7. Primitivní funkce

7.1. Úvodní definice

Definice 7.1: Řekneme, že F je primitivní funkcí k f na intervalu (a, b), jestliže pro každé

x ∈ (a, b) existuje F′(x) = f(x).

Z kapitoly 5 vyplývá následující tabulka

f(x)  F (x)  interval
x^{n}, n ∈ N  \frac{x^{n+1}}{n+1}  x ∈ R
x^{α}, α ∈ R \ \{−1\} \frac{x^{α+1}}{α+1}  x ∈ (0, ∞)
x^{−1}  ln|x|  x ∈ (0, ∞) nebo x ∈ (−∞, 0)
e^{x}  e^{x}  x ∈ R
sinx  − cosx x ∈ R
cosx  sinx  x ∈ R
\frac{1}{cos^{2} x}  tgx  x ∈ (kπ − \frac{π}{2}, kπ + \frac{π}{2}), k ∈ Z
\frac{−1}{sin^{2} x}  cotgx  x ∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z
\frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}}  arcsinx x ∈ (−1, 1)
\frac{−1}{\sqrt{1−x^{2}}}  arccosx x ∈ (−1, 1)
\frac{1}{1+x^{2}}  arctgx x ∈ R
\frac{−1}{1+x^{2}}  arccotgx x ∈ R

Věta 7.1 : BD (Postačující podmínka existence primitivní funkce) Je-li f spojitá na intervalu (a, b), pak existuje alespoň jedna funkce F, která je

primitivní funkcí k f na (a, b).

Věta 7.2 : T (Nutná podmínka existence primitivní funkce) Jestliže existuje alespoň jedna funkce F, která je primitivní funkcí k f na (a, b),

pak f má na (a, b) Darbouxovu vlastnost.

Připomeňme, že f má na (a, b) Darbouxovu vlastnost, jestliže pro každé dva body x, y ∈ (a, b), x < y a každé d ležící mezi f(x) a f(y) existuje alespoň jedno c ∈ (x, y) takové, že f(c) = d.

Věta 7.3 : L (Jednoznačnost primitivní funkce) Jsou-li F, G dvě primitivní funkce k f na (a, b), pak existuje C ∈ R tak, že

F (x) − G(x) = C pro všechna x ∈ (a, b).

Je-li F primitivní funkcí k f na (a, b) a C ∈ R, pak je funkce G = F + C rovněž primitivní funkcí k f na (a, b).

Označení: Buď F primitivní funkcí k f na (a, b). Množinu všech primitivních funkcí k f na

(a, b) budeme značit takto ∫ f(x)dx = F (x) + C, x ∈ (a, b), C ∈ R.

7.2. Metody výpočtu primitivní funkce

Věta 7.4 : L (Linearita primitivní funkce) Buď F primitivní funkcí k f na (a, b), G primitivní funkcí k g na (a, b), c, d ∈ R.

Pak H = cF + dG je primitivní funkcí k cf + dg na (a, b) nebo

∫ (cf(x) + dg(x))dx = c ∫ f(x)dx + d ∫ g(x)dx.

Věta 7.5 : L (Integrace per partes)

Buď F primitivní funkcí k f na I = (a, b), G primitivní funkcí k g na (a, b) a H primitivní funkcí k F.g na (a, b). Pak existuje i primitivní funkce k f.G na (a, b) a platí

∫ f(x)G(x)dx = F (x)G(x) − ∫ F (x)g(x)dx, x ∈ I

neboli

∫ F′(x)G(x)dx = F (x)G(x) − ∫ F (x)G′(x)dx, x ∈ I.

Věta 7.6 : (Substituce)

Buď ϕ : (α, β) → (a, b), která má na intervalu (α, β) vlastní derivaci, buď f definovaná na (a, b).

1. Jestliže existuje primitivní funkce F k f na (a, b), pak existuje i primitivní funkce H k h(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t) na (α, β) a platí H(t) = F (ϕ(t)) na (α, β). Jinak zapsáno

∫ f(ϕ(t))ϕ′(t)dt = F (ϕ(t)), t ∈ (α, β).

