Kapitola 1

Lineární rovnice a jejich soustavy

Úloha 1.1 Najděte kvadratickou funkci ax^{2} + bx + c = y, jejíž graf prochází body (0, 3), (1, 2) a (2, 3).

Řešení. Tři uvedené body musí vyhovovat rovnici y = ax^{2} + bx + c. Musí proto platit

a · 0 + b · 0 + c = 3,
a · 1 + b · 1 + c = 2,
a · 4 + b · 2 + c = 3.

Neznámé koeficienty a, b, c tak najdeme jako řešení soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých

0 · a + 0 · b + 1 · c = 3,
1 · a + 1 · b + 1 · c = 2,
4 · a + 2 · b + 1 · c = 3.

První rovnice určuje koeficient c = 3 a po dosazení do zbývajících dvou rovnic dostaneme

1a + 1b = −1,
4a + 2b = 0.

Odečtením čtyřnásobku druhé rovnice od třetí dostaneme

−2 b =, 4,

tj. b = −2 a dosazením do druhé rovnice najdeme a = 1. Hledaná kvadratická funkce se rovná

y = x^{2} − 2x + 3.

□

Rovnice, které jsme řešili, se nazývají lineární, protože obsahují pouze první mocniny neznámých a neobsahují ani žádný součin neznámých. Rovnice 2x^{2} = 3, x + \frac{1}{y} = 2 nebo x + xy = 5z nejsou lineární.

Při řešení jiných úloh sestavíme soustavu rovnic, která na první pohled není lineární. Při jejím řešení ale nakonec k soustavě lineárních rovnic dospějeme.

Úloha 1.2 Najděte střed kružnice, která prochází body (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) a (x_{3}, y_{3}).

Řešení. Obecná rovnice kružnice v kartézských souřadnicích je

(x − a)^{2} + (y − b)^{2} = c^{2},

kde (a, b) jsou souřadnice středu kružnice a c > 0 je její poloměr. Dosadímeli do této rovnice souřadnice bodů (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) a (x_{3}, y_{3}), dostaneme soustavu rovnic

(x_{1} − a)^{2} + (y_{1} − b)^{2} = c^{2},
(x_{2} − a)^{2} + (y_{2} − b)^{2} = c^{2},
(x_{3} − a)^{2} + (y_{3} − b)^{2} = c^{2}.

Po roznásobení dostaneme pro neznámé a, b, c rovnice

x_{1}^{2} − 2x_{1}a + a^{2} + y_{1}^{2} − 2y_{1}b + b^{2} = c^{2},
x_{2}^{2} − 2x_{2}a + a^{2} + y_{2}^{2} − 2y_{2}b + b^{2} = c^{2},
x_{3}^{2} − 2x_{3}a + a^{2} + y_{3}^{2} − 2y_{3}b + b^{2} = c^{2}.

Toto není soustava lineárních rovnic, nicméně výpočet souřadnic (a, b) středu hledané kružnice můžeme převést na řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých tím, že postupně odečteme druhou rovnici od první a potom třetí rovnici od druhé. Dostaneme tak soustavu

x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − 2(x_{1} − x_{2})a + y_{1}^{2} − y_{2}^{2} − 2(y_{1} − y_{2})b = 0,
x_{2}^{2} − x_{3}^{2} − 2(x_{2} − x_{3})a + y_{2}^{2} − y_{3}^{2} − 2(y_{2} − y_{3})b = 0,
x_{3}^{2} − 2x_{3}a + a^{2} + y_{3}^{2} − 2y_{3}b + b^{2} = c^{2}.

První dvě rovnice tvoří soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a, b. Jejím řešením najdeme souřadnice (a, b) středu hledané kružnice. □

Úlohu 1.2 můžeme také řešit geometricky. Pokud jsou všechny tři body (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) a (x_{3}, y_{3}) různé, sestrojíme napřed osu úsečky spojující první dva body, a poté osu úsečky spojující druhý a třetí bod. Pokud se tyto osy protnou, jejich průsečík je středem hledané kružnice a úloha má v tomto případě jediné řešení. To nastane právě když tři dané body neleží na jedné přímce. Pokud leží na jedné přímce (a jsou navzájem různé), osy se neprotnou a úloha nemá žádné řešení. Pokud se aspoň dva body rovnají, má úloha nekonečně mnoho řešení.

