\bigskip
\centerline{\bf 7. Primitivn� funkce}
\medskip
\centerline{\bf 7.1. �vodn� definice}
\medskip
{\bf Definice 7.1:} 

�ekneme, �e $F$ je primitivn� funkc� k $f$  na 
intervalu $(a,b)$, jestli�e pro ka�d� $x \in (a,b)$  existuje $F'(x) = 
f(x)$.
\medskip

Z kapitoly 5 vypl�v� n�sleduj�c� tabulka
$$
\matrix
\format
\l \quad &\l \quad &\l \\
f(x)& F(x) & \text{interval}\\
x^n, n \in N& \frac{x^{n+1}}{n+1}& x \in R\\
x^{\alpha}, \alpha \in R\setminus \{-1\}& \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 
1}& x \in (0,\infty)\\
x^{-1} & \ln|x|& x \in (0,\infty)\  \text{nebo} \ x \in (-\infty, 0)\\
e^x&e^x& x \in R\\
\sin x& -\cos x& x \in R\\
\cos x& \sin x& x \in R\\
\frac{1}{\cos^2 x} & \text{tg}x & x \in (k\pi - \frac{\pi}{2},k\pi + 
\frac{\pi}{2}), k \in Z\\
\frac{-1}{\sin^2 x} & \text{cotg} x & x \in (k\pi, (k+1)\pi)
, k \in Z\\
\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}& \arcsin x& x \in (-1,1)\\
\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}& \arccos x& x \in (-1,1)\\
\frac{1}{1 + x^2}& \text{arctg} x& x \in R\\
\frac{-1}{1 + x^2}& \text{arccotg} x& x \in R\\
\endmatrix
$$

\medskip
{\bf V�ta 7.1 :} BD (Posta�uj�c� podm�nka existence primitivn� funkce) 

Je-li $f$ spojit� na intervalu $(a,b)$, pak existuje alespo� jedna 
funkce $F$, kter� je 
primitivn� funkc� k $f$  na $(a,b)$.


\medskip
{\bf V�ta 7.2 :} T (Nutn� podm�nka existence primitivn� funkce) 

Jestli�e existuje alespo� jedna 
funkce $F$, kter� je 
primitivn� funkc� k $f$  na $(a,b)$, pak $f$ m� na $(a,b)$ Darbouxovu vlastnost.

P�ipome�me, �e $f$ m� na $(a,b)$ Darbouxovu vlastnost, jestli�e pro ka�d� dva body $x,y \in (a,b), x < y$ a ka�d� $d$ le��c� mezi $f(x)$ a $f(y)$
existuje alespo� jedno $c \in (x,y)$ takov�, �e $f(c) = d$.
\medskip

{\bf V�ta 7.3 :} L (Jednozna�nost primitivn� funkce)

Jsou-li $F, G$ dv� primitivn� funkce k $f$ na $(a,b)$, pak existuje $C 
\in R$ tak, �e $F(x) -  G(x) = C$ pro v�echna $x \in (a,b)$.

Je-li $F$ primitivn� funkc� k $f$ na $(a,b)$ a  $C \in R$, pak je funkce 
$G = F + C$ rovn� primitivn� funkc� k $f$
na $(a,b)$.
\medskip
{\bf Ozna�en�:}

Bu� $F$ primitivn� funkc� k $f$ na $(a,b)$. Mno�inu v�ech primitivn�ch funkc� k $f$ na $(a,b)$ 
budeme zna�it takto $\int 
f(x) dx = F(x) + C, x \in (a,b), C \in R$.

\bigskip
\centerline{\bf 7.2. Metody v�po�tu primitivn� funkce}
\medskip
{\bf V�ta 7.4 :} L (Linearita primitivn� funkce)

Bu� $F$ primitivn� funkc� k $f$ na $(a,b), G$ primitivn� funkc� k $g$ na 
$(a,b), c,d \in R$. Pak $H = cF + dG$ je primitivn� funkc� k $cf + dg $ 
na $(a,b)$ nebo
$$
\int (cf(x) + dg(x)) dx = c \int f(x) dx + d \int g(x) dx.
$$
\medskip
{\bf V�ta 7.5 :} L (Integrace per partes)

Bu� $F$ primitivn� funkc� k $f$ na $I=(a,b), G$ primitivn� funkc� k $g$ na 
$(a,b)$ a $H$ primitivn� funkc� k $F.g$ na $(a,b)$. Pak existuje 
 i primitivn� funkce  k $f.G$ na $(a,b)$ a plat� 
 $$
 \int f(x) G(x) dx = F(x) G(x) - \int F(x) g(x) dx, x \in I
 $$
 neboli
 $$
 \int F'(x) G(x) dx = F(x) G(x) - \int F(x) G'(x) dx,  x \in I.
 $$
\medskip  
{\bf V�ta 7.6 :} (Substituce)

Bu� $\phi:(\alpha, \beta)\to (a,b)$, kter� m� na intervalu $(\alpha, 
\beta)$ vlastn� 
derivaci, bu� $f$ definovan� na $(a,b)$.

