\centerline{\bf Kapitola 3. ��seln� �ady }
\vskip 1 cm
{\bf 3.1. �vodn� definice}

\medskip
{\bf Definice 3.1:} 

Bu� $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ posloupnost re�ln�ch resp. komplexn�ch ��sel. 
Pro ka�d� $n \in N$ definujeme n-t� ��ste�n� sou�et $s_n$ �ady 
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$  takto: 
$$
s_n = a_1 + ...+ a_n = \sum_{k=1}^{n}a_k.
$$ 

\medskip
{\bf Definice 3.2:}

�ekneme, �e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje k sou�tu $s$, jestli�e 
existuje $s \in R$ tak, �e $s_n \to s$. P�eme $\sum_{n=1}^{\infty} a_n  
= s$. 

Je-li $\lim\limits_{n \to \infty} s_n = \infty$, �ekneme, �e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 
diverguje do $\infty$; 

je-li $\lim\limits_{n \to \infty} s_n = -\infty$, 
�ekneme, �e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
diverguje do $-\infty$. 

Pokud $\lim\limits_{n \to \infty} s_n$  neexistuje, 
�ekneme, �e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ osciluje.




\medskip
{\bf V�ta 3.1:}\ (Nutn� podm�nka konvergence �ady)(L)

Je-li $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergentn�, pak $\lim\limits_{n\to \infty} a_n 
= 0$.


\medskip
{\bf V�ta 3.2:}\ (Aritmetika)(BD)

Nech� $\sum_{n=1}^{\infty} a_n= a,\sum_{n=1}^{\infty} b_n= b, a,b,\alpha, 
\beta \in R$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n + \beta b_n)$ konverguje a plat� $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n + \beta b_n)= \alpha a + \beta b$.

\medskip
{\bf V�ta 3.3:}\ (Bolzano-Cauchyova v�ta pro �ady)(L)

�ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$  je konvergentn� pr�v� tehdy, kdy�
$$
\forall \epsilon \in (0, \infty)\  \exists n_0\in N \  \forall n \geq 
n_0\  \forall 
p \in N :|\sum_{k=n}^{n+p} a_k |<\epsilon.
$$
\bigskip
{\bf 3.2. �ady s nez�porn�mi �leny  }
\medskip
{\bf Pozn�mka} 

Jsou-li $a_n$   nez�porn�, je $(s_n)$ neklesaj�c� a limita posloupnosti $ (s_n)  $  v�dy existuje. Tato limita 
je vlastn� (a �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$  konverguje) pr�v� tehdy, 
je-li $(s_n)$ omezen�.


\medskip
{\bf V�ta 3.4:}\ (Srovn�vac� krit�rium)(L)

Nech� $\exists n_0\  \forall n\geq n_0 : 0 \leq a_n \leq b_n$. Pak plat�:


(i) jestli�e $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konverguje, pak i 
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje;


(ii) jestli�e $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje, pak i 
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ diverguje.

\medskip
{\bf V�ta 3.5:}\ (Limitn� srovn�vac� krit�rium)(L)


P�edpokl�dejme, �e $a_n \geq 0, b_n > 0$ pro v�echna dostate�n� velk� $n$.

1. Nech� $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c \in (0,\infty)$. Pak
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje pr�v� tehdy, kdy� konverguje 
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$. 

2. Nech� $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$, nech� $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konverguje . Pak $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.

3. Nech� $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty$, nech� $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje . Pak $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konverguje.

\medskip
{\bf V�ta 3.6:}\ (Cauchyovo odmocninov� krit�rium)(L)


Bu� $(a_n)$ posloupnost nez�porn�ch ��sel.


(i) Nech� $ \exists q \in (0,1)\  \exists n_0 
\in N \  \forall n\geq n_0 : \root n \of{a_n} < q$. Pak 
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.

(ii) Nech�  
pro nekone�n� mnoho $n$ je $ \root n \of{a_n} \geq 1$. Pak 
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.

\medskip

{\bf V�ta 3.7:}\ (Limitn� Cauchyovo odmocninov� krit�rium)(L)


Bu� $(a_n)$ posloupnost nez�porn�ch ��sel.


(i) Nech� $ \lim\limits_{n\to 
\infty}\root n \of{a_n} < 1$. Pak  �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.

(ii) Nech� $ \lim_{n\to 
\infty}\root n \of{a_n} > 1$. Pak  �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 
diverguje.


\medskip
{\bf V�ta 3.8:}\ (D'Alembertovo pod�lov� krit�rium)(BD)

Bu� $(a_n)$ posloupnost kladn�ch ��sel.