Intuitivně ale cítíme, že úloha má “méně” řešení, pokud se rovnají pouze dva z daných bodů a třetí je od nich různý, než když jsou si všechny tři body rovné. V prvním případě středy hledaných kružnic leží na ose úsečky spojující dvojici různých daných bodů a každý bod této přímky určuje právě jednu kružnici, která je řešením naší úlohy. V případě rovnosti všech tří bodů je každý bod roviny různý od daného bodu středem právě jedné kružnice řešící naši úlohu. Pokud bod považujeme za degenerovanou kružnici s poloměrem 0, pak je každý bod roviny středem právě jedné kružnice, která je řešením úlohy. Můžeme tak říct, že v případě rovnosti dvou daných bodů má množina všech řešení úlohy dimenzi 1, v případě rovnosti všech tří bodů má dimenzi 2. Pokud jsou všechny tři body navzájem různé, má množina všech řešení úlohy buď dimenzi 0 (neleží-li body na přímce) nebo je úloha neřešitelná (pokud na přímce leží).

Těmto geometrickým úvahám by také mělo odpovídat algebraické řešení úlohy. Soustava

x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − 2(x_{1} − x_{2})a + y_{1}^{2} − y_{2}^{2} − 2(y_{1} − y_{2})b = 0,
x_{2}^{2} − x_{3}^{2} − 2(x_{2} − x_{3})a + y_{2}^{2} − y_{3}^{2} − 2(y_{2} − y_{3})b = 0,

jejíž řešení udává souřadnice (a, b) středu hledané kružnice, by měla mít buď jedno řešení, nebo žádné, nebo nekonečně mnoho. Má-li jich nekonečně mnoho, pak v jednom případě tvoří množina všech řešení přímku v rovině, ve druhém celou rovinu.

Cvičení 1.1 Ověřte si to konkrétní volbou bodů (x_{1}, y_{1}) = (1, 2), (x_{2}, y_{2}) = (2, 3) a (x_{3}, y_{3}) = (−1, 1). Zkuste rovněž body (x_{1}, y_{1}) = (0, 1), (x_{2}, y_{2}) = (1, 0) a (x_{3}, y_{3}) = (−1, 2).

Co se stane, máme-li najít kružnici, která prochází různými body (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), …, (x_{n}, y_{n}) pro n > 3? Každá trojice různých bodů určí jednoznačně nějakou kružnici, která tyto tři body obsahuje. Pro různé výběry tří bodů mohou být tyto kružnice různé a v naprosté většině případů také skutečně různé budou. Existuje ale jednoznačně určená kružnice, která je v jistém dobře definovaném smyslu “nejblíže” k zadaným bodům. Úlohu, jak tuto kružnici najít, řešili astronomové na počátku 19. století. Dne 1.ledna 1801 objevil astronom Giuseppe Piazi v souhvězdí Býka “novou hvězdu”. Další pozorování ukázala, že se “hvězda” pohybuje, a byla proto považována za nově objevenou planetu. V polovině února Piazi onemocněl a později ji už znovu nenašel, nová “planeta” se skryla za sluncem a na podzim téhož roku se ji už nepodařilo na obloze znovu nalézt.

Astronomové se snažili z naměřených poloh vypočítat kružnici, po které se “planeta” měla podle jejich předpokladů pohybovat. Nepodařilo se jim ji ale na noční obloze znovu objevit. Slavný německý matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) zkusil vypočítat eliptickou dráhu, která naměřeným polohám “planety” nejlépe odpovídala. K jejímu výpočtu vytvořil metodu nejmenších čtverců. Na základě svých výpočtů určil v prosinci 1801 polohu ztracené “planety” a předpověděl její další pohyb. “Planeta”, ve skutečnosti planetka Ceres, byla na Gaussem předpovězeném místě skutečně znovuobjevena. O metodě nejmenších čtverců si více řekneme později.