1. Jestli�e existuje primitivn� funkce $F$ k $f$ na $(a,b)$, pak existuje i primitivn� 
funkce $H$ k $ h(t) = f(\phi(t)) \phi'(t)$ na $(\alpha, \beta)$ a plat� $H(t) = 
F(\phi(t)) \ \ \text{na}\ \  (\alpha, \beta)$. Jinak zaps�no
$$
\int f(\phi(t)) \phi'(t) dt = F(\phi(t)),  t \in (\alpha,\beta ).
$$

2. Nech� $\phi$  nav�c  zobraz� $(\alpha, \beta)$ na $(a,b)$ a $\phi'(t) 
\neq 0 \ \forall \ t \in {\alpha, \beta}$. 
Jestli�e existuje primitivn� 
funkce $H$ k $h(t) = f(\phi(t)). \phi'(t)$ na $(\alpha, \beta)$, pak existuje i 
primitivn� funkce $F$
k $f$ na $(a,b)$ a plat� $F(x) = H(\phi^{-1}(x))\ \  \text{na}\ \  (a,b)$.
Jinak zaps�no
$$
\int f(x) dx = H(\phi^{-1}(x), x \in (a,b) .
$$

\bigskip
\centerline{\bf 7.3 Integrace racion�ln�ch funkc�}
\medskip
V tomto odstavci uvedeme t��du funkc�, jejich� primitivn� funkce jsou 
element�rn�, tj. jsou kombinac� resp slo�en�m kone�n�ho po�tu funkc� racion�ln�ch, 
algebraick�ch, exponenci�ln� funkce, logaritmu, sinu a kosinu a funkc� k nim inverzn�ch. Z v�ty 
7.1. plyne, �e ke ka�d� spojit� funkci na intervalu existuje funkce 
primitivn�, to v�ak ne\-zna\-me\-n�, �e tato primitivn� funkce je element�rn�. 



\medskip
{\bf Definice 7.3} 

Bu� $n \in N, a_{i} \in C $ pro $i= 0,..., n.$ 
�ekneme, �e funkce $P: R \to R$ je (komplexn�) polynom jedn� re�ln� prom�nn� stupn� nejv��e 
$n$, jestli�e
$$
P(x) = \sum_{i= 0}^{n} a_{i}x^i, x \in R.
$$
Je-li $a_{n}\neq 0$, �ekneme, �e $P$ je polynom stupn� 
$n$.

Bu� $n \in N, a_{ij} \in C $ pro $i,j = 0,..., n.$ 
�ekneme, �e $P: R_2 \to R$ je (komplexn�) polynom (dvou prom�nn�ch), jestli�e
$$
P(x, y) = \sum_{i,j = 0,...,n} a_{ij}x^i y^j,\  \forall x,y \in R.
$$

�ekneme, �e $r: R\to R $ je racion�ln� funkce jedn� re�ln� prom�nn�, jestli�e existuj� 
polynomy $P,Q: R \to R$  tak, �e $Q$ nen� 
identicky rovn� nule  a plat� 
$$
r(x)= \frac{P(x)}{Q(x)},
$$
pro v�echna $ x \in R$, pro kter� $ Q(x) \neq 0$.

Obdobn� �ekneme, �e $r: R^2\to R $ je racion�ln� funkce (dvou prom�nn�ch), jestli�e existuj� 
polynomy $P,Q: R^2 \to R$  tak, �e $Q$ nen� 
identicky rovn� nule  a plat� 
$$
r(x,y)= \frac{P(x,y)}{Q(x,y)},
$$
pro v�echna $[x,y] \in R^2$,
pro kter� $Q(x,y) \neq 0$. 
\medskip

D�sledkem z�kladn� v�ty algebry je n�sleduj�c� tvrzen� o rozkladu 
polynomu:
\medskip
{\bf Tvrzen�}(O rozkladu polynomu na ko�enov� �initele)

Bu� $Q: R \to R, Q(x)= \sum_{k = 1}^{n} a_k x^k $ polynom stupn� $n\in 
N$ s re�ln�mi 
koeficienty , bu�te $\alpha_1, ..., \alpha_k$ re�ln� 
navz�jem r�zn� ko�eny polynomu $Q$ s 
n�sobnostmi ${m_1,..., m_k}$, ozna�me $\beta_1,..., \beta_l$,$ 
\overline{\beta_1},...,\overline{\beta_l}$  komplexn� (nikoliv 
re�ln�!)navz�jem r�zn� ko�eny polynomu $Q$ s 
n�sobnostmi $n_1,..., n_l$ a kladnou imagin�rn� ��st�. Pak plat�
$$
\multline
Q(x) = a_n (x - \alpha_1)^{m_1}(x - \alpha_2)^{m_2}...(x - 
\alpha_k)^{m_k}(x - \beta_1)^{n_1}(x - \overline{\beta_1})^{n_1}...(x - \beta_l)^{n_l}(x - \overline{\beta_l})^{n_l} \\ = a_n (x - \alpha_1)^{m_1}(x - \alpha_2)^{m_2}...(x - 
\alpha_k)^{m_k}(x^2 + p_1x + q_1)^{n_1}...(x^2 + p_lx + q_l)^{n_l}, 
\endmultline \tag 1
$$
kde $p_k = -2 \text{Re}\beta_k, q_k = (\text{Re}\beta_k)^2 + 
(\text{Im}\beta_k)^2$ a $n = m_1 +...+m_k + 2(n_1 + ...+ n_l)$.
\medskip
{\bf V�ta 7.7} (O rozkladu racion�ln� funkce na parci�ln� zlomky) 