2. Nechť ϕ navíc zobrazí (α, β) na (a, b) a ϕ′(t) ≠ 0 ∀ t ∈ α, β. Jestliže existuje primitivní funkce H k h(t) = f(ϕ(t)).ϕ′(t) na (α, β), pak existuje i primitivní funkce F k f na (a, b) a platí F (x) = H(ϕ^{−1}(x)) na (a, b). Jinak zapsáno

∫ f(x)dx = H(ϕ^{−1}(x), x ∈ (a, b).

7.3 Integrace racionálních funkcí

V tomto odstavci uvedeme třídu funkcí, jejichž primitivní funkce jsou elementární, tj. jsou kombinací resp složením konečného počtu funkcí racionálních, algebraických, exponenciální funkce, logaritmu, sinu a kosinu a funkcí k nim inverzních. Z věty 7.1. plyne, že ke každé spojité funkci na intervalu existuje funkce primitivní, to však neznamená, že tato primitivní funkce je elementární.

Definice 7.3

Buď n ∈ N, a_{i} ∈ C pro i = 0, ..., n. Řekneme, že funkce P : R → R je (komplexní) polynom jedné reálné proměnné stupně nejvýše n, jestliže

P (x) = ∑_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}, x ∈ R.

Je-li a_{n} ≠ 0, řekneme, že P je polynom stupně n.

Buď n ∈ N, a_{ij} ∈ C pro i, j = 0, ..., n. Řekneme, že P : R_{2} → R je (komplexní) polynom (dvou proměnných), jestliže

P (x, y) = ∑_{i,j=0,...,n} a_{ij}x^{i}y^{j}, ∀x, y ∈ R.

Řekneme, že r : R → R je racionální funkce jedné reálné proměnné, jestliže existují polynomy P, Q : R → R tak, že Q není identicky rovný nule a platí

r(x) = \frac{P (x)}{Q(x)},

pro všechna x ∈ R, pro která Q(x) ≠ 0.

Obdobně řekneme, že r : R^{2} → R je racionální funkce (dvou proměnných), jestliže existují polynomy P, Q : R^{2} → R tak, že Q není identicky rovný nule a platí

r(x, y) = \frac{P (x, y)}{Q(x, y)},

pro všechna [x, y] ∈ R^{2}, pro která Q(x, y) ≠ 0.

Důsledkem základní věty algebry je následující tvrzení o rozkladu polynomu:

Tvrzení(O rozkladu polynomu na kořenové činitele)

Buď Q : R → R, Q(x) = ∑_{k=1}^{n} a_{k}x^{k} polynom stupně n ∈ N s reálnými koeficienty , buďte α_{1}, ..., α_{k} reálné navzájem různé kořeny polynomu Q s násobnostmi m_{1}, ..., m_{k}, označme β_{1}, ..., β_{l},\overline{β_{1}}, ..., \overline{β_{l}} komplexní (nikoliv reálné!)navzájem různé kořeny polynomu Q s násobnostmi n_{1}, ..., n_{l} a kladnou imaginární částí. Pak platí

(1) Q(x) = a_{n}(x−α_{1})^{m_{1}}(x−α_{2})^{m_{2}}...(x−α_{k})^{m_{k}}(x−β_{1})^{n_{1}}(x−\overline{β_{1}})^{n_{1}}...(x−β_{l})^{n_{l}}(x−\overline{β_{l}})^{n_{l}}

= a_{n}(x − α_{1})^{m_{1}}(x − α_{2})^{m_{2}}...(x − α_{k})^{m_{k}}(x^{2} + p_{1}x + q_{1})^{n_{1}}...(x^{2} + p_{l}x + q_{l})^{n_{l}},

kde p_{k} = −2Reβ_{k}, q_{k} = (Reβ_{k})^{2} + (Imβ_{k})^{2} a n = m_{1} + ... + m_{k} + 2(n_{1} + ... + n_{l}).

