Algebra II (NMAG202) (pokračování kurzu Algebra I) - informace k úvodní přednášce z algebry pro obecnou matematiku a matematické metody informační bezpečnosti v letním semestru 2015/2016.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v letním semestru 2015/2016. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Aktuálně

  • Byl vypsán poslední termín zkoušky v pondělí 26. září od 9:00 hod. v učebně K1.
  • K dispozici je tabulka s výsledky domácích úloh.
  • Pro představu o rozsahu a obtížnosti zkoušky je k nahlédnutí vzorový test.
  • Pokud jste nenasbírali dostatečný počet bodů z úkolů k udělení zápočtu, máte šanci získat chybějící body vyřešením opravných úloh. Více informací je v části o zápočtu.

Základní informace

Sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému. Náplň kurzu budou tvořit:

  1. základní konstrukce a pojmy související s obecnými algebraickými strukturami (zejména jde o homomorfismy a faktoralgebry),
  2. teorie těles (rozšíření těles, algebraický uzávěr, konečná tělesa),
  3. Galoisova teorie a její použití na řešení klasických problémů (neřešitelnost polynomů stupně alespoň 5, konstrukce kružítkem a pravítkem).

Látka je zhruba pokryta kapitolami II, V a VI skript Davida Stanovského.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pondělí v 9:00-10:30 hod. v místnosti K1,
  • cvičení ve středu v 14:00-14:45 hod. v místnosti K3 (cvičící J. Šaroch),
  • cvičení ve středu v 14:50-15:35 hod. v místnosti K3 (cvičící J. Šaroch),
  • cvičení ve čtvrtek v 10:40-11:25 hod. v místnosti K12 (cvičící J. Sýkora),
  • cvičení ve čtvrtek v 11:30-12:15 hod. v místnosti K12 (cvičící J. Sýkora).

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška

Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří jsou spokojeni s hodnocením písemné části. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Podrobnější rozpis zkoušené látky je v tabulce níže.

Písemná část trvá 90 minut a je hodnocena maximálně 100 body. Z toho max. 85 bodů je za samotný test a max. 15 bodů za domácí úlohy (u předtermínu se počítají 4 nejlepší série z 5 do té doby zadaných). K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 60 bodů.

Pro lepší představui o rozsahu a obtížnosti zkoušky je k dispozici je vzorový test. Na předtermínu ze zkouší vše do věty 92 včetně (o tom, že rozkladová mezitělesa odpovídají normálním podgrupám Galoisovy grupy) i s důkazy.

Termíny zkoušek jsou vypsány, je možné se přihlašovast pomocí SISu. Případné ústní přezkoušení se koná ve stejné dny jako testy, čas upřesním (zájemci ať mě, prosím, kontaktují po e-mailu).

Vypsané termíny:

  1. úterý 17. května od 14:00 hod. v učebně K1 (předtermín, odkaz do SISu),
  2. pátek 3. června od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu),
  3. úterý 14. června od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu),
  4. středa 29. června od 14:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu).
  5. pondělí 26. září od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu).

Zápočet

Zápočet bude udělen za domácí úlohy, které budou ob týden v pondělí odpoledne zveřejňovány na této stránce v sekci probrané látky. Termín odevzdání je do pondělí za 14 dní do 10:30 hod. Řešení odevzdávejte do bílé schránky u vchodu na Katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky e-mailem ve formátu PDF. Výsledky zveřejňovány na webu pod Vaší přezdívkou.

Z každé série úloh je možné získat 15 bodů. Celkem bude 6 sérií, počítá se 5 nejlepších. Celkem tedy můžete získat 75 bodů, k udělení zápočtu je třeba 50 %. Domácí úlohy též tvoří 15 % bodů z písemné části zkoušky.

Úlohy je možné konzultovat se spolužáky. Řešení ovšem musí sepsat každý sám.

Pokud se výjimečně stane, že nenasbíráte dostatečný počet bodů z úkolů k udělení zápočtu, máte šanci získat chybějící body vyřešením opravných úloh. Tyto body se ke zkoušce nepočítají a řešení je nutné odevzdat zhruba do poloviny září. Pokud budete tuto možnost využívat, kontaktujte mě, prosím.

Co bylo probráno a domácí úlohy

Zde bude aktualizován seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách a zadané domácí úlohy.

