\centerline{\bf Kapitola 5. Derivace  }
\vskip 1 cm
{\bf 5.1. �vodn� definice, aritmetika derivac�}


\medskip
{\bf Definice 5.1:}

Bu�te $a \in \Bbb R, c \in \Bbb R^*$. �ekneme, �e funkce $f$ m� v bod� $a$ derivaci $c$ 
(zna��me $f'(a)= c$), jestli�e 
existuje
$$
\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)- f(a)}{x - a} = c.
$$
Obdobn� �ekneme , �e funkce $f$ m� v bod� $a$ derivaci zprava $c$ 
(zna��me $f_+'(a)= c$), jestli�e 
existuje
$$
\lim\limits_{x \to a +}\frac{f(x)- f(a)}{x - a} = c
$$
a funkce $f$ m� v bod� $a$ derivaci zleva $c$ 
(zna��me $f_-'(a)= c$), jestli�e 
existuje
$$
\lim\limits_{x \to a -}\frac{f(x)- f(a)}{x - a} = c.
$$

\medskip
{\bf Pozn�mka:}

Je-li $c \in R$, mluv�me o vlastn� derivaci, je-li $c = \infty, c = 
-\infty$, mluv�me o nevlastn� derivaci.

\medskip
{\bf V�ta 5.1:}(L)\ (Spojitost a derivace)

M�-li $f$ v bod� $a$ vlastn� derivaci, je $f$ v bod� $a$ spojit�.

\medskip
{\bf V�ta 5.2:}(T)\ (Aritmetika derivac�)

Nech�  $f$ a $g$ maj� (vlastn� nebo nevlastn�) derivaci v bod� $a$. Pak plat�

(1) existuje $(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a) $, pokud je v�raz na prav� 
stran� definov�n,

(2) je-li  $g$ spojit� v bod� $a$, existuje $(f.g)'(a)= f'(a).g(a) 
+ f(a).g'(a)$,pokud je v�raz na prav� 
stran� definov�n,

(3) je-li  $g$ spojit� v bod� $a$ a $g(a) \neq 0$, existuje 
$(\frac{f}{g})'(a)=\frac{f'(a).g(a) - f(a).g'(a)}{g^2(a)}$, pokud je v�raz na prav� 
stran� definov�n.

\medskip
{\bf V�ta 5.3:}(T)\ (Derivace slo�en� funkce)

Nech� $f$ m� derivaci v bod� $a$ a $g$ m� derivaci v bod� $b = f(a)$ a 
$f$ je v  bod� $a$ spojit�. 
Pak existuje derivace slo�en� funkce $g\bullet f$ v bod�  $a$ a plat�
$$
(g\bullet f)'(a)= g'(f(a)). f'(a),
$$
pokud je v�raz na prav� 
stran� definov�n.

\medskip
{\bf V�ta 5.4:}(BD)\ (Derivace inverzn� funkce)

Bu� $f$ spojit� a prost� na intervalu $I= (a,b), x_0 \in I$ a p�edpokl�dejme, �e existuje 
vlastn� nenulov� $f'(x_0)$. Pak existuje derivace funkce $f^{-1}$ v bod�  
$y_0 = f(x_0)$ a plat�
$$
(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}= \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.
$$




{\bf Pozn�mka:}

Jestli�e ve v�t� 5.4 p�ipust�me, aby $f'(x_0)$ byla nevlastn� nebo nulov�, pak plat�

(1) je-li $f'(x_0) = \infty ( \text{nebo} f'(x_0) =- \infty)$, je 
$(f^{-1})'(y_0) = 0$,

(2) je-li $f'(x_0) = 0$ a $f$ je rostouc�, je 
$(f^{-1})'(y_0) = \infty$, je-li $f'(x_0) = 0$ a $f$ je klesaj�c�, je 
$(f^{-1})'(y_0) = -\infty$.

Rozmyslete si obdobn� tvrzen� pro jednostrann� derivace.
\medskip

\medskip
{\bf V�ta 5.5}(L)\ (Fermatova, nutn� podm�nka pro lok�ln� extr�m)

Nech� $f$ m� v bod� $c$ lok�ln� extr�m a existuje (vlastn� nebo 
nevlastn�) $f'(c)$. Pak je $f'(c) = 0$.


