\parindent=0pt

\def\arctg{\operatorname{arctg}}
\def\cotg{\operatorname{cotg}}
\def\sign{\operatorname{sign}}
\def\tg{\operatorname{tg}}
\input amstex


\centerline{\bf Kapitola 4. Limity a spojitost re�ln�ch funkc�  }
\vskip 1 cm
{\bf 4.1. �vodn� definice}


\medskip
{\bf Definice 4.1:}

Funkce $f$ je shora omezen� na mno�in� $M\subset R$, jestli�e plat�,�e 
$\exists K \in R \ \forall x 
\in M : f(x)\leq K$ (tj. je-li mno�ina $\{f(x); x \in M\}$ shora 
omezen�).

Funkce $f$ je zdola omezen� na mno�in� $M$, jestli�e plat�,�e 
$\exists L \in R\  \forall x 
\in M : f(x)\geq K$ (tj. je-li mno�ina $\{f(x); x \in M\}$ zdola
omezen�).


Funkce $f$ je omezen� na mno�in� $M$, je-li sou�asn� shora
omezen� a zdola omezen� na $M$.

\medskip
{\bf Definice 4.2:}

Funkce  $f$ je klesaj�c� na mno�in� $M\subset R$, jestli�e $\forall x,y 
\in M, x < y : f(x) > f(y)$.

Funkce  $f$ je rostouc� na mno�in� $M$, jestli�e $\forall x,y 
\in M, x < y : f(x) < f(y)$.


Funkce  $f$ je neklesaj�c� na mno�in� $M$, jestli�e $\forall x,y 
\in M, x < y : f(x) \leq
f(y)$.

Funkce  $f$ je nerostouc� na mno�in� $M$, jestli�e $\forall x,y 
\in M, x < y : f(x) \geq
f(y)$.

Funkce  $f$ je monotonn� na $M$, jestli�e je na $M$ nerostouc� nebo 
neklesaj�c�.


Funkce  $f$ je ryze monotonn� na $M$, jestli�e je na $M$ rostouc� nebo 
klesaj�c�.
\bigskip

{\bf Definice 4.3:}(Okol� bodu, jednostrann� okol�)

Bu� $a \in R, \epsilon \in (0,\infty)$. Pak definujeme
\roster
\item $U(a, \epsilon)= (a-\epsilon, a+\epsilon)= \{x\in \Bbb R; |x-a|< \epsilon\}$ okol� bodu $a$ o polom�ru $\epsilon$, 
\item $P(a, \epsilon) =(a-\epsilon, a)\cup (a, a + \epsilon)$
prstencov� okol� bodu $a$ 
o polom�ru $\epsilon$, 
\item $P^+(a, \epsilon) 
= (a, a + \epsilon)$ prav� prstencov� okol� bodu $a$ 
o polom�ru $\epsilon$, 
\item $P^-(a, \epsilon) 
= (a - \epsilon, a)$ lev� prstencov� okol� bodu $a$ o polom�ru $\epsilon$.
\endroster
 D�le pro $a= -\infty,  \epsilon \in (0,\infty)$ definujeme
 \roster
 \item"(5)" $U(-\infty, \epsilon)= P(-\infty, \epsilon)= P^+(-\infty, \epsilon)= (-\infty, -\frac{1}{\epsilon})$ okol� bodu $-\infty$ o po\-lo\-m�\-ru $\epsilon$, prstencov� okol� a pra\-v� prsten\-co\-v� oko\-l�  bo\-du $-\infty$ 
o po\-lo\-m�\-ru $\epsilon$ (le\-v� oko\-l� ne\-de\-fi\-nu\-je\-me).
\endroster
a pro $a= \infty,  \epsilon \in (0,\infty)$ definujeme
\roster
\item"{(6)}" $U(\infty, \epsilon)= P(\infty, \epsilon)= P^-(\infty, \epsilon)= (\frac{1}{\epsilon}, \infty)$ okol� bodu $\infty$ o polom�ru $\epsilon$, prstencov� okol� a lev� prstencov� okol�  bodu $\infty$ 
o polom�ru $\epsilon$ (prav� okol� nedefinujeme).
\endroster
\medskip
{\bf 4.2. Definice limity a spojitosti, z�kladn� vlastnosti}
\medskip
{\bf Definice 4.4:} (Limita funkce)