Jedna lineární rovnice o dvou neznámých

ax + by = c

je rovnicí přímky v rovině za předpokladu, že oba koeficienty a, b nejsou současně rovné 0. Znamená to, že množina všech řešení této rovnice, tj. množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel, které této rovnici vyhovují, tvoří přímku v rovině. Z této rovnice ale bezprostředně nepoznáme, jakými body přímka všech řešení prochází. Tutéž přímku můžeme také vyjádřit parametricky ve tvaru

{u + tv : t ∈ R},

kde u = (u_{1}, u_{2}) a v = (v_{1}, v_{2}) jsou vhodné (dvoudimenzionální) vektory a R označuje množinu všech reálných čísel. Vektor u určuje jeden bod přímky (při volbě parametru t = 0) a vektor v určuje směr této přímky.

Cvičení 1.2 Najděte pro nějaká konkrétní čísla a, b, c, např. pro a = 2, b = 3 a c = −1, parametrické vyjádření přímky určené rovnicí ax + by = c.

Podobně lineární rovnice o třech neznámých

ax + by + cz = d

je rovnicí roviny v prostoru, pokud nejsou všechny tři koeficienty a, b, c současně rovné 0. To znamená, že množina všech uspořádaných trojic reálných čísel (x, y, z), které vyhovují poslední rovnici, tvoří rovinu v třídimenzionálním prostoru. Každá rovina má také parametrické vyjádření ve tvaru

{u + rv + sw : r, s ∈ R},

kde u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) a w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) jsou vhodné (třídimenzionální) vektory.

Cvičení 1.3 Najděte pro nějaká konkrétní čísla a, b, c, d, např. pro a = 2, b = −1, c = 3, d = −2, parametrické vyjádření roviny popsané rovnicí ax + by + cz = d.

Cvičení 1.4 Jsou-li

a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1},
a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2},

rovnice dvou rovin v prostoru, najděte podmínku, jakou musí splňovat koeficienty a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1} a a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}, aby roviny byly různé. Jakou podmínku musí navíc splňovat, aby obě roviny nebyly rovnoběžné? Pokud koeficienty splňují obě tyto podmínky, množina bodů (x, y, z), které vyhovují oběma rovnicím současně, tvoří přímku v třídimenzionálním prostoru, která je průnikem obou rovin. Zkuste najít parametrické vyjádření této přímky ve tvaru

{u + tv : t ∈ R},

kde u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) a v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) jsou vhodné (třídimenzionální) vektory.

Pro parametrická vyjádření přímek a rovin potřebujeme umět počítat s vektory. Musíme je umět sčítat a násobit reálným číslem.

Definice 1.1 Reálný vektor dimenze n je uspořádaná n-tice reálných čísel (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). Pro i = 1, 2, …, n číslo x_{i} nazýváme i-tá souřadnice vektoru x. Vektor (0, 0, …, 0) nazýváme nulový vektor dimenze n a označujeme jej symbolem 0. Vektor x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) je nenulový, pokud pro aspoň jednu souřadnici vektoru x platí x_{i} ≠ 0.

Jsou-li (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) a (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) dva reálné vektory dimenze n, pak jejich součtem rozumíme vektor

(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) + (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, …, x_{n} + y_{n}).

Je-li a ∈ R reálné číslo, pak součinem čísla a a vektoru (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) rozumíme vektor

a · (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (ax_{1}, ax_{2}, …, ax_{n}).

Množinu všech reálných vektorů dimenze n spolu s právě definovanými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem nazýváme aritmetický reálný vektorový prostor dimenze n. Označovat jej budeme R^{n}.

Součet dvou reálných vektorů dimenze n je tedy opět reálný vektor dimenze n. Podobně součin reálného čísla a reálného vektoru dimenze n je opět reálný vektor dimenze n. Všimněte si, že jsme definovali pouze součin reálného čísla s reálným vektorem, nikoliv součin dvou reálných vektorů.