Bu�te $P,Q$ 
polynomy jedn� prom�nn� s re�ln�mi koeficienty, nech� $Q$ nen� identicky 
nulov� a m� rozklad (1). P�edpokl�dejme, �e stupe� $P$ je men�� ne� 
stupe� $Q$. Pak existuj� ��sla $A_i^{r_i}, i = 1,..., k, r_i = 1,..., 
m_i$ a $B_j^{s_j}, C_j^{s_j}, j = 1,...,l, s_j = 1,..., n_j$ tak, �e 
plat�
$$
\multline
\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{A_1^1}{(x - \alpha_1)^{m_1}} + \frac{A_1^2}{(x - 
\alpha_1)^{m_1-1}} + ...\frac{A_1^{m_1}}{x - \alpha_1} + ...\\ 
\frac{A_k^1}{(x - \alpha_k)^{m_k}} + \frac{A_k^2}{(x - 
\alpha_k)^{m_k - 1}} + ...\frac{A_k^{m_k}}{x - \alpha_k} + \\ \frac{B_1^1 x 
+ C_1^1}{(x^2 + p_1 x + q_1)^{n_1}} + ...\frac{B_1^{n_1} x 
+ C_1^{n_1}}{x^2 + p_1 x + q_1}+ ...\\ \frac{B_l^1 x 
+ C_l^1}{(x^2 + p_l x + q_l)^{n_l}}+...\frac{B_l^{n_l} x 
+ C_l^{n_l}}{x^2 + p_l x + q_l}
\endmultline
$$
pro v�echna re�ln� $x \neq \alpha_1,..., \alpha_k.$
\bigskip
{\bf Integrace parci�ln�ch zlomk�}
\medskip

{\bf Jednotliv� typy parci�ln�ch zlomk�}
$$
\matrix
\format
\l\quad &\l\\
\text{integrand}& \text{primitivn� funkce}\\
\frac{1}{x-\alpha}& \ln|x -\alpha|\\
\frac{1}{(x-\alpha)^k}; k > 1 & 
\frac{1}{k+1}\frac{1}{(x-\alpha)^{k+1}}\\
\frac{2x + p}{x^2 + px + q}& \ln|x^2 + px + q|\\
\frac{1}{x^2 + px + q}& \frac{1}{\sqrt{q - 
\frac{p^2}{4}}}\text{arctg}\frac{x + \frac{p}{2}}{\sqrt{q - 
\frac{p^2}{4}}}\\
\frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^k}; k > 1& \frac{1}{k+1}\frac{1}{(x^2 + 
px + q)^{k+1}}\\
\frac{1}{(x^2 + 1)^{k+1}}; k > 1&  \frac{1}{2k}(\frac{x}{(1 + x^2)^k} + 
(2k-1) \int \frac{1}{(1 + x^2)^k}
\endmatrix
$$
\bigskip
{\bf Typy, kter� lze p�ev�st na integraci racion�ln�ch funkc�} 
\medskip
V n�sleduj�c� tabulce zna�� $r(x,y)$  racion�ln� funkci dvou prom�nn�ch 
s v�jimkou posledn�ch dvou ��dk�, kde $r$ z�vis� na jedn� prom�nn�.
$$
\matrix
\format
\l\quad & \l\\
\text{typ integr�lu}&\text{doporu�en� substituce}  \\
\int r(x,\root n \of{\frac{ax + b}{cx + d}})dx & y = \phi(x) =\root n 
\of{\frac{ax + b}{cx + d}}\\
\int r(x, \sqrt{ax^2 + bx + c})dx, a> 0 & \sqrt{ax^2 + bx + c} = 
\sqrt{a}x + y\\
\int r(x, \sqrt{ax^2 + bx + c})dx, c> 0 & \sqrt{ax^2 + bx + c} = 
\sqrt{c} + yx\\
\int r(\sin x, \cos x) dx & y = \phi (x) = \text{tg}\frac{x}{2}\\
\int r(\sin x, \cos x) dx, r\quad \text{sud� v sinech a kosinech} & y = 
\phi(x) = \text{tg}x\\ 
\int r(\sin x, \cos x) dx, r \quad\text{lich� v sinech} & y = \phi(x) = \cos 
x\\
\int r(\sin x, \cos x) dx, r \quad\text{lich� v kosinech} & y = \phi(x) = 
\sin x\\
\int r(e^x)dx & y = \phi(x) = e^x\\
\int r(\ln x). \frac{1}{x} dx&  y = \phi(x) = \ln x
\endmatrix
$$
\medskip
Pro n�kter� pom�rn� jednoduch� spojit� funkce nelze primitivn� funkci
vyj�d�it pomoc� kone�n�ho po�tu element�rn�ch funkc�. V n�kter�ch p��padech lze k ta\-ko\-v�\-mu zji�t�n� u��t n�sleduj�c� v�tu:

\medskip
{\bf V�ta}(Liouvilleova)