Bu�te $a,L \in R^*$.�ekneme, �e funkce  $f$ m� v bod� $a$ limitu $L$ 

(zna��me 
$\lim\limits_{x\to 
a} f(x) = L$), jestli�e

$$ \forall \epsilon >0,\  \exists \delta >0,\  
\forall x \in P(a,\delta): f(x) \in U(L,\epsilon).$$

{\bf Pozn�mka}

M�-li funkce $f$ v bod� $a$ limitu, pak existuje kladn� $\delta$ tak, �e 
defini�n� obor $D_f$ funkce $f$ obsahuje $P(a,\delta)$.

\eject
{\bf Definice 4.5:} (Spojitost funkce v bod�)

Bu� $a\in R$.�ekneme, �e funkce  $f$ je  spojit� v bod� $a$, jestli�e existuje limita 
$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$.

\medskip
{\bf Definice 4.6:} (Jednostrann� limity)

 Bu� $a\in \Bbb R^*$. �ekneme, �e $f$ m� v bod� $a$ limitu zprava (zleva) rovnou $L$, jestli�e plat�
 
 $\forall\ \epsilon >0\  \exists\ \delta >0\  \forall \ x \in P^+(a,\delta): f(x)\in U(L,\epsilon)$,
 
 ($\forall\ \epsilon >0\  \exists\ \delta >0 \ \forall \ x \in P^-(a,\delta): f(x)\in U(L,\epsilon)$).
 
 Zna��me $\lim_{x \to a +}= L(\lim_{x \to a +}= L)$.
 \medskip


{\bf V�ta 4.1:}(L)\ (Jednozna�nost limity)

Jestli�e $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$ a sou�asn� $\lim\limits_{x\to a} f(x) = K$, 
pak  $L = K$.


\medskip
{\bf V�ta 4.2:}(L)\ (Existence vlastn� limity a omezenost funkce)

Je-li $L \in R$ a $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$, pak existuje $\delta >0$ tak, 
�e $f$ je omezen� na $P(a, \delta)$.



\medskip
{\bf V�ta 4.3:}(T) (Heine)

Bu�te $a,L \in R^*$. P�edpokl�dejme, �e $P(a,\delta)\subset D_f $. Pak 
jsou ekvivalentn� tvrzen� (*),(**), kde

(*)  $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$

(**) pro ka�dou posloupnost $(x_n)\subset P(a,\delta)$, pro kterou $x_n \to a$, plat� 
$f(x_n) \to L$.

\medskip
{\bf V�ta 4.4:}(T)\ (Aritmetika limit)

Jestli�e $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L,\lim\limits_{x\to a} g(x) = K$, pak plat�

(i) $\lim\limits_{x\to a} (f(x)+ g(x)) = L + K $, je-li sou�et $L+K$ definov�n;

(ii) $\lim\limits_{x\to a} (f(x).g(x)) = L.K $, je-li sou�in $L.K$ definov�n;

(iii) $\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{K}$, je-li pod�l 
$\frac{L}{K}$ definov�n.

\medskip
{\bf Pozn�mky}

1. P�ipome�me, �e nen� definov�n sou�et typu $\infty - \infty$, sou�in 
typu $0.\infty$ a pod�l typu $\frac{L}{0}$
nebo $\frac{\infty}{\infty}$.

2.V�tu 4.4 je mo�n� v n�kolika sm�rech zobecnit. �asto budeme pou��vat tato 
tvrzen�:

1. Je-li $f$ omezen� zdola na $P(a,\delta)$, $\lim\limits_{x\to a} g(x) = \infty$, pak 
$\lim\limits_{x\to a} f(x)+ g(x) = \infty$.

