\centerline{\bf Kapitola 1. �vod }
\vskip 1 cm
{\bf 1.1. Logika}
\medskip
{\bf 1.2. Mno�iny}
\medskip
{\bf 1.3 ��seln� obory} 

Mno�inou v�ech re�ln�ch ��sel (zna��me ji  $R $) budeme rozum�t mno�inu, 
na n� je definov�no s��t�n� (zna��me  $x+y $), n�soben� (zna��me   
$x.y $) a uspo��d�n� (zna��me $x \leq y $), kter� spl�uj� tyto 
axiomy:

I. (Algebraick� operace)

I.1 $\forall x,y,z \in R : x + (y+z) = (x+y) + z$ (asociativn� z�kon pro 
s��t�n�),

I.2 $\forall x,y \in R : x + y = y + x $ (komutativn� z�kon pro s��t�n�),

I.3 v $R$ existuje nulov� prvek (zna��me ho $0$) tak, �e $\forall x \in 
R: x + 0 = x $,

I.4 pro ka�d� $x \in R$ existuje opa�n� prvek (zna��me ho $-x$)  tak, �e 
$x + (-x ) = 0$,

I.5 $\forall x,y,z \in R : x .(y.z) = (x.y) . z$ (asociativn� z�kon pro 
n�soben�),

I.6 $\forall x,y \in R : x . y = y. x $ (komutativn� z�kon pro n�soben�),

I.7 v $R$ existuje jednotkov� prvek (zna��me ho $1$) tak, �e $\forall x \in 
R: x. 1 = x $,

I.8 pro ka�d� $x \in R, x \neq 0$ existuje inverzn� prvek (zna��me ho 
$x^{-1}$)  tak, �e 
$x. x^{-1}  = 1$,


I.9 $\forall x,y,z \in R : (x+y).z = x.z + y.z$ (distributivn� z�kon).

\medskip
II.(Uspo��d�n�)

II.1 $\forall x,y,z\in R: ((x\leq y)\wedge (y \leq z)) \Rightarrow 
(x\leq z)$ (tranzitivita),

II.2 $\forall x,y \in R: (((x \leq y)\wedge (y\leq x))\Rightarrow (x = 
y))$ (slab� antisymetrie),

II.3 $\forall x,y \in R : (x\leq y)\vee (y \leq x)$,

II.4 $\forall x,y,z \in R: (x \leq y)\Rightarrow (x+z \leq y+z)$,

II.5 $\forall x,y,z \in R: ((x \leq y)\wedge (0 \leq z)\Rightarrow (x.z 
\leq y.z)$.

\medskip
III. (�plnost)

III.1 V�ta o supr�mu:  Pro ka�dou nepr�zdnou a shora omezenou mno�inu 
$M \subset R$ existuje re�ln� ��slo $s$, kter� je supr�mem mno�iny $M$.

\bigskip
Pot�ebn� definice:

\medskip
{\bf Definice 1.1:} 

�ekneme, �e mno�ima $M\in R$ je shora omezen�, jestli�e 
existuje $a \in R$ tak, �e pro v�echna $x \in M$ plat� $x \leq a$. ��slo 
$a$ nazveme horn�m odhadem (horn� z�vorou, horn� mez�) mno�iny $M$.

�ekneme, �e mno�ima $M\in R$ je zdola omezen�, jestli�e 
existuje $b \in R$ tak, �e pro v�echna $x \in M$ plat� $b \leq x$. ��slo 
$b$ nazveme doln�m odhadem (doln� z�vorou, doln� mez�) mno�iny $M$.


�ekneme. �e mno�ina M je omezen�, je-li sou�asn� omezen� shora a omezen� 
zdola.

\medskip
{\bf Definice 1.2:}

�ekneme, �e $s \in R$ je supr�mem mno�iny $M$ (zna��me $ s = \sup M$), jestli�e

(i) $\forall x \in M: x \leq s$,

(ii) $\forall s' \in R, s'<s \quad \exists x \in M : s'< x$.

�ekneme, �e $g \in R$ je infimem mno�iny $M$  (zna��me $ g = \inf M$), jestli�e

(i) $\forall x \in M: g \leq x$,

(ii) $\forall g' \in R, g'> g \quad \exists x \in M : x < g'$.


\medskip
{\bf V�ta 1.1:}\ (Archimedova vlastnost) (L)

$\forall x \in R \quad \exists n \in N : x < n$.  
\medskip
{\bf V�ta 1.2:}\ (Existence infima) (L)

Pro ka�dou nepr�zdnou zdola omezenou mno�inu $M \in R$ 
existuje $g \in R$, kter� je infimem mno�iny $M$.


\medskip

{\bf V�ta 1.3:}\ (O cel� ��sti) (L)

Pro ka�d� $x \in R$ existuje $z \in Z$ tak, �e $z \leq x < z+1$ . Toto 
$z$ nazveme 
celou ��st� ��sla $x$ a zna��me $[x]$.



\medskip
{\bf V�ta 1.4:}\ (Hustota $Q$ v $R$) (L)

$\forall a,b \in R, a<b \quad \exists q \in Q : a< q < b$. 


\medskip
{\bf V�ta 1.5:}\ (Existence n-t� odmocniny) (T)

$\forall x \in R, 0 \leq x,\  \forall n \in N \quad \exists y \in R, 
0\leq y, : y^n = 
x$.


\medskip
{\bf Definice 1.3}\ (Intervaly, okol� bodu) Pro ka�d� $a,b \in R, a\leq b$ 
jsou intervaly s krajn�mi body $a,b$  
definov�ny takto:

otev�en� interval $(a,b) = \{x \in R; a < x < b\}$,

uzav�en� interval  $[a,b] = \{x \in R; a \leq x \leq b\}$.

Obdobn�  $[a,b) = \{x \in R; a \leq x < b\}$, $(a,b] = \{x \in R; a < x 
\leq b\}$.

Okol�m bodu $x \in R$ o polom�ru $\epsilon \in (0,\infty)$ nazveme mno�inu

$$ U(x,\epsilon)= \{y \in R; | x - y| < \epsilon\}= (x - \epsilon, x + 
\epsilon),$$

prstencov�m okol�m bodu $x \in R$ o polom�ru $\epsilon \in (0,\infty)$ nazveme mno�inu

$$ P(x,\epsilon)= \{y \in R; 0<| x - y| < \epsilon\}= (x - \epsilon,x) 
\cup (x, x + \epsilon).$$ 




\bye
\enddocument