Bu�te $g,h$ racion�ln� funkce jedn� prom�nn�, $g$ nekonstantn�. Je-li
$$
\int e^{g(x)}h(x) dx
$$
element�rn� funkce na $I$, pak existuje racion�ln� funkce $r$ tak, �e
$$
\int e^{g(x)}h(x) dx = e^{g(x)}r(x) + C, x \in I.
$$
\end
\medskip
\bigskip
\centerline{\bf 8. Ur�it� integr�l}
\centerline{\bf 8.1. Newton�v integr�l}
\medskip
{\bf Definice 8.1} 

Bu�te $a,b \in R^*$. �ekneme, �e Newton�v integr�l z funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ existuje
 (zna��me jej $(N)\int_a^b f(x)dx $), jestli�e

1.existuje primitivn� funkce $F$ k $f$  na 
intervalu $(a,b)$,
 
2. existuj� $\lim\limits_{x \to a+} F(x), \lim\limits_{x 
\to b-} F(x) \in R^* $ a jejich rozd�l je definov�n. 

Pak 
$$
(N)\int_a^b f(x)dx  = \lim\limits_{x 
\to b-} F(x) -  \lim\limits_{x 
\to a+} F(x) .
$$

 �ekneme, �e Newton�v integr�l z funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ konverguje, jsou -li
 ob� $\lim\limits_{x \to a+} F(x)$, $\lim\limits_{x 
\to b-} F(x) $ vlastn�.

Mno�inu v�ech funkc� $f$, jejich� Newton�v integr�l na $(a,b)$ konverguje, 
zna��me $N(a,b)$.
\medskip
{\bf Zna�en�}

1. Rozd�l limit v definici integr�lu budeme stru�n�ji zapisovat  takto
$$
[F(x)]_{a}^{b} = \lim\limits_{x 
\to b-} F(x) -  \lim\limits_{x 
\to a+} F(x)
$$

2. Je-li $a>b$  definujeme $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$, je-li $a = b$,  
je $\int_a^b f(x)dx = 0$.
\medskip
{\bf V�ta 8.1:} (Linearita a nez�pornost Newtonova integr�lu)

$N(a,b)$ (s obvykl�m s��t�n�m funkc� a n�soben�m funkce konstantou) je 
vektorov� prostor a zobrazen� $\Phi: N(a,b) \to R$ je na $N(a,b)$ line�rn�. 
Zobrazen� $\Phi$ je  nez�porn�, tj. pro ka�dou dvojici funkc� $f,g \in N(a,b)$ takovou, �e
pro v�echna $x \in (a,b)$ je $f(x) \leq g(x)$ plat�, �e
$ \int_a^b f(x) dx \leq  \int_a^b g(x) dx$.
\medskip

{\bf V�ta 8.2:}(Aditivita integr�lu jako funkce intervalu)

Bu�te  $a,c,b \in R, a < c <b$. 

1. P�edpokl�dejme, �e $f$ je spojit� v bod� $c, f \in N(a,c) \cap N(c,b)$. 
Pak $f \in N(a,b)$.

2. Je-li $f \in N(a,b)$, pak $f \in N(a,c) \cap N(c,b)$.
\medskip
{\bf V�ta 8.3 :} (Integrace per partes pro �Newton�v integr�l)

Bu� $F$ primitivn� funkce k $f$  na $(a,b)$ a $G$  primitivn� funkce k 
$g$ na $(a,b)$. Je-li $f, g, 
f.G \in N(a,b) $, je i $F.g \in N(a,b)$ a plat�
$$
\int_a^b F(x)g(x)dx = [F(x)G(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)G(x)dx.
$$

\medskip
{\bf V�ta 8.4 :} (O substituci v Newtonov� integr�lu)

Bu� $\phi$ zobrazen� intervalu $(\alpha, \beta)$ na interval $(a,b)$, kter� m� na intervalu $(\alpha, 
\beta)$ vlastn� nenulovou
derivaci, bu� $f$ definovan� na $(a,b)$.
Pak plat�

1. Je-li $f \in N(a,b)$, je i $f(\phi(t))\phi'(t) \in N(\alpha, \beta)$ a plat�
$$
\int_a^b f(x)dx  = \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t)) |\phi'(t)| dt =
\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \phi'(t) dt 
$$

2.  Je-li $f(\phi(t)\phi'(t)) \in N(\alpha,\beta)$, je i $f \in N(a, 
b)$ a plat� tat� rovnost.
\medskip
{\bf Pozn�mka}

Symbolem $\phi^{-1}(b)$ zna��me $\lim_{x \to b-}\phi^{-1}(x) $a obdobn� $\phi^{-1}(a)= \lim_{x \to a+}\phi^{-1}(x)$.

\end
\bigskip

\centerline{\bf 8.2.Riemann�v integr�l}
\medskip
V tomto odstavci budeme v�dy p�edpokl�dat, �e $a,b \in R$ a funkce $f$ 
je omezen� na $[a,b]$.
\medskip
{\bf Definice 8.5 :}

D�len�m $D$ intervalu $[a,b]$ nazveme kone�nou posloupnost $x_0,x_1,...,x_n \subset 
[a,b]$ takovou, �e $a = x_0 < x_1 <...<x_n = b$. Zapisujeme $D = \{a = 
x_0 < x_1...< x_n= b\}$. 

Body $x_0,...x_n$  nazveme d�l�c�mi body d�len� 
$D$, ��slo $\nu(D)= \text{max}\{x_i - x_{i-1}; i = 1,...,n\}$ nazveme 
normou d�len� $D$. 