\medskip
{\bf V�ta 5.6}(T)\ (Rolleova)

Bu� $f$ spojit� na $[a,b], f(a)= f(b)= 0$  a existuje (vlastn� nebo 
nevlastn�) derivace $f'(x)$ v ka�d�m 
bod� $x \in (a,b)$. Pak existuje $c \in (a,b)$ tak, �e $f'(c)= 0.$

\medskip


{\bf V�ta 5.7}(L)\ (Lagrangeova)

Bu� $f$ spojit� na $[a,b]$  a existuje (vlastn� nebo 
nevlastn�) derivace $f'(x)$ v ka�d�m 
bod� $x \in (a,b)$. Pak existuje $c \in (a,b)$ tak, �e $f'(c)=  
\frac{f(b)- f(a)}{b - a}.$
\medskip


%{\bf V�ta 5.8}\ (Cauchyova)

%Bu�te $f, g$ spojit� na $[a,b]$  a existuje (vlastn� nebo 
%nevlastn�) derivace $f'(x)$ v ka�d�m 
%bod� $x \in (a,b)$ a vlastn� nenulov� derivace $g'(x)$ v ka�d�m 
%bod� $x \in (a,b)$. Pak existuje $c \in (a,b)$ tak, �e 
%$\frac{f'(c)}{g'(c)}=  
%\frac{f(b)- f(a)}{g(b) - g(a)}.$
\medskip
{\bf V�ta 5.8:}(BD) (L'Hospitalovo pravidlo)

{\bf Typ "$\frac00$"}

Bu�te $a, L \in R^*$. P�edpokl�dejme, �e 

$\lim\limits_{x \to a}f(x) = 
\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$

 a existuje $\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$. 

Pak existuje i $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L$. 

{\bf Typ "$\frac{\infty}{\infty}$"}

Bu�te $a, L \in R^*$.P�edpokl�dejme, �e 

$ \lim\limits_{x \to a} |g(x)| = \infty$

a existuje $\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$. 

Pak existuje i $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L$. 


\medskip
{\bf V�ta 5.9:}(L)\ (Derivace a limita derivac�)

Bu� $f$ spojit� zprava v bod� $a$. P�edpokl�dejme, �e existuje (vlastn� nebo 
nevlastn�) $\lim\limits_{x \to a+}f'(x) = L$. Pak existuje derivace 
$f_+'(a)$ a plat�
$f_+'(a)=L$.
\medskip
{\bf V�ta 5.10:}\ (Znam�nko derivace a monotonie)

Bu� $f$ spojit� na $[a,b]$ a v ka�d�m bod� $x \in (a,b)$  existuje 
(vlastn� nebo nevlastn�) 
derivace $f'(x)$. Pak plat�

(1) jestli�e $\forall x \in (a,b):\ \ f'(x) > 0 $, je f rostouc� na $[a,b]$,

(2) jestli�e $\forall x \in (a,b):\ \ f'(x) < 0 $, je f klesaj�c� na $[a,b]$,

(3) v�rok $(\forall x \in (a,b):\ \ f'(x) \geq 0) $ plat� pr�v� tehdy, je-li $f$ 
neklesaj�c� na $[a,b]$,

(4) v�rok $(\forall x \in (a,b):\ \ f'(x) \leq 0 )$ plat� pr�v� tehdy, je-li $f$ 
nerostouc� na $[a,b]$.

\medskip
{\bf Definice 5.2}(Derivace vy���ho ��du)

Bu� $n\in \Bbb N, a \in \Bbb R$  a $f$ m� vlastn� $n$-tou derivaci $f^{(n)}(x)$ na okol� bodu $a$. Pak $n+1$- n� derivac� funkce $f$ v bod� $a$ rozum�me
$$
f^{(n+1)}(a)= \lim\limits_{h \to 0} \frac{f^{(n)}(a+h)-f^{(n)}(a)}{h}.
$$