2. Je-li $f$ omezen� na $P(a,\delta)$, $\lim\limits_{x\to a} g(x) = 0$, pak 
$\lim\limits_{x\to a} f(x).g(x) = 0$.

3. Je-li $f$ omezen� zdola na $P(a,\delta)$ kladnou konstantou $K$, $\lim\limits_{x\to a} g(x) = \infty$, pak 
$\lim\limits_{x\to a} f(x).g(x) = \infty$.

4. Je-li $f$ kladn� na $P(a,\delta)$, $\lim\limits_{x\to a} f(x) = 0$, pak 
$\lim\limits_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \infty$.



\medskip
{\bf D�sledek:}\ (Aritmetika spojit�ch funkc�)

Jsou-li funkce $f$ a $g$ spojit� v bod� $a$, pak jsou i $f + g, f.g$ spojit�
 v bod� $a$. Je-li nav�c $g(a)\neq 0$,  je i funkce $\frac{f}{g}$ spojit� v bod� $a$.


\medskip

{\bf V�ta 4.5:}(L)\ (Limita a nerovnosti) 

Nech� $K,L \in \Bbb R^*, \lim\limits_{x\to a} f(x) = L,\lim\limits_{x\to a} g(x) = K$. Pak plat�

\hskip 10 mm  1.  Jestli�e $\exists \delta >0 \forall x \in P(a,\delta) : f(x) 
        \leq g(x)$, pak $L 
        \leq K.$
        
\hskip 10 mm  2.  Jestli�e $L< K$, pak $\exists \delta >0\  \forall x \in P(a,\delta) : f(x) 
        < g(x)$.
        
\medskip

{\bf V�ta 4.6:}(L)\ (V�ta o dvou policajtech) 

Nech� $\exists \delta >0 \ 
\forall x \in P(a,\delta) :$ $ f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ a sou�asn�  

$\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$,$\lim\limits_{x\to a} g(x) = L$. 
        
        Pak existuje $\lim\limits_{x\to a} h(x) = L$.
        \medskip

{\bf Pozn�mka}\

Je-li $L$ nevlastn�, plat� obdobn� v�ta o "jednom" policajtovi: 
Nech� $\exists \delta >0 \ 
\forall x \in P(a,\delta) :$ $ f(x) \leq h(x) $ a sou�asn�  $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty.$
                Pak existuje $\lim\limits_{x\to a} h(x) = \infty$.
  

\medskip
{\bf V�ta 4.7:}(T)\ (Limita slo�en� funkce)

Nech� $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L,\lim\limits_{y\to L} g(y) = K$. Je-li nav�c spln�n 
jeden z p�edpoklad�

(P1) existuje $\delta >0$ tak, �e $\forall x \in P(a,\delta): f(x) \neq 
L$,

(P2) $g$ je spojit� v bod� $L$,


pak existuje $\lim\limits_{x\to a} g(f(x)) = K$.

\medskip
{\bf D�sledek:}

Je-li $f$ spojit� v bod� $a$ a $g$ spojit� v bod� $L$, je slo�en� funkce 
$g \bullet f$ spojit� v bod� $a$. 


\medskip
{\bf V�ta 4.8:}(BD)\ (Limita monotonn� funkce)

Bu� $f$ monotonn� na intervalu $(a,b)$. Pak existuj� $\lim\limits_{x\to a+} f(x)$ a $\lim\limits_{x\to b-} f(x)$. 


{\bf 4.3 Element�rn� funkce}



\medskip
{\bf V�ta 4.9:}(BD)\ (Zaveden� exponenci�ln� funkce)

Existuje jedin� funkce $\phi$ spl�uj�c� po�adavky

(i) $\phi$ je rostouc� na $R$,

(ii) $\forall x,y \in R : \phi(x+y)= \phi(x). \phi(y)$,

(iii) $\phi(0)= 1$,

(iv) $\lim_{x \to 0} \frac{\phi(x)-1}{x} = 1$.