Mno�inu v�ech 
d�len� intervalu $[a,b]$ budeme zna�it $\Cal D$.

D�len� $D'$ je zjemn�n�m d�len� $D$, jestli�e $D \subset D'$.



%Bu�  $M \subset R$.  Charakteristickou funkc� mno�iny $M$ nazveme funkci 
%$\chi_M: R \to R$, pro kterou 
%plat�  
%$$
%\chi_M(x)= \cases 1 & x \in M,\\ 0 & x \in  R\setminus M \endcases.
%$$
\medskip
{\bf Definice 8.6:}

Bu� $D = \{a = x_0 < x_1...< x_n= b\}$. Pro $i = 1,..., n$ ozna�me
$$
  m_i = \text{inf}\{f(x); x \in [x_{i-1}, x_i]\}, M_i = 
  \text{sup}\{f(x); x \in [x_{i-1}, x_i]\}.
$$
Horn�m sou�tem pro funkci $f$ a d�len� $D$ nazveme
$$
  S(D,f)= \sum_{i=1}^n M_i(x_i - x_{i-1}),
$$
doln�m  sou�tem pro funkci a d�len� nazveme
$$
  s(D,f)= \sum_{i=1}^n m_i(x_i - x_{i-1}).
  $$

\medskip
{\bf Pozn�mka}

1. Bu� $ m = \text{inf}\{f(x); x \in [a,b]\}, M = 
  \text{sup}\{f(x); x \in [a,b]\}  $. Pak
  $$
  m(b-a) \leq s(D) \leq S(D) \leq M(b-a).
$$ 

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horn� a doln� sou�ty zna�it pouze 
$s(D), S(D)$.                         

%Bu�te  $a,b, \in R$. Integr�lem z charakteristick� funkce $\chi_I$ 
%intervalu $I = [a,b)$ je
%$$
%\int_R \chi(x) dx = b-a. 
%$$
%D�lku  intervalu $I = [a,b)$ budeme v dal��m naz�vat m�ra intervalu a 
%zna�it 
%$$
%\mu(I) = b-a.
%$$

%Bu�te $(I_k)_{k=1}^n$ disjunktn� omezen� intervaly obsahuj�c�
%lev� krajn� bod.
%Jednoduchou 
%funkc� nazveme line�rn� kombinaci $\phi(x) = \sum_{k = 1}^n \lambda_k 
%\chi_k(x), x \in R$
%charakteristick�ch funkc� $\chi_k$ interval� $I_k$.  Integr�lem z jednoduch� funkce $\phi$ je pak
%$$
%\int_R \phi(x) dx = \sum_{k=1}^n \lambda_k \mu(I_k)
%$$
% a  budeme jej zna�it tak� $\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x) dx$ nebo 
% $\int \phi$.
 
%\medskip
%{\bf Pozn�mka}

%A�koliv tat� funkce m��e b�t zaps�na n�kolika zp�soby jako line�rn� 
%kombinace jednoduch�ch funkc�, je integr�l z jednoduch� funkce dob�e 
%definov�n a nez�vis� na rozkladu. Je jednoduch� ov��it, �e jednoduch� 
%funkce tvo�i line�rn� prostor $S$ a  integr�l je line�rn� a nez�porn� 
%zobrazen� prostoru $S$ do $R$.
%  \medskip
%Bu� v dal��m funkce $f$ omezen� na $R$ a nulov� vn� omezen�ho 
%intervalu $I$.
\medskip
{\bf Lemma}

1. Bu�te $D, D' \in \Cal D, D'$ je zjemn�n�m $D$. Pak plat�
$ s(D)\leq s(D'), S(D) \geq S(D');$

2. Pro ka�d� dv� d�len� $D, D' \in \Cal D$  plat� $ s(D) \leq S(D')$.
\medskip
{\bf Definice 8.7:}


Horn�m Riemannov�m integr�lem funkce $f$ na intervalu $[a,b]$ nazveme
$$
\overline{\int_a^b} f(x) dx = \text{inf}\{S(D); D \in \Cal D\},
$$
doln�m Riemannov�m integr�lem funkce $f$ na intervalu $[a,b]$ nazveme
$$
\underline{\int_a^b} f(x) dx = \text{sup}\{s(D); D \in \Cal D\}.
$$

Jestli�e $\overline{\int_a^b} f(x) dx = \underline{\int_a^b} f(x) dx $, 
nazveme tuto spole�nou hodnotu Riemannov�m integr�lem a 
zna��me
$$
(R) \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f.
$$
Mno�inu v�ech funkc�, kter� maj� Riemann�v integr�l na intervalu $[a,b]$
 budeme zna�it $R(a,b)$.
%Ozna�me $J^+$  mno�inu v�ech jednoduch�ch majorant, tj. mno�inu v�ech 
%jed\-no\-du\-ch�ch funk\-c� $\phi$, pro n� pla\-t� $\phi(x) \geq f(x)$  pro 
%v�ech\-na $x \in R$ . Obdob\-n�  ozna�\-me $J_-$  mno\-�i\-nu v�ech 
%jed\-no\-du\-ch�ch 
%minorant, tj. mno�inu v�ech 
%jednoduch�ch funkc� $\psi$, pro n� plat� $\psi(x)\leq f(x)$ pro 
%v�echna $x \in R$.

