Algebraická geometrie (NMAG401) - informace k přednášce v zimním semestru 2016/2017.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2016/2017. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v úterý 10:40-12:10 hod. v místnosti K5,
  • cvičení v úterý 12:20-13:50 hod. v místnosti K5.

Zkouška

Zkouška je ústní a termíny jsou podle individuální domluvy.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 22. listopadu)

  1. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso a I ⊆ K[x1, ..., xn] je ideál. Ukažte, že radikál ideálu I je roven průniku všech maximálních ideálů K[x1, ..., xn], které I obsahují.
  2. Najděte generátory maximálního ideálu M okruhu R[x,y] polynomů nad reálnými čísly, který má nulu v bodě (3 - 2i, 4 + i) ∈ A².
  3. Nechť C je těleso komplexních čísel a uvažujte okruh R = C[x,y,z]/(xz,yz) a prvek f := y-z ∈ R. Ukažtě, že lokalizovaný okruh Rf (kde invertujeme prvek f ∈ R) je isomorfní okruhu C[x,y±1] × C[z±1].

Příklady č. 2 (termín odevzdání 20. prosince)

  1. Komplexní algebraickou podmnožinu X ⊆ A2 nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V(f), kde f ∈ C[x,y] je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V({y-x2}) nebo V({xy-1}).
  2. Uvažujte kubickou rovinnou křivku X = V(x3 + y3 - 3x2 - 3y2 +3xy +1) nad tělesem komplexních čísel. Najděte všechny singulární body X. Dále najděte racionální parametrizaci křivky X (tj. bijekci f: A1\F → X\F' danou na souřadnicích racionálními funkcemi, kde F a F' jsou vhodné konečné množiny).
  3. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních vektorových podprostorů V ⊆ K4 do projektivního prostoru P5 následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a0, a1, a2, a3) a w = (b0, b1, b2, b3), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

    \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}

    a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d0, d1, ..., d5 podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d0 : d1 : ... : d5).

    1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
    2. Ukažte, že obraz X zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P5 jednou kvadratickou rovnicí.

Příklady č. 3 (termín odevzdání 10. ledna)

  1. Uvažujte zobrazení f: P1 → P3 nad tělesem komplexních čísel dané předpisem f((s:t)) = (s3:s2t:st2:t3).
    1. Ukažte, že f je dobře definovaný homomorfismus projektivních algebraických množin.
    2. Najděte konkrétní homogenní polynomy f1, f2, ..., fr ∈ C[x0, x1, x2, x3] takové, že pro obraz X zobrazení f platí X = Vproj(f1, f2, ..., fr).
    3. Ukažte, že homomorfismus f: P1 → X je isomorfismus projektivních algebraických množin.
  2. Uvažujte šestidimenzionální prostor V tvořený všemi polynomy z C[x,y] stupně nejvýše 2 a odpovídající projektivní prostor P5 tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kuželosečky v komplexním afinním prostoru A2 jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P5 (tedy ireducibilní kuželosečky samy tvoří kvaziprojektivní varietu).

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

4. 10. 2016
Afinní algebraické množiny, přiřazení V a I, Zariského topologie, rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, algebraické podmnožiny afinní roviny ([Ful], kap. 1.2 - 1.6, 6.1; [Ga], kap. 1.1).
11. 10. 2016
Rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty (dokončení), algebraické variety a jejich charakterizace přes prvoideály, polynomiální zobrazení, vztah mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů ([Ful], kap. 1.5, 2.1 - 2.2; [Ga], kap. 1.3).
18. 10. 2016
Dokončení vztahu mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů, lokalizace okruhů, slabá věta o nulách ([Ful], kap. 1.7, 1.10; [AM], kap. 3).
25. 10. 2016
Radikálové ideály, Hilbertova věta o nulách, charakterizace souřadnicových okruhů mezi algebrami, maximální ideály souřadnicových okruhů, standardní báze Zariského topologie, formulace geometrického významu lokalizace K[X]f ([Ful], kap. 1.7, 6.1; [Ga], kap. 1.2, 2.1).
1. 11. 2016
Geometrický význam lokalizace K[X]f (důkaz), regulární funkce a jejich popis na bázových otevřených množinách Zariského topologie ([Ful], kap. 2.4; [Ga], kap. 2.1).
15. 11. 2016
Lokální okruhy v bodech algebraické množiny, definice (ne)singulárních bodů na rovinných křivkách ([Ful], kap. 2.4, 3.1; [Ga], kap. 2.1).
22. 11. 2016
Diskrétní valuační obory a charakterizace nesingulárních bodů na rovinných křivkách, ([Ful], kap. 2.5, 2.9, 3.2; [Ga], kap. 4.4; text o rovinných křivkách).
29. 11. 2016
Kotečný prostor, (ne)singulární body na algebraických množinách obecně, projektivní algebraické množiny, na cvičení produkty afinních a projektivních prostorů a algebraické podmnožiny v nich ([Ful], kap. 4.1, 4.2, 4.4; [Ga], kap. 3.1, 3.3, 4.4).
6. 12. 2016
Projektivní věta o nulách, homogenní souřadnicové okruhy, regulární funkce na projektivních algebraických množinách, homomorfismy mezi projektivními algebraickými množinami, případně mezi algebraickými podmnožinami produktů projektivních a afinních prostorů ([Ful], kap. 4.2, 4.4, 6.3; [Ga], kap. 2.3, 3.2, 3.3).
20. 12. 2016
Uzavřenost homomorfismů z projektivních do kvaziprojektivních algebraických množin, uzavřenost diagonály Δ(X) produktu X x X pro kvaziprojektivní algebraické množiny X ([Ga], kap. 3.3, 3.4).
3. 1. 2017
Krullova dimenze a její výpočet pro afinní a projektivní prostory, na cvičení biracionální ekvivalence ([Ful], kap. 6.6; [Ga], kap. 1.3, 4.1).
10. 1. 2017
Dokončení výpočtu Krullovy dimenze afinních a projektivních prostorů, různé charakterizace Krullovy dimenze, svazky K-algeber, okruhované prostory a homomorfismy mezi nimi, abstraktní algebraické množiny ([Ful], kap. 6.5; [Ga], kap. 2.2 - 2.5, 4.1 - 4.2).

Literatura

Algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Jádro přednášky je prezentováno podle následujících dvou zdrojů, které jsou dostupné on-line v PDF:

[Ga] A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta, která jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na] M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.
[Nee] A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Další odkazy