Tuto funkci nazveme exponenci�ln� funkce (se z�kladem $e$) a budeme zna�it 
$\phi(x) = e^x$ resp. $\phi(x) = exp(x)$.

\medskip
{\bf V�ta 4.10:}(BD)\ (Zaveden� logaritmu)

Existuje jedin� funkce $\psi$ spl�uj�c� po�adavky

(i) $\psi$ je definov�na a  rostouc� na $(0, \infty)$,

(ii) $\forall x,y \in R : \psi(x.y)= \psi(x)+ \psi(y)$,

(iii) $\psi(1)= 0$,

(iv) $\lim_{x \to 1} \frac{\psi(x)}{x-1} = 1$.

Tuto funkci nazveme logaritmus (se z�kladem $e$) a budeme zna�it 
$\psi(x) = \ln x$ resp. $\psi(x) = \log x$.


\medskip
{\bf Definice 4.7:}\ (Definice obecn� mocniny)

Bu� $a \in (0,\infty), b \in R$. Pak definujeme mocninu $a^b = e^{b \ln a}$.

\medskip
{\bf V�ta 4.11:}\ (Zaveden� sinu a kosinu)

Existuj� jednozna�n� ur�en� funkce sinus a kosinus (budeme je zna�it $\sin, \cos$) definovan� na $\Bbb R$ a ��slo $\pi in (0,\infty)$, kter� spl�uj� po�adavky

(i) $\sin$ je rostouc� na $[0, \frac{\pi}{2}]$,

(ii) pro v�echna $x,y \in R$ plat� 
$$
\sin(x+y)= \sin x \cos y + \cos x \sin y, \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
$$

(iii) $\sin 0= 0, \cos 0 = 1$,

(iv) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.



\medskip
{\bf D�sledek}

Funkce sinus je lich�, rostouc� na $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], 2\pi$-periodick�, $ \sin \frac{\pi}{2} = 1  , \sin (x + \pi) = - \sin x, \cos x = \sin (\frac{\pi}{2}- x) $.
\medskip
{\bf Definice 4.8:}\ (Definice dal��ch goniometrick�ch a cyklometrick�ch 
funkc�)

Funkce tangens: $\forall x \in R, x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2}, k \in Z : 
\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$,

funkce kotangens: $\forall x \in R, x \neq k\pi, k \in Z : 
\text{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$,

funkce arkussinus  (zna��me $\arcsin$) je inverzn� funkc� k funkci sinus$^*$,
kde $\sin^*x = \sin x, x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,

funkce arkuskosinus  (zna��me $\arccos$) je inverzn� funkc� k funkci 
ko\-si\-nus$^*$,
kde $\cos^*x = \cos x, x \in [0, \pi]$,

funkce arkustangens  (zna��me $\text{arctg}$) je inverzn� funkc� k funkci 
tan\-gens$^*$,kde $\tg^*x = \tg x, x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,  

funkce arkuskotangens  (zna��me $\text{arccotg}$) je inverzn� funkc� k funkci 
ko\-tan\-gens$^*$, kde $\cotg^*x = \cotg x, x \in [0, \pi]$. 

\medskip
{\bf V�ta 4.12:}(BD)\ (Spojitost element�rn�ch funkc�)

Exponenci�ln� funkce, logaritmus, sinus, kosinus, tangens, kotangens, arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens jsou spojit� na defini�n�ch oborech.