\medskip
{\bf Pozn�mka}
V�dy plat�
$$
\overline{\int_a^b} f(x) dx \geq \underline{\int_a^b} f(x) dx.
$$
%Za p�edpoklad� na funkci $f$  jsou mno�iny $J^+, J_-$  nepr�zdn�.
%Z nez�pornosti integr�lu na mno�in� jednoduch�ch funkc� plyne, �e
%$$
%\text{inf}\{\int \phi; \phi \in J^+ \} \geq \text{sup}\{ \int \psi; \psi 
%\in J_- \}.
%$$
%\medskip
%{\bf Definice 7.8:}
%
%�ekneme, �e funkce $f$, omezen� na $R$ a nulov� vn� omezen�ho 
%intervalu $I$, m� Riemann�v integr�l, jestli�e
%$$
%\text{inf}\{\int \phi; \phi \in J^+ \} =  \text{sup}\{ \int \psi; \psi 
%\in J_- \} = c.
%$$
%Tuto spole�nou hodnotu nazveme Riemannov�m integr�lem a zna��me
%$$
%\int_R f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx  =\int f = c.
%$$

\medskip
{\bf V�ta 7.11 :}(Nutn� a posta�uj�c� podm�nka existence Riemannova integr�lu)  

$f \in R(a,b)$ pr�v� tehdy, kdy� pro ka�d� $\epsilon > 0$ existuje 
d�len�
$ D \in \Cal D$ tak, �e   $ 0 \leq S(D)-s(D) < \epsilon.$

\medskip  
{\bf Pozn�mka} 

$f \in R(a,b)$ pr�v� tehdy, kdy�  existuje posloupnost d�len� $(D_n) \subset 
\Cal D$ tak, �e 
$$
\lim\limits_{n \to \infty}(S(D_n) - s(D_n))= 0.
$$

\medskip
{\bf V�ta 7.12:}(Linearita a nez�pornost Riemannova integr�lu)

$R(a,b)$ (s obvykl�m s��t�n�m funkc� a n�soben�m funkce konstantou) je 
vektorov� prostor a zobrazen� $\Psi$, kter� funkci $f \in R(a,b)$ p�i�ad� 
$\int_a^b f(x) dx$ je na $R(a,b)$ line�rn�. 
Zobrazen� $\Psi$ je  nez�porn�, tj. pro ka�dou dvojici funkc� $f,g \in R(a,b)$ takovou, �e
pro v�echna $x \in (a,b)$ je $f(x) \leq g(x)$ plat�, �e
$ \int_a^b f(x) dx \leq  \int_a^b g(x) dx$.
\medskip
{\bf V�ta 7.13:} (Aditivita Riemannova integr�lu jako funkce intervalu)

Bu�te $a,b,c \in R, a < c < b$. Pak $f \in R(a,b)$ pr�v� tehdy, kdy� $f 
\in R(a,c)\cap R(c,b)$. D�le plat�
$$
\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx.
$$
\bigskip
\centerline{\bf 7.7.Integrace spojit�ch funkc�}
\medskip
{\bf Definice 7.9:}
�ekneme, �e funkce $f$ je stejnom�rn� spojit� na mno�in� $M$, jestli�e
$$
\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \forall x,y \in M, |x-y| <\delta: 
|f(x)- f(y)|< \epsilon.
$$
\medskip
{\bf V�ta 7.14:}(Spojitost a stejnom�rn� spojitost)

Bu� $f$ spojit� na omezen�m a uzav�en�m intervalu $I = [a,b]$. 
Pak je $f$
stej\-no\-m�r\-n� spojit� na $I$.

\medskip
{\bf V�ta 7.15:}(Riemann�v integr�l spojit� nebo monotonn� funkce) 

1.Bu� $f$ spojit� na $[a,b]$. Pak je $f \in R(a,b)$.

2.Bu� $f$ monotonn� a omezen� na $[a,b]$. Pak je $f \in R(a,b)$.
\medskip


{\bf V�ta 7.17:}(Riemann�v integr�l spojit� a omezen� funkce

Bu� $f$ spojit� na $(a,b)$ a omezen�  na $[a,b]$. 
Pak je $f \in R(a,b)$.

\medskip
{\bf Pozn�mky}

1. Bu� $m\in N, K = \{c_1,...,c_m\} \subset [a,b]$, $f$  spojit� na 
$[a,b] \setminus K$ a omezen� na $[a,b]$. Pak je $f \in R(a,b)$.

2. Bu� $m\in N, K = \{c_1,...,c_m\} \subset [a,b], f \in R(a,b)$. Nech� 
$g : [a,b] \to R$
takov�, �e $g(x)=f(x)$ pro v�echna $x \in [a,b]\setminus K$. Pak je $g \in R(a,b)$ a
$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx$.

