Základní informace
Sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému.
Rozvrh byl umluven na pondělí v 10:40-12:10 hod. v seminární místnosti MUUK (k nalezení též v SISu).
Tato výběrová přednáška se bude zabývat vlastnostmi řešení soustav polynomiálních rovnic a nerovnic nad reálnými čísly. Motivací je mimo jiné Artinovo řešení Hilbertova 17. problému o reálných polynomech více proměnných, které dávají nezápornou hodnotu pro libovolné dosazení za proměnné.
K vysvětlení řešení Hilbertova problému jsou ve skutečnosti potřeba obecnější uspořádaná tělesa (např. racionální funkce nad reálnými čísly, Puiseuxovy řady), dále tzv. reálně uzavřená tělesa a Tarského eliminace kvantifikátorů na nich a v neposlední řadě Positivstellensatz (věta o kladných bodech polynomu).
Co bylo probráno
Zde bude aktualizován orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách.
- 12. října 2015
- Uspořádaná tělesa, kužely, reálná a reálně uzavřená tělesa ([BCR], kap. 1.1-1.2).
- 26. října 2015
- Charakterizace reálně uzavřených těles, vyšetřování průběhu polynomiální funkce ([BCR], kap. 1.2).
- 2. listopadu 2015
- Počítání kořenů polynomu (Sylvesterova věta a Sturmova věta), reálný uzávěr uspořádaného tělesa a jeho existence ([BCR], kap. 1.2-1.3).
- 16. listopadu 2015
- Jednoznačnost reálného uzávěru a příklady (uzávěr těles racionálních čísel a reálných racionálních funkcí), eliminace kvantifikátorů a Tarskiho-Seidenbergův princip ([BCR], kap. 1.3-1.4).
- 23. listopadu 2015
- Důkaz Tarskiho-Seidenbergova principu ([BCR], kap. 1.4).
- 30. listopadu 2015
- Algebraické a semialgebraické množiny nad reálně uzavřeným tělesem, semialgebraické množiny jakožto definovatelné množiny, semialgebraická zobrazení, uzavřené vs. lokálně uzavřené semialgebraické množiny ([BCR], kap. 2.1-2.2).
- 7. prosince 2015
- Rozklad semialgebraické množiny na otevřené hyperkrychle, Artinova-Langova věta o homomorfismu ([BCR], kap. 2.3 a 4.1).
- 14. prosince 2015
- Reálná věta o nulách, reálné ideály komutativních okruhů, reálný radikál ideálu ([BCR], kap. 4.1).
- 4. ledna 2016
- Kužely v komutativních okruzích, P-konvexní a P-radikálové ideály, prvokužely a jejich vlastnosti ([BCR], kap. 4.2-4.3).
- 11. ledna 2016
- Positivstellensatz (věta o kladných místech), řešení Hilbertova 17. problému ([BCR], kap. 4.4 a 6.1).
Literatura
Hlavním zdrojem je monografie [BCR] níže. Efektivnější algoritmus na eliminaci kvantifikátorů z [Col] bude diskutován, zbyde-li čas.
| [BCR] | J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy, Real algebraic geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1998. |
| [Col] | G. E. Collins, Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition, Automata theory and formal languages, 134-183, Springer, Berlin, 1975. |