Kapitola 3. Číselné řady

3.1. Úvodní definice

Definice 3.1: Buď (a_{n})_{n=1}^{∞} posloupnost reálných resp. komplexních čísel. Pro každé n ∈ N

definujeme n-tý částečný součet s_{n} řady ∑_{n=1}^{∞} a_{n} takto:

s_{n} = a_{1} + ... + a_{n} = ∑_{k=1}^{n}a_{k}.

Definice 3.2: Řekneme, že řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje k součtu s, jestliže existuje s ∈ R tak, že

s_{n} → s. Píšeme ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = s.

Je-li lim_{n→∞} s_{n} = ∞, řekneme, že řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje do ∞;

je-li lim_{n→∞} s_{n} = −∞, řekneme, že řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje do −∞.

Pokud lim_{n→∞} s_{n} neexistuje, řekneme, že řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} osciluje.

Věta 3.1: (Nutná podmínka konvergence řady)(L) Je-li ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergentní, pak lim_{n→∞} a_{n} = 0.

Věta 3.2: (Aritmetika)(BD) Nechť ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = a, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} = b, a, b, α, β ∈ R. Pak ∑_{n=1}^{∞} (αa_{n} + βb_{n}) konver-

guje a platí ∑_{n=1}^{∞} (αa_{n} + βb_{n}) = αa + βb.

Věta 3.3: (Bolzano-Cauchyova věta pro řady)(L) Řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentní právě tehdy, když

∀ϵ ∈ (0, ∞) ∃n_{0} ∈ N ∀n ≥ n_{0} ∀p ∈ N : | ∑_{k=n}^{n+p} a_{k}| < ϵ.

3.2. Řady s nezápornými členy

Poznámka Jsou-li a_{n} nezáporná, je (s_{n}) neklesající a limita posloupnosti (s_{n}) vždy existuje.

Tato limita je vlastní (a řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje) právě tehdy, je-li (s_{n}) omezená.

Věta 3.4: (Srovnávací kritérium)(L) Nechť ∃n_{0} ∀n ≥ n_{0} : 0 ≤ a_{n} ≤ b_{n}. Pak platí:

(i) jestliže ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konverguje, pak i ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje; (ii) jestliže ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje, pak i ∑_{n=1}^{∞} b_{n} diverguje.

Věta 3.5: (Limitní srovnávací kritérium)(L) Předpokládejme, že a_{n} ≥ 0, b_{n} > 0 pro všechna dostatečně velká n.

1. Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c ∈ (0, ∞). Pak ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje právě tehdy, když

konverguje ∑_{n=1}^{∞} b_{n}.

2. Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0, nechť ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konverguje . Pak ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

3. Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = ∞, nechť ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje . Pak ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konverguje.

Věta 3.6: (Cauchyovo odmocninové kritérium)(L) Buď (a_{n}) posloupnost nezáporných čísel.

(i) Nechť ∃q ∈ (0, 1) ∃n_{0} ∈ N ∀n ≥ n_{0} : \sqrt[n]{a_{n}} < q. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje. (ii) Nechť pro nekonečně mnoho n je \sqrt[n]{a_{n}} ≥ 1. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Věta 3.7: (Limitní Cauchyovo odmocninové kritérium)(L) Buď (a_{n}) posloupnost nezáporných čísel.

(i) Nechť lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} < 1. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(ii) Nechť lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} > 1. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Věta 3.8: (D’Alembertovo podílové kritérium)(BD) Buď (a_{n}) posloupnost kladných čísel.

(i) Nechť ∃q ∈ (0, 1) ∃n_{0} ∈ N∀n ≥ n_{0} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < q. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje. (ii) Nechť ∃n_{0} ∈ N ∀n ≥ n_{0} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≥ 1. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Věta 3.9: (Limitní d’Alembertovo podílové kritérium)(BD) Buď (a_{n}) posloupnost kladných čísel.

(i) Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(ii) Nechť lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverguje.

Věta 3.10: (Konvergence řady ∑ \frac{1}{n^{p}})(BD) Buď p ∈ ℝ. Řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p}} konverguje právě tehdy, je-li p > 1. Věta 3.11: (Kondenzační kritérium) (BD) Buď (a_{n}) monotonní posloupnost nezáporných čísel. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konver-

guje právě tehdy, když konverguje řada ∑_{n=1}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}}.

3.3. Řady se členy, které mění znaménka

Definice 3.3.: Řekneme, že řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje absolutně, jestliže ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| konverguje.

Věta 3.12:(Konvergence a absolutní konvergence)(L) Jestliže řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje absolutně, pak ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

Věta 3.13: (Leibnizovo kritérium)(T) Buď (a_{n}) monotonní posloupnost nezáporných čísel. Pak řada ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n}a_{n}

konverguje právě tehdy, když a_{n} → 0.

Věta 3.14: (Abelovo-Dirichletovo kritérium) (BD) Buď (b_{n}) monotonní posloupnost nezáporných čísel, (a_{n}) posloupnost reálných

nebo komplexních čísel. Jestliže navíc (A) řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje a posloupnost (b_{n}) je omezená nebo (D) posloupnost (a_{n}) má omezené částečné součty (s_{n}) a b_{n} → 0, pak je řada ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} konvergentní.

Definice 3.4.: (Přerovnání řady) Buď ϕ prosté zobrazení množiny N na N (bijekce). Pak ϕ nazveme přerovnáním

a řadu ∑_{n=1}^{∞} b_{n} nazveme přerovnanou řadou ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, jestliže pro všechna n ∈ N platí b_{n} = a_{ϕ(n)}.

Věta 3.15: (Přerovnání absolutně konvergentní řady)(BD) Je-li ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolutně konvergentní a ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = s, pak každá přerovnaná

řada je rovněž absolutně konvergentní a konverguje ke stejnému součtu s.

Věta 3.16: (Riemannova o přerovnání neabsolutně konvergentní řady)(BD) Předpokládejme, že ∑_{n=1}^{∞} a_{n} je konvergentní a není absolutně konvergentní, buď

s ∈ R^{∗}. Pak existuje přerovnání ϕ tak, že řada ∑_{n=1}^{∞} a_{ϕ(n)} konverguje k součtu s.

Definice 3.5.: Cauchyovým součinem řad ∑_{n=0}^{∞} a_{n} a ∑_{n=0}^{∞} b_{n} nazveme řadu ∑_{n=0}^{∞} c_{n} ,kde

c_{n} = ∑_{j=0}^{n}a_{j}b_{n−j}.

Věta 3.17: (O Cauchyově součinu)(BD) Předpokládejme, že ∑_{n=0}^{∞} a_{n} a ∑_{n=0}^{∞} b_{n} jsou absolutně konvergentní a ∑_{n=0}^{∞} a_{n} = a, ∑_{n=0}^{∞} b_{n} = b. Pak Cauchyův součin ∑_{n=0}^{∞} c_{n} je absolutně konver-

gentní a platí ∑_{n=0}^{∞} c_{n} = a.b