3. Obecn�ji plat�, �e $f \in R$  pr�v� tehdy, je-li mno�ina $M$ bod� nespojitosti 
funkce $f$  nulov� v tomto smyslu: pro ka�d�
$\epsilon > 0$ existuje posloupnost interval� 
$(I_n = (a_n, b_n))_{n=1}^{\infty}$ takov�, �e
$$ 
(M \subset \cup_{n=1}^{\infty}I_n )\land (\sum_{n=1}^{\infty}(b_n - a_n) < 
\epsilon).
$$

4. Z definice Riemannova integr�lu lze dok�zat, �e  
je-li $f \in R(a,b)$, pak i $|f| \in R(a,b)$ a plat�
$$
|\int_a^b f(x) dx| \leq \int_a^b |f(x)| dx
$$
\medskip
%{\bf Definice 7.7:}

%Bu� $M\subset R, f:M\to R$  a $I=[a,b)$ interval le��c� v $M$. �ekneme, �e 
%$f$ m� Riemann�v integr�l p�es interval $I$, jestli�e funkce $f^*$ 
%definovan�
%$$
%f^*(x) = \cases f(x)& x \in [a,b)\\
%         0& x \in R\setminus [a,b) 
%         \endcases
%         $$
%          pat�� do $R$. 
%V takov�m p��pad� definujeme integr�l z funkce $f$ p�es interval $I$ 
%jako
%$$
%\int_I f(x)dx = \int f^*
%$$
%a ozna��me 
%mno�inu v�ech funkc�, kter� maj� Riemann�v integr�l p�es interval $I$ 
%jako $R(I)$ .
%
%\medskip
%{\bf Pozn�mka}
%
%$R(I)$ (s obvykl�m s��t�n�m funkc� a n�soben�m funkce konstantou) je 
%vektorov� prostor a zobrazen� $\Phi: R(I) \to R$ je na $R(I)$ line�rn�. 
%Zobrazen� $\Phi$ je  nez�porn�, tj. pro ka�dou dvojici funkc� $f,g \in 
%R(I)$ takovou, �e
%$f(x) \leq g(x),\ \ \forall x \in I$ plat�:
%$ \int f \leq  \int g$
%\medskip

%\medskip
%{\bf V�ta 7.17: }
%
%Bu�te $a,b,c \in R, a< c< b$. Pak $f \in R(a,b)$ pr�v� tehdy, kdy�  $f 
%\in R(a,c) \cap R(c,b)$.
\medskip
{\bf �mluva}

Definujeme 
$$
\int_a^a f(x) dx = 0,
$$
$$
\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx
$$
pro $a > b$.

\medskip

{\bf V�ta 7.17: }(Neur�it� Riemann�v integr�l a jeho vlastnosti)

Bu�  $f \in R(a,b), c \in (a,b)$. Definujme pro $x \in [a,b]$
$$  F(x) = 
\int_c^x f(t)dt.
$$
 Funkci $F$ nazveme neur�it�m Riemannov�m integr�lem. Pak plat�
  
 1. $F$ je stejnom�rn� spojit� na $[a,b]$. 
 
 2. Je-li $f$ spojit� v 
bod� $d \in (a,b)$, existuje $F'(d)$ a 
plat� $F'(d)= f(d)$. (V krajn�ch bodech plat� analogick� tvrzen� s 
jednostrannou spojitost� $f$ a derivac� $F$.) 
\medskip
{\bf D�sledek}

D�sledkem v�ty 7.17 je posta�uj�c� podm�nka pro existenci primitivn� funkce. Je-li toti� funkce $f$ spojit�  na intervalu $(a,b)$ a zvol�me-li $c \in (a,b)$ je funkce $F$ z 
v�ty 7.17 primitivn� funkc� k $f$ na  $(a,b)$.

\medskip
{\bf V�ta 7.18: }(Vztah mezi Riemannov�m a Newtonov�m integr�lem ze spojit� funkce)

Bu� $f$ spojit� na $[a,b]$ . Pak $f$ m� Newton�v i Riemann�v integr�l na 
$[a,b]$ a plat�
$$
(R)\int_a^b f(x)dx =(N)\int_a^b f(x)dx .
$$


%\medskip
%{\bf V�ta 7.20: } Limitn� srovn�vac� krit�rium
%
%Bu�te $f,g$ spojit� a nez�porn� na $[a,b)$, nech� existuje limita 
%$\lim\limits_{x \to b-}\frac{f(x)}{g(x)}= c \in (0, \infty)$. Pak existuje 
%$(N)\int_a^b f(x) dx$
%pr�v� tehdy, kdy� existuje $(N)\int_a^b g(x) dx$.

%\medskip


%{\bf V�ta 7.21: }  

%Bu�te  $a,b \in R$, bu� $f$ monotonn� a omezen� na $I = [a,b)$. Pak $f 
%\in R(I)$.

\bigskip
\centerline{\bf 7.7. U�it� ur�it�ho integr�lu}
\medskip
{I.\bf V�ta 7.19: }(Existence a jednozna�nost logaritmu)

Existuje jedin� funkce $f$  (nazveme ji p�irozen� logaritmus a zna��me 
$f(x) = \ln(x)$), kter� 
spl�uje po�adavky

1. defini�n�m oborem je interval $(0,\infty)$,

2. $f$ je rostouc� na $(0,\infty)$,

3. $\forall\ \ x,y \in (0, \infty): f(x.y)= f(x) + f(y),$

4. $f(1)= 0,$

5. $\lim\limits_{x \to 1}\frac{f(x)}{x-1} = 1.$
\medskip

{II.\bf V�ta 7.20: }(Integr�ln� krit�rium konvergence �ad)

Bu� $f$ spojit�, nerostouc� a nez�porn�  na  $[1,\infty)$. Pak 
$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$  konverguje pr�v� tehdy, 
kdy� konverguje $(N)\int_1^{\infty} f(x) dx$.


