Homologická a homotopická algebra (NMAG562) - informace k přednášce v zimním semestru 2014/2015.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh byl umluven na úterý 14:00-15:30 v seminární místnosti KA (k nalezení též v SISu).

Jde o výběrovou přednášku, která se bude zabývat netriviální teorií postavenou na jednoduché myšlence ztotožňování "intuitivně stejných" objektů v algebře nebo v geometrii. Jde typicky o ztotožnění homotopicky ekvivalentních prostorů nebo řetězcových komplexů s isomorfní homologií. Tento problém vedl k vytvoření silných nástrojů: kalkulu nekomutativních zlomků, Quillenových modelových kategorií, Joyalových/Lurieho ∞-kategorií nebo Grothendieckových derivátorů. Cílem je uvést posluchače do problematiky a představit jim tyto nástroje tak, aby se pokud možno hned neztratili v záplavě formalismu.

Momentálně si přednáška klade tři cíle:

  1. vysvětlit techniky práce s lokalizacemi kategorií (nekomutativní zlomky, modelové kategorie),
  2. vysvětlit vztah lokalizace kategorií k homologické algebře (derivované kategorie a funktory),
  3. bude-li čas, podívat se na axiomatizaci homotopicky invariantních konstrukcí.

Tematicky bude přednáška podobná stejnojmenné přednášce z letního semestru 2009/10, obsah ovšem podstoupí postatnou revizi.

Co bylo probráno

Zde bude aktualizován orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách.

7. října 2014
Motivace a cíle, lokalizace kategorií a kalkulus levých zlomků ([Kr], část 3; [GZ], kap. I).
14. října 2014
Dokončení kalkulu levých zlomků, homotopická kategorie komplexů ([Kr], část 3; [GZ], kap. I; [Ha], kap. I.3; [Ver], kap. I.2).
21. října 2014
Základní vlastnosti homotopií zobrazení a kontraktibilních komplexů ([KS], kap. 11).
4. listopadu 2014
Suspenze komplexu, mapping cone, analogie v topologii. Důkaz, že v homotopické kategorii komplexů tvoří kvaziisomorfismy multiplikativní systém ([Wei], kap. 1).
18. listopadu 2014
Derivované funktory, mapping cone jakožto levý derivovaný funktor kojádra ([Gr], kap. 3).
25. listopadu 2014
Mapping cone jakožto levý derivovaný funktor kojádra (konec důkazu), lokalizace kategorií a přirozené transformace, homotopická kategorie topologických prostorů ([Gr], kap. 3; [Sw], kap. 2).
2. prosince 2014
Slabá homotopická ekvivalence topologických prostorů, dlouhá přímka, CW komplexy a Whiteheadova věta, zvedání a rozšiřování homotopií, slabé faktorizační systémy ([Sw], kap. 3 a 5, věta 6.32 a definice 4.2 a 6.3; [Jo], kap. 15.3; [May], kap. 10; [St], kap. 4; [Fox]).
9. prosince 2014
Pokračování slabých faktorizačních systémů, λ-posloupnosti a jejich skládání, relativní buněčné komplexy, Quillenův argument malého objektu ([St], kap. 4; [Hov], kap. 2.1; [Hir], kap. 10.5).
16. prosince 2014
Modelové kategorie, abstraktní homotopie, základní vlastnosti homotopické kategorie modelové kategorie ([Hov], kap. 1.1, 1.2, 2.3, 2.4; [Hir], kap. 8.3).
6. ledna 2015
Existence a popis derivovaných funktorů pomocí modelových kategorií, úplné kotorzní páry komplexů a vztah ke slabým faktorizačním systémům, abelovské modelové kategorie. ([Hir], kap. 8.4, 8.5; [St], kap. 5.4, 6.2; [Hov2]; [Hov3])

Literatura

Přednáška bude zkompilovaná z různých zdrojů. Odkazy na ně sem budu přidávat v průběhu semestru, spolu s aktualizací seznamu probrané látky. Pro ilustraci je možnost podívat se i na literaturu přednášky z roku 2010, byť se letošní seznam bude určitě lišit.

[Fox] R. H. Fox, On topologies for function spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 429-432.
[GZ] P. Gabriel, M. Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967.
[Gr] M. Groth, Selected topics in topology: Derivators, skripta ve vývoji, 2014. [PDF]
[Ha] D. Happel, Triangulated Categories in the Representation Theory of Finite-dimensional Algebras, LMS Lecture Note Series 119, Cambridge Univ. Press, 1988.
[Hir] P. S. Hirschhorn, Model categories and their localizations, Mathematical Surveys and Monographs 99, AMS, Providence, RI, 2003.
[Hov] M. Hovey, Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, AMS, Providence, RI, 1999.
[Hov2] M. Hovey, Cotorsion pairs and model categories, Interactions between homotopy theory and algebra, 277-296, Contemp. Math. 436, AMS, Providence, RI, 2007.
[Hov3] M. Hovey, Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory, Math. Z. 241 (2002), 553-592.
[Jo] K. D. Joshi, Introduction to General Topology, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1983.
[KS] M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 332, Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[Kr] H. Krause, Localization theory for triangulated categories, in Triangulated Categories, LMS Lecture Note Series 375, Cambridge Univ. Press, 2010. [PDF - preprint]
[May] J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, on-line lecture notes, 2007. [PDF]
[Mil] D. Miličić, Lectures on Derived Categories, on-line lecture notes, 2010. [PDF]
[St] J. Šťovíček, Exact model categories, approximation theory, and cohomology of quasi-coherent sheaves, in Advances in Representation Theory of Algebras, EMS Series of Congress Reports, 2014. [PDF - preprint]
[Sw] R. M. Switzer, Algebraic topology - homotopy and homology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.
[Ver] J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque No. 239 (1996).
[Wei] C. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge, 1994.