Kapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí

4.1. Úvodní definice

Definice 4.1: Funkce f je shora omezená na množině M ⊂ R, jestliže platí,že ∃K ∈ R ∀x ∈ M : f(x) ≤ K (tj. je-li množina {f(x); x ∈ M} shora omezená). Funkce f je zdola omezená na množině M, jestliže platí,že ∃L ∈ R ∀x ∈ M : f(x) ≥ K (tj. je-li množina {f(x); x ∈ M} zdola omezená). Funkce f je omezená na množině M, je-li současně shora omezená a zdola omezená na M.

Definice 4.2: Funkce f je klesající na množině M ⊂ R, jestliže ∀x, y ∈ M, x < y : f(x) > f(y). Funkce f je rostoucí na množině M, jestliže ∀x, y ∈ M, x < y : f(x) < f(y). Funkce f je neklesající na množině M, jestliže ∀x, y ∈ M, x < y : f(x) ≤ f(y). Funkce f je nerostoucí na množině M, jestliže ∀x, y ∈ M, x < y : f(x) ≥ f(y). Funkce f je monotonní na M, jestliže je na M nerostoucí nebo neklesající. Funkce f je ryze monotonní na M, jestliže je na M rostoucí nebo klesající.

Definice 4.3:(Okolí bodu, jednostranná okolí) Buď a ∈ R, ϵ ∈ (0, ∞). Pak definujeme

(1) U(a, ϵ) = (a − ϵ, a + ϵ) = {x ∈ ℝ; |x − a| < ϵ} okolí bodu a o poloměru ϵ,

(2) P (a, ϵ) = (a − ϵ, a) ∪ (a, a + ϵ) prstencové okolí bodu a o poloměru ϵ,

(3) P^{+} (a, ϵ) = (a, a + ϵ) pravé prstencové okolí bodu a o poloměru ϵ,

(4) P^{−}(a, ϵ) = (a − ϵ, a) levé prstencové okolí bodu a o poloměru ϵ. Dále pro a = −∞, ϵ ∈ (0, ∞) definujeme

(5) U(−∞, ϵ) = P (−∞, ϵ) = P^{+} (−∞, ϵ) = (−∞, −\frac{1}{ϵ}) okolí bodu −∞ o poloměru ϵ, prstencové okolí a pravé prstencové okolí bodu −∞ o poloměru ϵ (levé okolí nedefinujeme).

a pro a = ∞, ϵ ∈ (0, ∞) definujeme

(6) U(∞, ϵ) = P (∞, ϵ) = P^{−}(∞, ϵ) = (\frac{1}{ϵ} , ∞) okolí bodu ∞ o poloměru ϵ, prstencové okolí a levé prstencové okolí bodu ∞ o poloměru ϵ (pravé okolí nedefinujeme).

4.2. Definice limity a spojitosti, základní vlastnosti

Definice 4.4: (Limita funkce) Buďte a, L ∈ R^{∗}.Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu L (značíme lim_{x→a} f(x) = L), jestliže

∀ϵ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ P (a, δ) : f(x) ∈ U(L, ϵ).

Poznámka Má-li funkce f v bodě a limitu, pak existuje kladné δ tak, že definiční obor D_{f} funkce f obsahuje P (a, δ).

Definice 4.5: (Spojitost funkce v bodě) Buď a ∈ R.Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže existuje limita

lim_{x→a} f(x) = f(a).

Definice 4.6: (Jednostranné limity) Buď a ∈ ℝ^{∗}. Řekneme, že f má v bodě a limitu zprava (zleva) rovnou L, jestliže platí ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ P^{+} (a, δ) : f(x) ∈ U(L, ϵ), (∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ P^{−}(a, δ) : f(x) ∈ U(L, ϵ)). Značíme lim_{x→a+} = L(lim_{x→a+} = L).

Věta 4.1:(L) (Jednoznačnost limity) Jestliže lim_{x→a} f(x) = L a současně lim_{x→a} f(x) = K, pak L = K.

Věta 4.2:(L) (Existence vlastní limity a omezenost funkce) Je-li L ∈ R a lim_{x→a} f(x) = L, pak existuje δ > 0 tak, že f je omezená na P (a, δ).

Věta 4.3:(T) (Heine) Buďte a, L ∈ R^{∗}. Předpokládejme, že P (a, δ) ⊂ D_{f}. Pak jsou ekvivalentní tvrzení (*),(**), kde

(*) lim_{x→a} f(x) = L

(**) pro každou posloupnost (x_{n}) ⊂ P (a, δ), pro kterou x_{n} → a, platí f(x_{n}) → L.

