}b_{j}y_{j}

pro nějaké vektory x_{1}, …, x_{k} ∈ X, y_{1}, …, y_{l} ∈ Y a skaláry a_{i}, b_{j} ∈ T. Protože jsou X a Y podprostory prostoru V, můžeme položit

x = ∑_{i=1}^{k}a_{i}x_{i} ∈ X a y = ∑_{j=1}^{l}b_{j}y_{j} ∈ Y.

□

Tvrzení 6.25 Je-li V konečně dimenzionální vektorový prostor nad tělesem T a X , Y dva podprostory V, pak platí

dim(X + Y) + dim(X ∩ Y) = dim X + dim Y.

Důkaz. Především je třeba si uvědomit, že všechny čtyři podprostory mají konečnou dimenzi podle Věty 6.11. K důkazu rovnosti si stačí zapamatovat, že musíme začít volbou báze u_{1}, …, u_{k} v průniku podprostorů X ∩Y. Tuto lineárně nezávislou posloupnost můžeme podle Tvrzení 6.7 doplnit do báze u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l} podprostoru X a do báze u_{1}, …, u_{k}, y_{1}, …, y_{m} podprostoru Y. Dokážeme, že u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}, y_{1}, …, y_{m} je báze podprostoru X + Y.

Libovolný vektor z ∈ X + Y můžeme podle Úlohy 6.7 vyjádřit jako součet z = x + y pro nějaké vektory x ∈ X = L(u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}) a y ∈ Y = L(u_{1}, …, u_{k}, y_{1}, …, y_{m}). Proto

z = x + y ∈ L(u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}, y_{1}, …, y_{m}),

tj. vektory u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}, y_{1}, …, y_{m} generují podprostor X + Y.

Abychom dokázali, že je u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}, y_{1}, …, y_{m} také lineárně nezávislá posloupnost, vezmeme libovolnou lineární kombinaci

∑_{p=1}^{k}a_{p}u_{p} + ∑_{q=1}^{l}b_{q}x_{q} + ∑_{r=1}^{m}c_{r}y_{r} = 0.

Z této rovnosti plyne, že vektor

w = ∑_{p=1}^{k}a_{p}u_{p} + ∑_{q=1}^{l}b_{q}x_{q} = − ∑_{r=1}^{m}c_{r}y_{r}

leží jak v X coby lineární kombinace vektorů u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}, tak také v podprostoru Y coby lineární kombinace vektorů y_{1}, …, y_{m}. Proto w ∈ X ∩ Y, a protože je posloupnost u_{1}, …, u_{k} báze X ∩ Y, platí také

w = ∑_{p=1}^{k}d_{p}u_{p}.

Kromě toho máme už vyjádření

w = − ∑_{r=1}^{m}c_{r}y_{r}.

Odtud dostáváme, že

0 = ∑_{p=1}^{k}d_{p}u_{p} + ∑_{r=1}^{m}c_{r}y_{r}.

Protože je posloupnost u_{1}, …, u_{k}, y_{1}, …, y_{m} lineárně nezávislá, plyne z poslední rovnosti d_{1} = ⋯ = d_{k} = c_{1} = ⋯ = c_{m} = 0. Dosazením za koeficienty c_{r} do rovnosti

∑_{p=1}^{k}a_{p}u_{p} + ∑_{q=1}^{l}b_{q}x_{q} = − ∑_{r=1}^{m}c_{r}y_{r} = 0

dostaneme vzhledem k tomu, že také posloupnost u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l} je lineárně nezávislá, rovnosti a_{1} = ⋯ = a_{k} = b_{1} = ⋯ = b_{l} = 0. Všechny koeficienty v lineární kombinaci

∑_{p=1}^{k}a_{p}u_{p} + ∑_{q=1}^{l}b_{q}x_{q} + ∑_{r=1}^{m}c_{r}y_{r} = 0

jsou tak nulové. Posloupnost u_{1}, …, u_{k}, x_{1}, …, x_{l}, y_{1}, …, y_{m} je proto lineárně nezávislá a tedy báze podprostoru X + Y. Platí tak

dim(X + Y) + dim(X ∩ Y) = (k + l + m) + k = (k + l) + (k + m) =
= dim X + dim Y.

□

Elementární úpravy stačí

Také další tvrzení je přímým důsledkem definic a již známých vlastností matic.

Tvrzení 6.26 Pro dvě matice A a B stejného tvaru m × n s prvky z tělesa T platí

• R(A) = R(B) právě když existuje regulární matice P řádu m, pro kterou platí A = PB,

• S(A) = S(B) právě když existuje regulární matice Q řádu n, pro kterou platí A = BQ.

Důkaz. Platí-li A = PB pro nějakou regulární matici, pak R(A) = R(PA) = R(B) podle Úlohy 6.4.

Pokud naopak R(A) = R(B), pak pro hodnost matic A, B platí podle Úlohy 6.4

rank(A) = dim R(A) = dim R(B) = rank(B).