(i) Nech� $\exists q \in (0,1)\  \exists n_0 
\in N \forall n\geq n_0 : \frac{a_{n+1}}{a_n} < q$. Pak 
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.

(ii) Nech� $ \exists n_0 
\in N\  \forall n\geq n_0 : \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$. Pak 
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.

\medskip
{\bf V�ta 3.9:}\ (Limitn� d'Alembertovo pod�lov� krit�rium)(BD)

Bu� $(a_n)$ posloupnost kladn�ch ��sel.

(i) Nech� $ \lim\limits_{n\to 
\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$. Pak  �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.

(ii) Nech� $ \lim\limits_{n\to 
\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$. Pak  �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 
diverguje.

\medskip
{\bf V�ta 3.10:}\ (Konvergence �ady $\sum \frac{1}{n^p}$)(BD)

Bu� $p \in \Bbb R$. 
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konverguje pr�v� tehdy, je-li $p > 1$. 

{\bf V�ta 3.11:}\ (Kondenza�n� krit�rium) (BD)

Bu� $(a_n)$ monotonn� posloupnost nez�porn�ch ��sel. Pak
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje pr�v� tehdy, kdy� konverguje 
�ada $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$.


\bigskip
{\bf 3.3. �ady se �leny, kter� m�n� znam�nka }
\medskip
{\bf Definice 3.3.:}

�ekneme, �e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje absolutn�, jestli�e 
$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ konverguje.
\medskip
{\bf V�ta 3.12:}(Konvergence a absolutn� konvergence)(L)

Jestli�e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje absolutn�, pak 
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
\medskip
{\bf V�ta 3.13:}\ (Leibnizovo krit�rium)(T)

Bu� $(a_n)$ monotonn� posloupnost nez�porn�ch ��sel. 
Pak
�ada $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ konverguje pr�v� tehdy, kdy� $a_n 
\to 0$.
\medskip
{\bf V�ta 3.14:}\ (Abelovo-Dirichletovo krit�rium) (BD)

Bu� $(b_n)$ monotonn� posloupnost nez�porn�ch ��sel, $(a_n)$ posloupnost re�ln�ch nebo komplexn�ch ��sel. 
Jestli�e nav�c

(A) �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$  konverguje a posloupnost $(b_n)$ je omezen� 

nebo

(D) posloupnost $(a_n)$ m� omezen� ��ste�n� sou�ty $(s_n)$ a $b_n \to 0$,

pak je �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ konvergentn�.

\medskip
{\bf Definice 3.4.:}\ (P�erovn�n� �ady)

Bu� $\phi$ prost� zobrazen� mno�iny $N$ na $N$ (bijekce). Pak $\phi $
nazveme p�erovn�n�m a �adu 
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ nazveme 
p�erovnanou �adou $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, jestli�e pro v�echna $n \in 
N$ plat� $b_n = a_{\phi(n)}$.

\medskip
{\bf V�ta 3.15:}\ (P�erovn�n� absolutn� konvergentn� �ady)(BD)

Je-li $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolutn� konvergentn� a 
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n =s$, pak ka�d� p�erovnan� �ada je 
rovn� absolutn� konvergentn� a konverguje ke stejn�mu sou�tu $s$. 

\medskip
{\bf V�ta 3.16:} (Riemannova o p�erovn�n� neabsolutn� konvergentn� �ady)(BD)

P�edpokl�dejme, �e $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$   je konvergentn� a nen� 
absolutn� konvergentn�, bu� $s \in R^*$. Pak existuje p�erovn�n� $\phi$ tak, 
�e �ada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\phi(n)}$  konverguje k sou�tu s.

\medskip
{\bf Definice 3.5.:}

Cauchyov�m sou�inem �ad  $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ a  $\sum_{n=0}^{\infty} 
b_n$ nazveme �adu  $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ ,kde
$$
c_n = \sum_{j=0}^{n} a_j b_{n-j} .
$$

\medskip
{\bf V�ta 3.17:} (O Cauchyov� sou�inu)(BD)

P�edpokl�dejme, �e $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ a $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 
jsou absolutn� konvergentn� a 

$\sum_{n=0}^{\infty} 
a_n = a, \sum_{n=0}^{\infty} b_n = b$. Pak Cauchy�v sou�in $\sum_{n=0}^{\infty} 
c_n$ je absolutn� konvergentn� a plat� $\sum_{n=0}^{\infty} 
c_n = a.b$



 \bye
\enddocument