\bigskip
{\bf 4.4 Vlastnosti spojit�ch funkc� na intervalu}
\medskip
{\bf Definice 4.9:}\ (Spojitost na intervalu)

�ekneme, �e $f$ je spojit� na intervalu $I$, je-li spojit� v ka�d�m 
vnit�n�m bod� intervalu $I$,  spojit� zprava v lev�m krajn�m bod� $a$
intervalu $I$ (pokud $a \in I$) a spojit� zleva v prav�m krajn�m bod� 
$b$ 
intervalu $I$ (pokud $b \in I$).
\medskip
{\bf Pozn�mka}

Ekvivalentn� lze definici spojit� funkce na intervalu $I$ vyslovit takto:
Funkce $f$ je spojit� na $I$, je-li spojit� zprava v ka�d�m bod� intervalu $I$, kter� nen� jeho koncov�m bodem a je spojit� zleva v ka�d�m bod� intervalu $I$, kter� nen� jeho po��te�n�m bodem.

\medskip
{\bf  V�ta 4.13:}(T)\ (Darbouxova v�ta)

Bu� $f$ spojit� na $[a,b], f(a)< f(b)$. Pak pro ka�d� $d \in (f(a), f(b))$ existuje $c \in (a,b)$ tak, �e $f(c)= d$.

\medskip
{\bf V�ta 4.14:}(L)\ (Zobrazen� intervalu spojitou funkc�)

Bu� $f$ spojit� na intervalu $I$. Pak je $f(I)$  jednobodov� mno�ina nebo interval.

\medskip
{\bf Definice 4.10:} (Maximum a minimum funkce na mno�in�) 

�ekneme, �e funkce $f$ nab�v� na mno�in� $M$ maxima v bod� $a \in M$, jestli�e
$$
\forall x \in M : f(x) \leq f(a).
$$
�ekneme, �e funkce $f$ nab�v� na mno�in� $M$ ostr�ho maxima v bod� $a \in M$, jestli�e
$$
\forall x \in M, x\neq a : f(x) < f(a).
$$
�ekneme, �e funkce $f$ nab�v� na mno�in� $M$ minima v bod� $b \in M$, jestli�e
$$
\forall x \in M : f(x) \geq f(b).
$$
�ekneme, �e funkce $f$ nab�v� na mno�in� $M$ ostr�ho minima v bod� $b \in M$, jestli�e
$$
\forall x \in M, x \neq b : f(x) > f(b).
$$
Maxima a minima funkce $f$ nazveme extr�my funkce $f$ na mno�in� $M$.


�ekneme, �e funkce $f$ nab�v� na mno�in� $M$ lok�ln�ho  maxima v bod� $a \in M$ (ostr�ho lok�ln�ho maxima v bod� $a \in M$), jestli�e existuje okol� $U$ bodu $a$ tak, �e $f$ nab�v� maxima (ostr�ho maxima) na mno�in� $M\cap U$ v bod� $a$.

Obdobn� �ekneme, �e funkce $f$ nab�v� na mno�in� $M$ lok�ln�ho  minima v bod� $b \in M$ (ostr�ho lok�ln�ho minima v bod� $b \in M$), jestli�e existuje okol� $U$ bodu $b$ tak, �e $f$ nab�v� minima (ostr�ho minima) na mno�in� $M\cap U$ v bod� $b$.

\medskip
{\bf V�ta 4.15:}(T) (Spojitost a nab�v�n� extr�m�)

Bu� $f$  spojit� na uzav�en�m intervalu $I=[a,b]$ .  Pak $f$ nab�v� na $I$ maxima 
i minima.Pak $f$ je na $I$ 
omezen�.



\medskip
{\bf  V�ta 4.16:}(L) (Spojitost a omezenost funkce)

Bu� $f$  spojit� na uzav�en�m intervalu $I=[a,b]$ .Pak $f$ je na $I$ 
omezen�.

\medskip
{\bf  Lemma 4.3:}(BD)

Bu� $f$ spojit� a prost� na intervalu $I$. Pak je $f$ na $I$ ryze monotonn�. 

\medskip
{\bf  V�ta 4.17:}(BD) (Spojitost inverzn� funkce)

Bu� $f$ spojit� a prost� na intervalu $I$. Pak je $f_{-1}$ spojit� na 
intervalu $f(I)$. 






\bye
\enddocument


