Algebraická geometrie (NMAG401) - informace k přednášce v zimním semestru 2017/2018.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pátek 12:20-13:50 hod. v místnosti K9,
  • cvičení v pátek 14:00-15:30 hod. v místnosti K9.

Zkouška

Zkouška je ústní a termíny jsou podle individuální domluvy.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 24. listopadu)

  1. Komplexní algebraickou podmnožinu X ⊆ A2 nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V(f), kde f ∈ C[x,y] je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V(y-x2) nebo V(xy-1).
  2. Nechť C je těleso komplexních čísel a uvažujte okruh R = C[x,y,z]/(xz,yz) a prvek f := y-z ∈ R. Ukažtě, že lokalizovaný okruh Rf (kde invertujeme prvek f ∈ R) je isomorfní okruhu C[x,y±1] × C[z±1].
  3. Uvažujte podalgebru R ⊆ C[x,y] tvořenou polynomy se členy pouze sudého celkového stupně. Najděte algebraickou množinu X takovou, že R je isomorfní souřadnicovému okruhu C[X].

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

6. 10. 2017
Afinní algebraické množiny, Zariského topologie, rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, algebraické podmnožiny afinní roviny (skripta, kap. 1; [Ful], kap. 1.2, 1.4 - 1.6, 6.1; [Ga], kap. 1.1, 1.3).
13. 10. 2017
Rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty (důkaz), ideál podmnožiny afinního prostoru a charakterizace ireducibility přes prvoideály, polynomiální zobrazení a souřadnicové okruhy (skripta, kap. 1 a 2; [Ful], kap. 1.3, 1.5, 2.1 - 2.2; [Ga], kap. 1.3, 2.1).
20. 10. 2017
Vztah mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů, racionální funkce na varietách a funkční tělesa, racionální zobrazení mezi varietami (skripta, kap. 2; [Ful], kap. 2.2, 2.4, 6.6; [Ga], kap. 2.1, 2.3, [Sh], kap. 3).
27. 10. 2017
Vztah mezi racionálními zobrazeními s hustým obrazem a homomorfismy funkčních těles, biracionální ekvivalence, racionální variety (skripta, kap. 2; [Ful], kap. 6.6; [Ga], kap. 2.1, 2.3, 4.3; [Sh], kap. 3).
3. 11. 2017
Racionální rovinné křivky, lokalizace okruhů. (skripta, kap. 2 a 3; [Sh], kap. 3; [AM], kap. 3).
10. 11. 2017
Geometrický význam lokalizace K[X] → K[X]f, radikálové ideály, Hilbertova věta o nulách (skripta, kap. 3; [Ful], kap. 1.7 - 1.10, 6.3; [Ga], kap. 1.2, 2.1; [AM], kap. 7).

Literatura

K přednášce budu v tomto semestru průběžně aktualizovat předběžnou verzi skript: [PDF ke stažení]

Co se další literatury týče, algebraická geometrie postupně vyrostla ve velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Přednáška je inspirována následujícími dvěma zdroji, které jsou volně dostupné on-line v PDF, a proto do nich u seznamu probrané literatury uvádím odkazy:

[Ga] A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Další inspirace a fakta pochází především z těchto (off-line) zdrojů:

[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na] M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.
[Nee] A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Další odkazy