Věta 4.4:(T) (Aritmetika limit) Jestliže lim_{x→a} f(x) = L, lim_{x→a} g(x) = K, pak platí

(i) lim_{x→a}(f(x) + g(x)) = L + K, je-li součet L + K definován; (ii) lim_{x→a}(f(x).g(x)) = L.K, je-li součin L.K definován;

(iii) lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{K}, je-li podíl \frac{L}{K} definován.

Poznámky

1. Připomeňme, že není definován součet typu ∞ − ∞, součin typu 0.∞ a podíl typu \frac{L}{0} nebo \frac{∞}{∞}. 2.Větu 4.4 je možné v několika směrech zobecnit. Často budeme používat tato tvrzení:

1. Je-li f omezená zdola na P (a, δ), lim_{x→a} g(x) = ∞, pak lim_{x→a} f(x) + g(x) = ∞.

2. Je-li f omezená na P (a, δ), lim_{x→a} g(x) = 0, pak lim_{x→a} f(x).g(x) = 0.

3. Je-li f omezená zdola na P (a, δ) kladnou konstantou K, lim_{x→a} g(x) = ∞, pak

lim_{x→a} f(x).g(x) = ∞.

4. Je-li f kladná na P (a, δ), lim_{x→a} f(x) = 0, pak lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = ∞.

Důsledek: (Aritmetika spojitých funkcí) Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, pak jsou i f + g, f.g spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) ≠ 0, je i funkce \frac{f}{g} spojitá v bodě a.

Věta 4.5:(L) (Limita a nerovnosti) Nechť K, L ∈ ℝ^{∗}, lim_{x→a} f(x) = L, lim_{x→a} g(x) = K. Pak platí

1. Jestliže ∃δ > 0∀x ∈ P (a, δ) : f(x) ≤ g(x), pak L ≤ K.

2. Jestliže L < K, pak ∃δ > 0 ∀x ∈ P (a, δ) : f(x) < g(x).

Věta 4.6:(L) (Věta o dvou policajtech) Nechť ∃δ > 0 ∀x ∈ P (a, δ) : f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) a současně

lim_{x→a} f(x) = L, lim_{x→a} g(x) = L.

Pak existuje lim_{x→a} h(x) = L.

Poznámka Je-li L nevlastní, platí obdobně věta o ”jednom” policajtovi: Nechť ∃δ > 0 ∀x ∈ P (a, δ) : f(x) ≤ h(x) a současně lim_{x→a} f(x) = ∞. Pak existuje lim_{x→a} h(x) = ∞.

Věta 4.7:(T) (Limita složené funkce) Nechť lim_{x→a} f(x) = L, lim_{y→L} g(y) = K. Je-li navíc splněn jeden z předpokladů

(P1) existuje δ > 0 tak, že ∀x ∈ P (a, δ) : f(x) ≠ L, (P2) g je spojitá v bodě L, pak existuje lim_{x→a} g(f(x)) = K.

Důsledek: Je-li f spojitá v bodě a a g spojitá v bodě L, je složená funkce g • f spojitá v bodě a.

Věta 4.8:(BD) (Limita monotonní funkce) Buď f monotonní na intervalu (a, b). Pak existují lim_{x→a+} f(x) a lim_{x→b−} f(x).

4.3 Elementární funkce

Věta 4.9:(BD) (Zavedení exponenciální funkce) Existuje jediná funkce ϕ splňující požadavky

(i) ϕ je rostoucí na R, (ii) ∀x, y ∈ R : ϕ(x + y) = ϕ(x).ϕ(y), (iii) ϕ(0) = 1, (iv) lim_{x→0} \frac{ϕ(x)−1}{x} = 1. Tuto funkci nazveme exponenciální funkce (se základem e) a budeme značit ϕ(x) = e^{x} resp. ϕ(x) = exp(x).

Věta 4.10:(BD) (Zavedení logaritmu) Existuje jediná funkce ψ splňující požadavky

(i) ψ je definována a rostoucí na (0, ∞), (ii) ∀x, y ∈ R : ψ(x.y) = ψ(x) + ψ(y), (iii) ψ(1) = 0, (iv) lim_{x→1} \frac{ψ(x)}{x−1} = 1. Tuto funkci nazveme logaritmus (se základem e) a budeme značit ψ(x) = lnx resp. ψ(x) = logx.

Definice 4.7: (Definice obecné mocniny) Buď a ∈ (0, ∞), b ∈ R. Pak definujeme mocninu a^{b} = e^{b ln a}.

Věta 4.11: (Zavedení sinu a kosinu) Existují jednoznačně určené funkce sinus a kosinus (budeme je značit sin, cos) definované na ℝ a číslo πin(0, ∞), které splňují požadavky

(i) sin je rostoucí na [0, \frac{π}{2}], (ii) pro všechna x, y ∈ R platí

sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny, cos(x + y) = cosx cosy − sinx siny (iii) sin0 = 0, cos0 = 1, (iv) lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1.