\bigskip
{\bf 5.2. Konvexn� a konk�vn� funkce}

\medskip
{\bf Definice 5.3:}

�ekneme, �e funkce $f$ je konvexn� na intervalu $I$, jestli�e 
$$
\forall x,y \in I\ \  \forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda x + (1 - 
\lambda) y)) \leq \lambda f(x) + (1 - 
\lambda) f(y).
$$
Obdobn� definujeme i dal�� pojmy:

funkce $f$ je konk�vn� na intervalu $I$, jestli�e 
$$
\forall x,y \in I\ \  \forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda x + (1 - 
\lambda) y) \geq \lambda f(x) + (1 - 
\lambda) f(y),
$$

funkce $f$ je ryze konvexn� na intervalu $I$, jestli�e 
$$
\forall x,y \in I, \ x\neq y \ \forall \lambda \in (0,1): f(\lambda x + (1 - 
\lambda) y) < \lambda f(x) + (1 - 
\lambda) f(y),
$$

funkce $f$ je ryze konk�vn� na intervalu $I$, jestli�e 
$$
\forall x,y \in I,\  x\neq y \ \forall \lambda \in (0,1): f(\lambda x + (1 - 
\lambda) y) > \lambda f(x) + (1 - 
\lambda) f(y).
$$
\medskip
{\bf Pozn�mka}

Dal�� v�ty budeme formulovat pouze pro konvexn� funkce. Analogick� tvrzen� 
plat� pro funkce konk�vn�.
\medskip
{\bf Lemma 5.2:}(BD) 

Funkce $f$ je konvexn� na intervalu $I$ pr�v� tehdy, kdy�
$$ \align \split
\forall x_1, x_2, x_3 \in &I: x_1 < x_2 < x_3 \Rightarrow \\ \frac{f(x_2) - 
f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq &\frac{f(x_3) - 
f(x_1)}{x_3 - x_1} \leq     \frac{f(x_3) - 
f(x_2)}{x_3 - x_2}.
\endsplit
\endalign
$$

\medskip 
{\bf V�ta 5.11:}(T) (Konvexita a jednostrann� derivace) 

Bu� $f$ konvexn� na intervalu $(a,b)$ . Pak 

1. $\forall x \in (a,b)$ existuj� vlastn� derivace $f_+'(x), f_-'(x)$,

2. $f_+'(x) \geq f_-'(x)$,

3. $f_+', f_-'$jsou neklesaj�c� na $(a,b)$


\medskip
{\bf V�ta 5.12:}(T) (Konvexita a spojitost) 

1. Je-li $f$ konvexn� na $(a,b)$, je na tomto intervalu spojit�.

2. Je-li $f$ konvexn� na $[a,b]$, nemus� b�t spojit� zprava v bod� $a$ resp zleva v 
bod� $b$.

3. Mno�ina t�ch bod� $x$ z intervalu $[a,b]$, v nich� neexistuje 
(oboustrann� )
derivace $f'(x)$, je nejv��e spo�etn�.
\medskip
{\bf V�ta 5.13:}(T)

Bu� $f$ spojit� na $[a,b]$, nech� existuje $f'$ na $(a,b)$. Pak $f$ je 
konvexn� na $[a,b]$ pr�v� tehdy, 
kdy� je $f'$ neklesaj�c� na $(a,b)$. 
\medskip
{\bf Pozn�mka:}

Spojitost funkce $f$ v krajn�ch bodech intervalu $[a,b]$ je zapot�eb� ke konvexit� na $[a,b]$. Na otev�en�m intervalu $(a,b)$ lze v�tu zformulovat takto:

Nech� existuje $f'$ na $(a,b)$. Pak $f$ je 
konvexn� na $(a,b)$ pr�v� tehdy, 
kdy� je $f'$ neklesaj�c� na $(a,b)$. 
\medskip

{\bf V�ta 5.14:}(L)


Bu� $f$ spojit� na $[a,b]$, nech� existuje vlastn� $f''$ na $(a,b)$. Pak $f$ je 
konvexn� na $[a,b]$ pr�v� tehdy, 
kdy� je $f''$ nez�porn� na $(a,b)$. 
\medskip
{\bf Definice 5.4:}
Nech� existuje vlastn� derivace $f'(c)$. Te�nou $T_c$ ke grafu funkce $f$ v bod� $[c,f(c)]$ 
 nazveme 
p��mku
$$
T_c = \{[x,y]\in R_2; y = f(c) + f'(c)(x-c)\}.
$$

�ekneme, �e bod $[x,f(x)]$ le�� pod te�nou $T_c$, jestli�e $f(x) \leq f(c) + 
f'(c)(x-c)$, a $[x,f(x)]$ le�� nad te�nou $T_c$, jestli�e $f(x) \geq f(c) + 
f'(c)(x-c)$. 

