Informace k neformálnímu semináři z homotopické teorie organizovanému v obou semestrech 2011/2012. Seminář je pojatý jako společná aktivita algebraické a geometrické skupiny na MFF UK v rámci Ústavu Eduarda Čecha (ECI).

Základní informace

Jedná se o neformální seminář (není ve Studijním informačním systému), jehož cílem je pochopit, co je to stabilní homotopická kategorie spekter. Jde o důležitý příklad triangulované kategorie pocházející z algebraické topologie, která jednak představuje vhodné prostředí pro studium homologických a kohomologických teorií v topologii a jednak z jejího studia vzešly důležité pojmy a techniky moderní homologické algebry.

Rozvrh: Čtvrtek 14:30-16:00 v seminární místnosti Katedry algebry.

Seminář byl, alespoň pro akademický rok 2011/12, ukončen.

Program

Dohodli jsme se na probrání základních fakt z algebraické topologie podle textu J. P. Maye s tím, že některé části byly doplněny z jiných zdrojů, např. ze Switzerovy knihy. Odkazy na všechny použité zdroje jsou níže.

Co bylo probráno

  1. M. Doubek (1. 11. 2011): Simplexy, singulární homologie a její homotopická invariance.
  2. J. Šťovíček (24. 11. 2011): CW komplexy a celulární homologie.
  3. M. Doubek (1. 12. 2011): Přehledová přednáška zahrnující:
    1. homotopické grupy a jejich vlastnosti - komutativita pro n ≥ 2, jak závisí πn na base pointu a že pro sféry platí πk(Sn)=0, pokud k<n,
    2. Hurewiczovy a Serreho fibrace,
    3. n-ekvivalence a slabé ekvivalence s důležitým příkladem, že pro CW komplex X je inkluze z n-kostry Xn do X n-ekvivalence,
    4. Homotopy Extension and Lifting Property (HELP),
    5. πn komutuje s kolimitami pro spočetné řetězce inkluzí mezi kompaktně generovanými slabě Hausdorffovými prostory.
  4. M. Doubek (8. 12. 2011): Whiteheadovy věty a důkaz, že slabá ekvivalence mezi CW komplexy je homotopická ekvivalence. Celulární aproximace spojitého zobrazení mezi relativními CW komplexy, CW aproximace γ: ΓX → X topologického prostoru X. Vysvětlení, proč prostor Q racionálních čísel není CW komplex.
  5. J. Šťovíček (8. 12. 2011): Dlouhá přímka jako příklad topologického prostoru, který není stažitelný do bodu, ale má nulové všechny homotopické grupy (viz též použitá literatura).
  6. J. Šťovíček (15. 12. 2011): Axiomatický přístup k homologii a redukce problému na CW komplexy, kofibrace a nahrazování spojitých zobrazení kofibracemi, kofibrační posloupnosti.
  7. J. Šťovíček (22. 12. 2011): Ověření axiomů pro celulární homologii a důkaz, za použití topological boundary map a kofibračních posloupností, že celulární komplex C*(X) daného CW komplexu X je opravdu řetězcový komplex.
  8. P. Příhoda (22. 12. 2011): Index zobrazení z perspektivy diferenciální geometrie a Hopfova věta (viz též použitá literatura).
  9. P. Příhoda (5. 1. 2012): Definice fibrace, nakrytí a svazky (bundles) jako třídy příkladů, nahrazování zobrazení fibracemi, adjunkce mezi funktory suspenze Σ a smyčkového prostoru Ω v homotopické kategorii bázovaných prostorů, mapping path spaces, fibrační posloupnosti.
  10. P. Příhoda (12. 1. 2012): Relativní homotopické grupy, dlouhé exaktní posloupnosti homotopických grup z fibračních posloupností.
  11. T. Salač (12. 1. 2012): Hopfovy fibrace (viz kapitola 4.2, část Fiber Bundles v Hatcherově knize). Podrobně bylo rozebráno zvláště p: S3 → S2, viz též video na YouTube.
  12. M. Doubek (26. 1. 2012): Věta o výřezu pro homotopické grupy, Freudenthalova věta o suspenzi a její důkaz.
  13. M. Doubek (17. 2. 2012): Redukovaná homologická teorie pro topologické prostory s bodem - axiomy a korespondence s neredukovanou homologickou teorií.
  14. M. Doubek (23. 2. 2012): Hurewiczova věta, jednozačnost homologické teorie s axiomem dimenze.
