Základní informace
Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.
Rozvrh byl umluven na úterý 14:00-15:30 v seminární místnosti KA (k nalezení též v SISu).
Jde o výběrovou přednášku, která se bude zabývat netriviální teorií postavenou na jednoduché myšlence ztotožňování "intuitivně stejných" objektů v algebře nebo v geometrii. Jde typicky o ztotožnění homotopicky ekvivalentních prostorů nebo řetězcových komplexů s isomorfní homologií. Tento problém vedl k vytvoření silných nástrojů: kalkulu nekomutativních zlomků, Quillenových modelových kategorií, Joyalových/Lurieho ∞-kategorií nebo Grothendieckových derivátorů. Cílem je uvést posluchače do problematiky a představit jim tyto nástroje tak, aby se pokud možno hned neztratili v záplavě formalismu.
Momentálně si přednáška klade tři cíle:
- vysvětlit techniky práce s lokalizacemi kategorií (nekomutativní zlomky, modelové kategorie),
- vysvětlit vztah lokalizace kategorií k homologické algebře (derivované kategorie a funktory),
- bude-li čas, podívat se na axiomatizaci homotopicky invariantních konstrukcí.
Tematicky bude přednáška podobná stejnojmenné přednášce z letního semestru 2009/10, obsah ovšem podstoupí postatnou revizi.
Co bylo probráno
Zde bude aktualizován orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách.
- 7. října 2014
- Motivace a cíle, lokalizace kategorií a kalkulus levých zlomků ([Kr], část 3; [GZ], kap. I).
- 14. října 2014
- Dokončení kalkulu levých zlomků, homotopická kategorie komplexů ([Kr], část 3; [GZ], kap. I; [Ha], kap. I.3; [Ver], kap. I.2).
- 21. října 2014
- Základní vlastnosti homotopií zobrazení a kontraktibilních komplexů ([KS], kap. 11).
- 4. listopadu 2014
- Suspenze komplexu, mapping cone, analogie v topologii. Důkaz, že v homotopické kategorii komplexů tvoří kvaziisomorfismy multiplikativní systém ([Wei], kap. 1).
- 18. listopadu 2014
- Derivované funktory, mapping cone jakožto levý derivovaný funktor kojádra ([Gr], kap. 3).
- 25. listopadu 2014
- Mapping cone jakožto levý derivovaný funktor kojádra (konec důkazu), lokalizace kategorií a přirozené transformace, homotopická kategorie topologických prostorů ([Gr], kap. 3; [Sw], kap. 2).
- 2. prosince 2014
- Slabá homotopická ekvivalence topologických prostorů, dlouhá přímka, CW komplexy a Whiteheadova věta, zvedání a rozšiřování homotopií, slabé faktorizační systémy ([Sw], kap. 3 a 5, věta 6.32 a definice 4.2 a 6.3; [Jo], kap. 15.3; [May], kap. 10; [St], kap. 4; [Fox]).
- 9. prosince 2014
- Pokračování slabých faktorizačních systémů, λ-posloupnosti a jejich skládání, relativní buněčné komplexy, Quillenův argument malého objektu ([St], kap. 4; [Hov], kap. 2.1; [Hir], kap. 10.5).
- 16. prosince 2014
- Modelové kategorie, abstraktní homotopie, základní vlastnosti homotopické kategorie modelové kategorie ([Hov], kap. 1.1, 1.2, 2.3, 2.4; [Hir], kap. 8.3).
- 6. ledna 2015
- Existence a popis derivovaných funktorů pomocí modelových kategorií, úplné kotorzní páry komplexů a vztah ke slabým faktorizačním systémům, abelovské modelové kategorie. ([Hir], kap. 8.4, 8.5; [St], kap. 5.4, 6.2; [Hov2]; [Hov3])
Literatura
Přednáška bude zkompilovaná z různých zdrojů. Odkazy na ně sem budu přidávat v průběhu semestru, spolu s aktualizací seznamu probrané látky. Pro ilustraci je možnost podívat se i na literaturu přednášky z roku 2010, byť se letošní seznam bude určitě lišit.
[Fox] | R. H. Fox, On topologies for function spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 429-432. |
[GZ] | P. Gabriel, M. Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. |
[Gr] | M. Groth, Selected topics in topology: Derivators, skripta ve vývoji, 2014. [PDF] |
[Ha] | D. Happel, Triangulated Categories in the Representation Theory of Finite-dimensional Algebras, LMS Lecture Note Series 119, Cambridge Univ. Press, 1988. |
[Hir] | P. S. Hirschhorn, Model categories and their localizations, Mathematical Surveys and Monographs 99, AMS, Providence, RI, 2003. |
[Hov] | M. Hovey, Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, AMS, Providence, RI, 1999. |
[Hov2] | M. Hovey, Cotorsion pairs and model categories, Interactions between homotopy theory and algebra, 277-296, Contemp. Math. 436, AMS, Providence, RI, 2007. |
[Hov3] | M. Hovey, Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory, Math. Z. 241 (2002), 553-592. |
[Jo] | K. D. Joshi, Introduction to General Topology, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1983. |
[KS] | M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 332, Springer-Verlag, Berlin, 2006. |
[Kr] | H. Krause, Localization theory for triangulated categories, in Triangulated Categories, LMS Lecture Note Series 375, Cambridge Univ. Press, 2010. [PDF - preprint] |
[May] | J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, on-line lecture notes, 2007. [PDF] |
[Mil] | D. Miličić, Lectures on Derived Categories, on-line lecture notes, 2010. [PDF] |
[St] | J. Šťovíček, Exact model categories, approximation theory, and cohomology of quasi-coherent sheaves, in Advances in Representation Theory of Algebras, EMS Series of Congress Reports, 2014. [PDF - preprint] |
[Sw] | R. M. Switzer, Algebraic topology - homotopy and homology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. |
[Ver] | J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque No. 239 (1996). |
[Wei] | C. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge, 1994. |