%\medskip
%{\bf V�ta 5.13:}

%Nech� pro v�echna $x \in (a,b)$  existuje vlastn� $f'(x)$. Pak $f$ je 
%konvexn� na $(a,b)$ pr�v� tehdy, kdy� pro ka�d� $x \in (a,b)$ bod $ [x,f(x)]$ 
%le�� nad te�nou $T_c$ v ka�d�m bod� 
%$c \in (a,b)$.

\medskip
{\bf Definice 5.5:}

�ekneme, �e $c$ je inflexn�m bodem funkce $f$, jestli�e existuje 
$f'(c)\in R$ a kladn� $\delta$ tak, 
�e bu� pro v�echna $x \in P^-(c,\delta)$ le�� $[x,f(x)]$  nad te�nou 
$T_c$ a pro v�echna $x \in P^+(c,\delta)$  le�� $[x,f(x)]$ pod te�nou 
$T_c$ nebo
pro v�echna $x \in P^-(c,\delta)$ le�� $[x,f(x)]$  pod te�nou 
$T_c$ a pro v�echna $x \in P^+(c,\delta)$  le�� $[x,f(x)]$ nad te�nou 
$T_c$.

{\bf V�ta 5.15:}(T)(Nutn� podm�nka pro inflexn� bod)

 Jestli�e existuje 
$f'(c) \in R, f''(c)\in R^*$ a je-li $c$ inflexn�m bodem funkce $f$,
pak je $f''(c) = 0$.

{\bf V�ta 5.16:}(BD)(Posta�uj�c� podm�nka 1. pro inflexn� bod)

Jestli�e existuje 
$f'(c)\in R$ a kladn� $\delta$ tak, 
�e bu� je $f$ konvexn� na $P^-(c,\delta)$ a konk�vn� na $P^+(c,\delta)$  
nebo je $f$ konk�vn� na $P^-(c,\delta)$ a konvexn� na $P^+(c,\delta)$, pak bod $c$ je inflexn�m bodem funkce $f$.

(Posta�uj�c� podm�nka 2. pro inflexn� bod)

Jestli�e existuje 
$f'(c)\in R$ a kladn� $\delta$ tak, 
�e bu� je $f'' > 0$ na $P^-(c,\delta)$ a $f'' < 0$ na $P^+(c,\delta)$  
nebo je $f'' < 0$ na $P^-(c,\delta)$ a $f'' > 0$ na $P^+(c,\delta)$, pak bod $c$ je inflexn�m bodem funkce $f$.

\medskip
{\bf Definice 5.6:}\ (Asymptoty)

�ekneme, �e p��mka $p = \{[x,y] \in R_2; y = ax + b \}$  je asymptotou 
ke grafu funkce $f$ v bod� $\infty$ (resp. $-\infty$), jestli�e 
$\lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - (ax + b))= 0 $
(resp.$\lim\limits_{x \to -\infty} (f(x) - (ax + b))= 0 $).

\medskip
{\bf V�ta 5.17:} (Tvar asymptoty)

P��mka $p = \{[x,y] \in R^2; y = ax + b \}$ je asymptotou 
ke grafu funkce $f$ v bod� $\infty$ pr�v� tehdy, kdy�
$$
a = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}, b = \lim\limits_{x \to 
\infty} (f(x) - ax).
$$
Obdobn� tvrzen� plat� pro asymptotu v $-\infty$.