Důsledek Funkce sinus je lichá, rostoucí na [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}], 2π-periodická, sin \frac{π}{2} = 1, sin(x + π) = − sinx, cosx = sin(\frac{π}{2} − x).

Definice 4.8: (Definice dalších goniometrických a cyklometrických funkcí) Funkce tangens: ∀x ∈ R, x ≠ (2k + 1)\frac{π}{2}, k ∈ Z : tgx = \frac{sin x}{cos x}, funkce kotangens: ∀x ∈ R, x ≠ kπ, k ∈ Z : cotgx = \frac{cos x}{sin x}, funkce arkussinus (značíme arcsin) je inverzní funkcí k funkci sinus^{∗}, kde sin^{∗} x = sinx, x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}], funkce arkuskosinus (značíme arccos) je inverzní funkcí k funkci kosinus^{∗}, kde cos^{∗} x = cosx, x ∈ [0, π], funkce arkustangens (značíme arctg) je inverzní funkcí k funkci tangens^{∗},kde tg^{∗} x = tgx, x ∈ (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}), funkce arkuskotangens (značíme arccotg) je inverzní funkcí k funkci kotangens^{∗}, kde cotg^{∗} x = cotgx, x ∈ [0, π].

Věta 4.12:(BD) (Spojitost elementárních funkcí) Exponenciální funkce, logaritmus, sinus, kosinus, tangens, kotangens, arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens jsou spojité na definičních oborech.

4.4 Vlastnosti spojitých funkcí na intervalu

Definice 4.9: (Spojitost na intervalu) Řekneme, že f je spojitá na intervalu I, je-li spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I, spojitá zprava v levém krajním bodě a intervalu I (pokud a ∈ I) a spojitá zleva v pravém krajním bodě b intervalu I (pokud b ∈ I).

Poznámka Ekvivalentně lze definici spojité funkce na intervalu I vyslovit takto: Funkce f je spojitá na I, je-li spojitá zprava v každém bodě intervalu I, který není jeho koncovým bodem a je spojitá zleva v každém bodě intervalu I, který není jeho počátečním bodem.

Věta 4.13:(T) (Darbouxova věta) Buď f spojitá na [a, b], f(a) < f(b). Pak pro každé d ∈ (f(a), f(b)) existuje c ∈ (a, b) tak, že f(c) = d.

Věta 4.14:(L) (Zobrazení intervalu spojitou funkcí) Buď f spojitá na intervalu I. Pak je f(I) jednobodová množina nebo interval.

Definice 4.10: (Maximum a minimum funkce na množině) Řekneme, že funkce f nabývá na množině M maxima v bodě a ∈ M, jestliže

∀x ∈ M : f(x) ≤ f(a).

Řekneme, že funkce f nabývá na množině M ostrého maxima v bodě a ∈ M, jestliže

∀x ∈ M, x ≠ a : f(x) < f(a).

Řekneme, že funkce f nabývá na množině M minima v bodě b ∈ M, jestliže

∀x ∈ M : f(x) ≥ f(b).

Řekneme, že funkce f nabývá na množině M ostrého minima v bodě b ∈ M, jestliže

∀x ∈ M, x ≠ b : f(x) > f(b).

Maxima a minima funkce f nazveme extrémy funkce f na množině M. Řekneme, že funkce f nabývá na množině M lokálního maxima v bodě a ∈ M (ostrého lokálního maxima v bodě a ∈ M), jestliže existuje okolí U bodu a tak, že f nabývá maxima (ostrého maxima) na množině M ∩ U v bodě a. Obdobně řekneme, že funkce f nabývá na množině M lokálního minima v bodě b ∈ M (ostrého lokálního minima v bodě b ∈ M), jestliže existuje okolí U bodu b tak, že f nabývá minima (ostrého minima) na množině M ∩ U v bodě b.

Věta 4.15:(T) (Spojitost a nabývání extrémů) Buď f spojitá na uzavřeném intervalu I = [a, b] . Pak f nabývá na I maxima i minima.Pak f je na I omezená.

Věta 4.16:(L) (Spojitost a omezenost funkce) Buď f spojitá na uzavřeném intervalu I = [a, b] .Pak f je na I omezená.

Lemma 4.3:(BD) Buď f spojitá a prostá na intervalu I. Pak je f na I ryze monotonní.

Věta 4.17:(BD) (Spojitost inverzní funkce) Buď f spojitá a prostá na intervalu I. Pak je f_{−1} spojitá na intervalu f(I).