Věta 7.7 (O rozkladu racionální funkce na parciální zlomky)

Buďte P, Q polynomy jedné proměnné s reálnými koeficienty, nechť Q není identicky nulový a má rozklad (1). Předpokládejme, že stupeň P je menší než stupeň Q. Pak existují čísla A_{i}^{r_{i}}, i = 1, ..., k, r_{i} = 1, ..., m_{i} a B_{j}^{s_{j}}, C_{j}^{s_{j}}, j = 1, ..., l, s_{j} = 1, ..., n_{j} tak, že platí

\frac{P (x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}^{1}}{(x − α_{1})^{m_{1}}} + \frac{A_{1}^{2}}{(x − α_{1})^{m_{1} −1}} + ...\frac{A_{1}^{m_{1}}}{x − α_{1}} + ...

\frac{A_{k}^{1}}{(x − α_{k})^{m_{k}}} + \frac{A_{k}^{2}}{(x − α_{k})^{m_{k}−1}} + ...\frac{A_{k}^{m_{k}}}{x − α_{k}} +

\frac{B_{1}^{1}x + C_{1}^{1}}{(x^{2} + p_{1}x + q_{1})^{n_{1}}} + ...\frac{B_{1}^{n_{1}}x + C_{1}^{n_{1}}}{x^{2} + p_{1}x + q_{1}} + ...

\frac{B_{l}^{1}x + C_{l}^{1}}{(x^{2} + p_{l}x + q_{l})^{n_{l}}} + ...\frac{B_{l}^{n_{l}}x + C_{l}^{n_{l}}}{x^{2} + p_{l}x + q_{l}}

pro všechna reálná x ≠ α_{1}, ..., α_{k}.

Integrace parciálních zlomků

Jednotlivé typy parciálních zlomků

integrand  primitivní funkce
\frac{1}{x−α}  ln|x − α|
\frac{1}{(x−α)^{k}} ; k > 1  \frac{1}{k+1} \frac{1}{(x−α)^{k+1}}
\frac{2x+p}{x^{2} +px+q}  ln|x^{2} + px + q|
\frac{1}{x^{2} +px+q}  _{\frac{1}{\sqrt{q− \frac{p^{2}}{4}}}} arctg\frac{x+ \frac{p}{2}}{\sqrt{q− \frac{p^{2}}{4}}}
\frac{2x+p}{(x^{2} +px+q)^{k}} ; k > 1 \frac{1}{k+1} \frac{1}{(x^{2} +px+q)^{k+1}}
\frac{1}{(x^{2} +1)^{k+1}} ; k > 1 \frac{1}{2k}(\frac{x}{(1+x^{2} )^{k}} + (2k − 1) ∫ \frac{1}{(1+x^{2} )^{k}}

Typy, které lze převést na integraci racionálních funkcí

V následující tabulce značí r(x, y) racionální funkci dvou proměnných s výjimkou posledních dvou řádků, kde r závisí na jedné proměnné.

typ integrálu  doporučená substituce
∫ r(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} )dx  y = ϕ(x) = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}
∫ r(x, \sqrt{ax^{2} + bx + c} )dx, a > 0  \sqrt{ax^{2} + bx + c} = \sqrt{a}x + y
∫ r(x, \sqrt{ax^{2} + bx + c} )dx, c > 0  \sqrt{ax^{2} + bx + c} = \sqrt{c} + yx
∫ r(sinx, cosx)dx  y = ϕ(x) = tg\frac{x}{2}
∫ r(sinx, cosx)dx, r sudá v sinech a kosinech y = ϕ(x) = tgx
∫ r(sinx, cosx)dx, r lichá v sinech  y = ϕ(x) = cosx
∫ r(sinx, cosx)dx, r lichá v kosinech  y = ϕ(x) = sinx
∫ r(e^{x})dx  y = ϕ(x) = e^{x}
∫ r(lnx).\frac{1}{x}dx  y = ϕ(x) = lnx

Pro některé poměrně jednoduché spojité funkce nelze primitivní funkci vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí. V některých případech lze k takovému zjištění užít následující větu:

Věta(Liouvilleova) Buďte g, h racionální funkce jedné proměnné, g nekonstantní. Je-li

∫ e^{g(x)}h(x)dx

elementární funkce na I, pak existuje racionální funkce r tak, že

∫ e^{g(x)}h(x)dx = e^{g(x)}r(x) + C, x ∈ I.