\end
\bigskip
{\bf 5.4 Taylor�v polynom}
\medskip    

{\bf Ozna�en�:}

P�edpokl�dejme, �e funkce $f$ m� vlastn� derivaci $g = f'$ na okol� bodu $c$. Jestli�e existuje derivace
$g'(c)$, �ekneme, �e existuje druh� derivace $f''(c)= g'(c)$ funkce $f$ v bod� $c$. Obdobn� lze definovat $k$-tou derivaci funkce $f$ pro libovoln� p�irozen� $k$.Tuto derivaci budeme tak� zna�it
$$
f^{(k)}(c)= \frac{d^k f}{dx^k}(c).
$$

\medskip    

{\bf Pozorov�n�:}

Bu� $c \in R$. Definujme $p_k(x) = \frac{(x-c)^k}{k!}$. Pak $p_k$ je 
polynom stupn� $k$ a plat�
$$
 p_k^{(k)}(c) = 1 \ \text{a}\ \forall j \in N_0, j\neq k : p_k^{(j)}(c) = 0. 
$$
\medskip
{\bf Definice 5.7:} 

Bu� $f : R \to R, c \in D_f, n \in N_0$. P�edpokl�dejme, �e 
existuje $f^{(n)}(c) \in R$. Definujeme Taylor�v polynom ��du $n$ funkce 
$f$ v bod� $c$ takto
$$
T_{n,f,c}(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k = \sum_{k=0}^n 
f^{(k)}(c)p_{k}(x);\  x \in R.
$$
Nebude-li hrozit nedorozum�n�, budeme zna�it $T_{n,f,c}(x) = T_{n}(x)$.
Ozna�me d�le $R_n(x) = f(x) - T_{n}(x)$.
\medskip
{\bf Pozn�mka} 

Z�ejm� je $\forall j = 0,...,n : f^{(j)}(c) = T_{n,f,c}^{(j)}(c).$

\medskip
{\bf V�ta 5.14:}\ (Aproximace Taylorov�m polynomem) 

Bu� $c \in R, n \in N_0$. Pro $n=0$ p�edpokl�dejme, �e  $f$ je spojit� v 
bod� $c$; pro $n \in N $ p�edpokl�dejme, �e existuje $f^{(n)}(c) \in R$. Pak je
$$
\lim\limits_{x \to c}\frac{R_n(x)}{(x-c)^n} = 0.
$$
Je-li (za stejn�ch p�edpoklad� na funkci $f$) pro polynom $P_n$ stupn� 
nejv��e $n$ 
$$
\lim\limits_{x \to c}\frac{f(x) - P_n(x)}{(x-c)^n} = 0,
$$
je $P_n = T_{n,f,c}$ na $R$.
\medskip
{\bf Definice 5.8:}\ (Symbol o)

�ekneme, �e $f(x)= o(g(x)), x \to c$, jestli�e $g(x)\neq 0$ na $P(c)$ a $$
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = 0.
$$ 
\medskip
{\bf Pozn�mka:}

V�tu 5.14 tedy lze vyslovit tak, �e za uveden�ch p�edpoklad� na $f$ je $R_n(x)= o((x-c)^n), x \to c$.
\medskip
{\bf V�ta 5.15:}\ (Taylorova �ada )

Nech� $f$ m� v bod� $c$ derivace v�ech ��d�. Pak $f(x) =  
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k$ pr�v� tehdy, kdy�
$$
\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0.
$$

\newpage
{\bf V�ta 5.16}\ (O tvaru zbytku)

P�epokl�dejme, �e $f$ m� vlastn� $(n+1)$ derivaci na intervalu $[c,x]$ (v krajn�ch bodech 
jednostrannou), bu� $\phi$ spojit� na $[c,x]$ s vlastn� a nenulovou 
derivac� na $(c,x)$. Pak 
existuje $\xi \in (c,x)$ tak, �e
$$
f(x) - T_n(x) = R_n(x) = \frac{(x-\xi)^nf^{n+1}(\xi) (\phi(x)- 
\phi(c))}{n! \phi'(\xi)}.
$$

{\bf Lagrange�v tvar zbytku:} Vol�me-li $\phi(t) = (x-t)^{n+1}$, dost�v�me  
$$
R_n(x)= \frac{(x-c)^{n+1} f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}.
$$

{\bf Cauchy�v tvar zbytku:} Vol�me-li $\phi(t)= t$, dost�v�me 
$$
R_n(x) = 
\frac{f^{n+1}(\xi)(x-c)(x-\xi)^n}{n!}.
$$
\medskip
{\bf P��klady} 

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}, x \in R$,

$\ln (1+x) = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}, x \in (-1,1)$,

$\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, x \in R$,

$\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}, x \in R$.
\end
                                                                                                                                                            