  15. J. Šťovíček (1. 3. 2012): Geometrická realizace a ověření axiomů pro singulární homologii. Geometrická realizace jako levý adjunkt k funktoru singulární množiny prostoru.
  16. J. Šťovíček (8. 3. 2012): Dokončení geometrické realizace a náznak důkazu slabé ekvivalence prostoru s geometrickou realizací své singulární simpliciální množiny. Geometrická realizace komutuje s konečnými produkty simpliciálních prostorů. Konstrukce klasifikačních prostorů BG a Eilenberg-Mac Lanových prostorů K(π,n).
  17. M. Doubek (29. 3. 2012): Axiomatika kohomologie, cup product.
  18. P. Příhoda (5. 4. 2012): Počítání kohomologie CW komplexu a v souvislosti s tím postačující podmínka, aby kohomologie komutovala s direktním sjednocením prostorů.
  19. M. Doubek (12. 4. 2012): Jednoznačnost Eilenberg-Mac Lanových prostorů K(π,n), definice prespekter a prespektrum pro singulární homologii.
  20. M. Doubek (19. 4. 2012): Konstrukce homologických teorií z prespekter s důkazem.
  21. M. Doubek (26. 4. 2012): Ω-prespektra a konstrukce kohomologických teorií. Ω-prespektrum pro singulární kohomologii. Brownova reprezentovatelnost a její využití ke konstrukci Ω-prespektra pro danou kohomologickou teorii (podle kapitoly 9, Representation Theorems, ve Switzerově knize).
  22. J. Šťovíček (3. 5. 2012): Konstrukce a některé základní vlastnosti Spanier-Whiteheadovy kategorie pro kategorii konečných bázovaných CW komplexů (abstraktní verze konstrukce je k nalezení v diplomové práci I. Dell'Ambrogia v použité literatuře). Axiomatika kompaktně generovaných triangulovaných kategorií (viz Neemanova kniha) a role stabiliní homotopické kategorie spekter.
  23. J. Šťovíček (10. 5. 2012): Abstraktní Brownova reprezentabilita v kompaktně generovaných triangulovaných kategoriích.
  24. M. Doubek (23. 5. 2012): Spektra CW komplexů podle Switzerovy knihy: definice spekter, kofinální podspektra, funkce a morfismy mezi spektry, homotopie morfismů spekter, smash produkt spektra s CW komplexem, věrný funktor z kategorie CW komplexů do spekter a indukovaný funktor HoCW → HoSp.
  25. M. Doubek (30. 5. 2012): Rozišiřování (homotopy extension) a zdvihání (homotopy lifting) homotopií pro spektra, homotopické grupy spekter a Whiteheadova věta (slabé ekvivalence jsou homotopické ekvivalence). Ekvivalence mezi dvěma možnostmi suspenze spektra - smash produktem s S1 a posunutím spektra. Fakt, že homotopická kategorie spekter je aditivní a definice kofibračních posloupností. Homologické a kohomologické teorie na CW komplexech definované spektrem a role Ω-spekter pro kohomologické teorie.

Literatura

Zde jsou zatím nalezené on-line dostupné informační zdroje:

S tématem dále úzce souvisejí následující monografie, kde je uplatněn více kombinatorický a kategoriální přístup:

  • M. Hovey, Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, AMS, Providence, RI, 1999.
  • P. S. Hirschhorn, Model categories and their localizations, Mathematical Surveys and Monographs 99, AMS, Providence, RI, 2003.

Konstrukce dlouhé přímky a její vlastnosti (částečně v příkladech) je např. v kapitole 15.3. v knize:

  • K. D. Joshi, Introduction to general topology, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1983.

Teorie k indexům zobrazení mezi hladkými varietami a Hopfova věta jsou k nalezení v knize:

  • J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, 1965.

Topologická verze Brownovy reprezentovatelnosti je k nalezení 9. kapitole (Representation Theorems) v monografii:

  • R. M. Switzer, Algebraic topology—homotopy and homology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.

Abstraktní axiomatika a vlastnosti triangulovaných kategorií je popsána v monografii:

  • A. Neeman, Triangulated categories, Princeton University Press, 2001.