\medskip
III. {\bf D�lka k�ivky}

{\bf Definice 7.7:}

Bu� $\phi$ spojit� zobrazen� intervalu $I=[a,b]\subset R$ do  $R_2$. 

Mno�inu 
$K = \{\phi(x), x \in I\}$ nazveme k�ivkou, zobrazen� $\phi$
parametrizac� k�ivky $\Phi$.

Bu� $D = \{a=x_0 < x_1<...<x_n=b\}$ d�len� intervalu $I$. 

Lomenou �arou $L$ odpov�daj�c� 
d�len� $D$ nazveme 
sjednocen� �se�ek s krajn�mi body $\phi(x_{i-1}),
\phi(x_i)$ pro $i = 1,...,n$, d�lkou lomen� ��ry $L$ je pak
$$
d(L)= \sum_{i=1}^n |\phi(x_i) - \phi(x_{i-1})|.
$$

Definujeme d�lku k�ivky $d(K)$ takto
$$
d(K)= \sup\{d(L)\},
$$
kde supremum se bere p�es v�echny lomen� ��ry odpov�daj�c� d�len�m $D 
\in \Cal D$.
intervalu $I$. 

\medskip
{\bf V�ta 7.20: }(D�lka k�ivky  )

Bu� funkce $f$  spojit� diferencovateln� na uzav�en�m intervalu $I$. Pak 
d�lka k�ivky $K =\{[x,f(x)], x \in I \}$
$$
L(K) = \int_I \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx.
$$
\medskip
{\bf Pozn�mka}

1. Bu� $\phi: I=[a,b] \to R_n$ diferencovateln� funkce na intervalu 
$I$. Pak je d�lka k�ivky $\{[\phi(t)]; t \in [a,b]\}$ d�na vzorcem

$$ D(\Phi) = \int_a^b |\phi'(t)| dt = \int_a^b \sqrt{\sum_1^n 
|\phi_i'(t)|^2} dt, 
$$
pokud integr�l na prav� stran� existuje jako Newton�v nebo Riemann�v.


2. Bu�te $f,g$ spojit� na $[a,b]$,

$$M= \{[x,y]; x \in [a,b],  y \in [g(x), f(x)] \},$$ 
bu� $T$ t�leso vznikl� rotac� mno�iny  $M$ kolem osy $x$, tj.
$$
T = \{[x,y,z] \in R_3; x \in [a,b], g^2(x)\leq y^2 + z^2 \leq f^2(x)\}.
$$ 
Pak je objem 
$V(T)$ t�lesa  $T$ d�n vzorcem

$$ V(T) = \pi \int_a^b ( (f(x)^2 - (g(x)^2) dx. $$




3. Bu� $f$  spojit� diferencovateln� funkce na intervalu 
$I = [a,b]$, bu� $P$ plocha vznikl� rotac� mno�iny  $M = \{ [x,f(x)], x \in 
[a,b]\}$ kolem osy $x$, tj.
$$
  P = \{[x,y,z] \in R_3; x \in [a,b], y^2 + z^2 = f^2(x)\}
$$
Pak je velikost
plochy  $P$ d�na vzorcem

$$ \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{ 1 + (f'(x))^2} dx. $$

\end
\medskip

IV. {\bf Diferenci�ln� rovnice}

Rovnici
$$
y' = f(t)g(y) \tag 2
$$
nazveme diferenci�ln� rovnic� se separovan�mi prom�nn�mi.
\medskip
{\bf Definice 7.8:}

Bu� $f$  spojit� na  $(a,b)$, $g$ spojit� a nenulov� na $(c,d)$. 
�ekneme, �e $y:(\alpha, \beta) \subset (a,b)$ je �e�en�m 
rovnice (2) na intervalu  $(\alpha, \beta)$, jestli�e

1. $y((\alpha, \beta)) \subset (c,d),$

2. $\forall\  t \in (\alpha, \beta) \ \exists y'(t) \in R,$

3. $\forall \  t \in (\alpha, \beta): y'(t)= f(t)g(y(t)). $
\medskip
{\bf V�ta 7.25: }(Rovnice se separovan�mi prom�nn�mi)

Bu� $f$  spojit� na  $(a,b)$, $g$ spojit� a nenulov� na $(c,d)$. Ozna�me 
$F$ primitivn� funkci k $f$ na $(a,b)$, $G$ primitivn� funkci k 
$frac{1}{g}$ na $(c,d)$.

1. Je-li $y:(\alpha, \beta) \subset (a,b) \to (c,d)$ �e�en�m 
rovnice (2) na intervalu  $(\alpha, \beta)$,pak existuje $C \in R$ tak,  
�e 
$$ 
y(t) = G^{-1}(F(t) + C), \forall t \in (\alpha, \beta).
$$

2. Je-li $ y(t) = G^{-1}(F(t) + C), \forall t \in (\alpha, 
\beta)\subset(a,b)$, pak je $y$ �e�en�m rovnice (2) na $(\alpha, \beta)$.

\end