Příklad 1.2 Součet vektorů a = (1, 2, 3, 4) ∈ R^{4} a b = (−1, 2, −1, 3) ∈ R^{4} je vektor

a + b = (1 + (−1), 2 + 2, 3 + (−1), 4 + 3) = (0, 4, 2, 7).

Podobně součin reálného čísla 2 a vektoru a se rovná vektoru

2 · a = (2 · 1, 2 · 2, 2 · 3, 2 · 4) = (2, 4, 6, 8).

Vektory zapisujeme buď řádkově jako v Definici 1.1 nebo sloupcově ve tvaru

( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Abychom ušetřili místo, budeme sloupcové vektory zapisovat také

(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} .

Od řádkového zápisu se liší exponentem ^{T}, kde písmeno T je zkratkou slova transponovaný.

Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých s reálnými koeficienty rozumíme soustavu rovnic tvaru

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1},
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2},
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Reálná čísla a_{ij} nazýváme koeficienty soustavy, reálný sloupcový vektor (b_{1}, b_{2}, …, b_{m})^{T} dimenze m nazýváme vektor pravých stran. Hledané řešení soustavy je neznámý vektor (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ R^{n}. Poloha koeficientu a_{ij} je určena indexy i, j. První index i určuje rovnici, druhý index j pak neznámou, u které je koeficient a_{ij}. Koeficienty a_{ij} tvoří dvoudimenzionální systém čísel, pro který si zavedeme zvláštní název.

Definice 1.3 Reálná matice typu m × n je soubor m × n reálných čísel a_{ij}, kde index i hodnoty i = 1, 2, … m a index j nabývá hodnoty j = 1, 2, …, n. Matice zapisujeme takto:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) .

Matici také budeme zapisovat stručně A = (a_{ij}). První index u prvku a_{ij} je řádkový index, druhý index je sloupcový index. Říkáme také, že prvek a_{ij} je na místě (i, j) matice A. Vektor (a_{i1}, a_{i2}, …, a_{in}) ∈ R^{n} nazýváme i-tý řádkový vektor nebo jenom stručně i-tý řádek matice A a budeme jej označovat A_{i∗}. Podobně A_{∗j} = (a_{1j}, a_{2j}, …, a_{mj})^{T} ∈ R^{m} je j-tý sloupcový vektor (sloupec) matice A.

Pokud platí m = n, pak říkáme, že A je čtvercová matice řádu n.

Je-li dána soustava m lineárních rovnic o n neznámých s reálnými koeficienty

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1},
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2},
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m},

pak reálnou matici

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} )

nazýváme matice soustavy a matici

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ) ,

kde jsme přidali sloupec pravých stran, nazýváme rozšířená matice této soustavy.

Reálný sloupcový vektor dimenze n můžeme považovat také za matici typu n × 1. Řádkový n-dimenzionální vektor je matice typu 1 × n. Až se naučíme násobit matice, budeme moci zapisovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých jednoduše ve tvaru

Ax = b,

kde A je matice této soustavy, x ∈ R^{n} neznámý vektor a b ∈ R^{m} je vektor pravých stran.

Při řešení úlohy 1.1 a úlohy 1.2 jsme používali úpravy, které nemění množinu řešení soustavy. Takovým úpravám soustavy rovnic říkáme ekvivalentní úpravy. Ukazuje se, že při řešení soustav lineárních rovnic vystačíme s úpravami tří typů:

1. prohození dvou rovnic,

2. vynásobení i-té rovnice nenulovým reálným číslem t,

3. přičtení t-násobku i-té rovnice k j-té rovnici, pokud i ≠ j.

Těmto úpravám říkáme elementární úpravy. Elementární úpravy jsou vratné, tj. z nové soustavy můžeme rekonstruovat původní soustavu pomocí nějaké další elementární úpravy (jaké?). První elementární úpravu také může vytvořit vhodnou posloupností elementárních úprav druhých dvou typů.