Označíme si společnou hodnost rank(A) = rank(B) = r. Existují proto regulární matice Q_{1} a Q_{2} řádu m takové, že obě matice

Q_{1}A = E a Q_{2}B = F

jsou v řádkově odstupňovaném tvaru a počet nenulových řádků v obou maticích E a F je r. Proto

E = ( \begin{matrix}C \\ 0 \end{matrix} ) a F = ( \begin{matrix}D \\ 0 \end{matrix} ) ,

kde obě matice C a D jsou tvaru r×n a pro jejich hodnosti platí rank(C) = rank(D) = r. Obě posloupnosti řádkových vektorů C_{1∗}, C_{2∗}, …, C_{r∗} a také D_{1∗}, D_{2∗}, …, D_{r∗} tak generují stejný podprostor

R(C) = R(E) = R(A) = R(B) = R(F) = R(D)

aritmetického vektorového prostoru T^{n}. Dimenze tohoto podprostoru se rovná dim R(A) = r. Podle druhé části Tvrzení 6.9 jsou obě posloupnosti lineárně nezávislé a tedy báze podprostoru

L(C_{1∗}, C_{2∗}, …, C_{r∗}) = R(C) = R(D) = L(D_{1∗}, D_{2∗}, …, D_{r∗}).

Pro každý řádkový vektor C_{i∗}, kde i = 1, …, r, tak existuje vyjádření

C_{i∗} = ∑_{j=1}^{r}u_{ij}D_{j∗}

vektoru C_{i∗} jako lineární kombinace řádkových vektorů matice D. Označíme U_{1} = (u_{ij}) čtvercovou matici řádu r. Platí C = U_{1}D. Protože r = rank(C) = rank(U_{1}D) ≤ rank(U_{1}) ≤ r podle druhé části důsledku 6.23, platí rank(U_{1}) = r, neboli matice U_{1} je regulární podle věty 3.9. Její sloupce jsou totiž lineárně nezávislé.

Označíme-li

U_{2} = ( \begin{matrix}U_{1} \\ 0 \end{matrix} )

matici tvaru m × r, kterou dostaneme z matice U_{1} přidáním nulové matice tvaru (m − r) × r, pak jsou sloupce matice U_{2} také lineárně nezávislé a platí proto rank(U_{2}) = r. Posloupnost sloupcových vektorů matice U_{2} tak můžeme pomocí nějakých sloupcových vektorů x_{r+1} , …, x_{m} doplnit do báze prostoru T^{m} podle Tvrzení 6.7. Čtvercová matice U = (U_{2}|x_{r+1} | ⋯ |x_{m}) řádu m je proto regulární, má hodnost m. Vyjádříme ji v blokovém tvaru

U = ( \begin{matrix}U_{1} & X_{1} \\ 0 & X_{2} \end{matrix} ) .

Potom platí

UF = ( \begin{matrix}U_{1} & X_{1} \\ 0 & X_{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}D \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}U_{1}D \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}C \\ 0 \end{matrix} ) = E.

Dostáváme tak rovnosti

Q_{1}A = E = UF = UQ_{2}B.

Protože jsou matice Q_{1}, Q_{2} a U regulární, platí rovněž

A = Q_{1}^{−1}UQ_{2}B.

Součin regulárních matic P = Q_{1}^{−1}UQ_{2} je rovněž regulární a tím je opačná implikace první části tvrzení dokázána.

Druhou část tvrzení dokážeme pomocí první části. Platí totiž

R(A^{T}) = S(A) a R(B^{T}) = S(B).

Podle první části tvrzení pak dostáváme, že R(A^{T}) = R(B^{T}) právě když existuje regulární matice P, pro kterou platí PA^{T} = B^{T}. Zřejmě platí S(A) = S(B) právě když R(A^{T}) = R(B^{T}), což je právě když AP^{T} = B. Protože matice transponovaná k regulární matici je rovněž regulární, můžeme položit Q = (P^{T})^{−1} = (P^{−1})^{T}. □

Důsledek 6.27 Jsou-li x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} dvě báze aritmetického prostoru T^{n}, pak existuje posloupnost elementárních transformací, která převede bázi x_{1}, …, x_{n} do báze y_{1}, …, y_{n}.

Důkaz. Vektory x_{1}, …, x_{n} zapíšeme jako řádky do matice A a stejně tak vektory y_{1}, …, y_{n} zapíšeme jako řádky do matice B. Potom R(A) = L(x_{1}, …, x_{n}) = T^{n} = L(y_{1}, …, y_{n}) = R(B). Podle první části Tvrzení 6.26 existuje regulární matice P, pro kterou platí PA = B. Existuje tedy posloupnost elementárních řádkových úprav matice A, která ji převede do matice B, neboli existuje posloupnost elementárních transformací, která převede bázi x_{1}, …, x_{n} do báze y_{1}, …, y_{n}. □