Datum Bylo probráno Zdroj Úlohy
22. 2. Působení grupy na množině, pevné body, stabilizátory, orbity, Burnsideova věta. skripta, kap. 19,
text o grupách, kap. 3.2 a 3.3 		domácí úlohy
29. 2. Obecné algebry daného typu (s danou signaturou), podalgebry a jejich průniky a sjednocení, homomorfismy, isomorfismy a isomorfní algebry. skripta, kap. 12.1, 12.2, 12.4 a 12.5,
text o algebrách, kap. 1.1, 1.2 a 2 		 
7. 3. Jádro a obraz homomorfismu, skládání homomorfismů, generátory podalgeber, direktní součiny algeber, invarianty a rozhodování (ne)isomorfnosti algeber. skripta, kap. 12.2-12.5,
text o algebrách, kap. 1.2, 1.3, 2.1 a 2.2 		domácí úlohy
14. 3. Kongruence v obecných algebrách, faktorizace algeber, svaz kongruencí na dané algebře, věta o homomorfismu a 1. a 2. věta o isomorfismu. skripta, kap. 24.1,
text o faktoralgebrách, kap. 1 		 
21. 3. Faktorokruhy a ideály, faktorgrupy a normální podgrupy. skripta, kap. 18.2, 22, 23 a 24.2,
text o faktoralgebrách, kap. 2 a 3.1 		domácí úlohy
4. 4. Rozšíření těles a jejich stupeň, konečná a algebraická rozšíření, minimální polynom algebraického prvku, vztahy [T(a):T] = deg ma,T a [U:T] = [U:S]·[S:T]. skripta, kap. 25 domácí úlohy
11. 4. Charakterizace konečných rozšíření těles, nemožnost některých konstrukcí pomocí pravítka a kružítka. skripta, kap. 25 a 26  
18. 4. Kořenová a rozkladová nadtělesa polynomu, jejich existence a (za vhodných předpokladů) jednoznačnost. Pomocná tvrzení o pro Galoisovu teorii. skripta, kap. 27.1,
text o Galoisově teorii, kap. 1.1 		domácí úlohy
25. 4. Algebraicky uzavřená tělesa, základní věta algebry (bez důkazu), algebraický uzávěr a jeho popis pro těleso racionálních čísel, existence a jednoznačnost algebraického uzávěru obecně. skripta, kap. 27.2,
text o Galoisově teorii, kap. 1.2 		 
2. 5. Konečná tělesa, věta o jednoduchosti konečných rozšíření těles T charakteristiky 0 (tj. že tato jsou tvaru T(a)). skripta, kap. 28,
text o Galoisově teorii, kap. 2 		domácí úlohy
9. 5. Galoisovy grupy rozkladových nadtěles jako podgrupy permutačních grup, vztah stupně rozšíření rozkladového nadtělesa v charakteristice 0 a řádu Galoisovy grupy (vzorce |Gal(S/T)| = [S:T] a |H| = [S:SH]), bijekce mezi podgrupami Gal(S/T) a mezitělesy T ⊆ U ⊆ S (důkaz příště). text o Galoisově teorii, kap. 2  
16. 5. Důkaz hlavní věty Galoisovy teorie (bijekce mezi podgrupami Gal(S/T) a mezitělesy T ⊆ U ⊆ S), normální podgrupy navíc odpovídají rozkladovým mezitělesům, řešitelnost polynomů v radikálech a pojem řešitelné grupy, charakterizace řešitelnosti v radikálech (důkaz jedné z implikací příště). text o Galoisově teorii, kap. 2  
23. 5. Cardanovy vzorce a vztah s rozšířeními těles, řešitelné grupy a jejich základní vlastnosti, primitivní odmocniny z jedné a Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů tvaru xn - 1 a xn - a, nedokončený důkaz faktu, že rozkladové nadtěleso polynomu řešitelného v radikálech má řešitelnou Galoisovu grupu (k dočtení v kap. 2.3 v textu o Galoisově teorii). text o Galoisově teorii, kap. 2  

Literatura

Základním zdrojem jsou skripta D. Stanovského, kde jde pro účely přednášky hlavně o kapitoly II, V a VI, a látku doplňuje připravovaná sbírka úloh:

  • D. Stanovský, Základy algebry, Matfyzpress, 2010,
  • D. Stanovský, Příklady z algebry. [PDF ke stažení]

K dispozici jsou též aktualizované texty od D. Stanovského, které skripta doplňují a více odpovídají řazení témat na přednášce:

Existuje i řada pěkných učebnic v angličtině, např.

  • J. J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra: With Applications, Pearson Prentice Hall, 3. vyd., 2006 (2 ks v knihovně),
  • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Taylor & Francis, 1995. [On-line ke stažení]

Algoritmus pro výpočet Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů třetího a čtvrtého stupně je popsán v článku

  • K. Conrad, Galois groups of cubics and quartics (not in characteristic 2). [PDF ke stažení]

On-line jsou k dispozici i texty kolegů z katedry, jejich náplň se ale od náplně přednášky často liší: Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička.

Další odkazy