Tvrzení 1.4 Elementární úpravy soustavy lineárních rovnic nemění množinu všech řešení soustavy.

Důkaz. Označíme S množinu všech vektorů x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ∈ R^{n}, které jsou řešením (vyhovují všem rovnicím) soustavy

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1},
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2},
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Symbolem R označíme množinu všech vektorů x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ∈ R^{n}, které jsou řešením soustavy, kterou dostaneme z původní soustavy nějakou elementární úpravou.

Probereme postupně všechny tři elementární úpravy a dokážeme, že v každém případě platí S ⊆ R, tj. že každé řešení původní soustavy je také řešením nové soustavy, kterou dostaneme z této soustavy nějakou elementární úpravou.

Je-li (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ S, pak rovněž (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ R, protože nová soustava obsahuje stejné rovnice jako původní soustava, liší se od ní pouze pořadím.

Pokud uděláme druhou elementární úpravu, pak z předpokladu, že vektor (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ S dostáváme

a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + ⋯ + a_{in}x_{n} = b_{i}

a tedy také

ta_{i1}x_{1} + ta_{i2}x_{2} + ⋯ + ta_{in}x_{n} = tb_{i}.

Vektor x tak vyhovuje rovněž i-té rovnici nové soustavy. Ostatní rovnice soustavy se nezměnily, vektor (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} je proto také řešením nové soustavy. Tedy (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ R rovněž v případě druhé elementární úpravy.

V případě třetí elementární úpravy z předpokladu (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ S dostáváme

a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + ⋯ + a_{in}x_{n} = b_{i},
a_{j1}x_{1} + a_{j2}x_{2} + ⋯ + a_{jn}x_{n} = b_{j},

proto rovněž

t(a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + ⋯ + a_{in}x_{n}) = tb_{i},
a_{j1}x_{1} + a_{j2}x_{2} + ⋯ + a_{jn}x_{n} = b_{j}.

Sečtením obou rovností dostaneme

t(a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + ⋯ + a_{in}x_{n}) + (a_{j1}x_{1} + a_{j2}x_{2} + ⋯ + a_{jn}x_{n}) =
(ta_{i1} + a_{j1})x_{1} + (ta_{i2} + a_{j2})x_{2} + ⋯ + (ta_{in} + a_{jn})x_{n} = tb_{i} + b_{j}.

Vektor (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} je proto také řešením j-té rovnice upravené soustavy. Ostatní rovnice nové soustavy patří rovněž do původní soustavy, proto je (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} řešením také těchto rovnic. I v případě třetí elementární úpravy tak platí že také (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ R. Tím jsme dokázali inkluzi

S ⊆ R.

Protože původní soustavu dostaneme z nové soustavy také nějakou elementární úpravou, platí podle první části důkazu rovněž opačná inkluze

R ⊆ S.

Množiny všech řešení původní a nové soustavy se proto rovnají. □

Cvičení 1.5 Proč není ekvivalentní úpravou vynásobení nějaké rovnice číslem 0? Jaký je vztah mezi množinami všech řešení původní a nové soustavy v případě, že vynásobíme některou z rovnic číslem 0? Proč musíme při třetí elementární úpravě předpokládat i ≠ j?

Třem elementárním úpravám soustavy rovnic odpovídají elementární řádkové úpravy matice soustavy. Matici nové soustavy dostaneme z matice původní soustavy odpovídající úpravou matice:

1. prohozením dvou řádků matice, 2. vynásobením i-tého řádku matice nenulovým číslem,

3. přičtením t-násobku i-tého řádku k j-tému řádku, je-li i ≠ j.

Podobně rozšířenou matici nové soustavy dostaneme z rozšířené matice původní soustavy pomocí odpovídající elementární řádkové úpravy. Řešení soustavy lineárních rovnic budeme hledat pomocí elementárních řádkových úprav rozšířené matice soustavy. Důsledkem tvrzení 1.4 je následující tvrzení.

Tvrzení 1.5 Elementární řádkové úpravy rozšířené matice soustavy nemění množinu řešení soustavy.