Kapitola 5. Derivace

5.1. Úvodní definice, aritmetika derivací

Definice 5.1: Buďte a ∈ ℝ, c ∈ ℝ^{∗}. Řekneme, že funkce f má v bodě a derivaci c (značíme

f′(a) = c), jestliže existuje

lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = c.

Obdobně řekneme , že funkce f má v bodě a derivaci zprava c (značíme f′_{+} (a) = c), jestliže existuje

lim_{x→a+} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = c

a funkce f má v bodě a derivaci zleva c (značíme f′_{−}(a) = c), jestliže existuje

lim_{x→a−} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = c.

Poznámka: Je-li c ∈ R, mluvíme o vlastní derivaci, je-li c = ∞, c = −∞, mluvíme o nevlastní

derivaci.

Věta 5.1:(L) (Spojitost a derivace) Má-li f v bodě a vlastní derivaci, je f v bodě a spojitá.

Věta 5.2:(T) (Aritmetika derivací) Nechť f a g mají (vlastní nebo nevlastní) derivaci v bodě a. Pak platí

(1) existuje (f +g)′(a) = f′(a)+g′(a), pokud je výraz na pravé straně definován,

(2) je-li g spojitá v bodě a, existuje (f.g)′(a) = f′(a).g(a) + f(a).g′(a),pokud je výraz na pravé straně definován,

(3) je-li g spojitá v bodě a a g(a) ≠ 0, existuje (\frac{f}{g})′(a) = \frac{f′(a).g(a)−f(a).g′(a)}{g^{2} (a)} , pokud je výraz na pravé straně definován.

Věta 5.3:(T) (Derivace složené funkce) Nechť f má derivaci v bodě a a g má derivaci v bodě b = f(a) a f je v bodě a

spojitá. Pak existuje derivace složené funkce g • f v bodě a a platí

(g • f)′(a) = g′(f(a)).f′(a),

pokud je výraz na pravé straně definován.

Věta 5.4:(BD) (Derivace inverzní funkce) Buď f spojitá a prostá na intervalu I = (a, b), x_{0} ∈ I a předpokládejme, že

existuje vlastní nenulová f′(x_{0}). Pak existuje derivace funkce f^{−1} v bodě y_{0} = f(x_{0}) a platí

(f^{−1})′(y_{0}) = \frac{1}{f′(x_{0})} = \frac{1}{f′(f^{−1}(y_{0}))}.

Poznámka:

Jestliže ve větě 5.4 připustíme, aby f′(x_{0}) byla nevlastní nebo nulová, pak platí (1) je-li f′(x_{0}) = ∞(nebof′(x_{0}) = −∞), je (f^{−1})′(y_{0}) = 0,

(2) je-li f′(x_{0}) = 0 a f je rostoucí, je (f^{−1})′(y_{0}) = ∞, je-li f′(x_{0}) = 0 a f je klesající, je (f^{−1})′(y_{0}) = −∞.

Rozmyslete si obdobná tvrzení pro jednostranné derivace.

Věta 5.5(L) (Fermatova, nutná podmínka pro lokální extrém) Nechť f má v bodě c lokální extrém a existuje (vlastní nebo nevlastní) f′(c).

Pak je f′(c) = 0.

Věta 5.6(T) (Rolleova) Buď f spojitá na [a, b], f(a) = f(b) = 0 a existuje (vlastní nebo nevlastní)

derivace f′(x) v každém bodě x ∈ (a, b). Pak existuje c ∈ (a, b) tak, že f′(c) = 0.

Věta 5.7(L) (Lagrangeova) Buď f spojitá na [a, b] a existuje (vlastní nebo nevlastní) derivace f′(x) v každém

bodě x ∈ (a, b). Pak existuje c ∈ (a, b) tak, že f′(c) = \frac{f(b)−f(a)}{b−a} .

Věta 5.8:(BD) (L’Hospitalovo pravidlo) Typ ”\frac{0}{0}” Buďte a, L ∈ R^{∗}. Předpokládejme, že

lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) = 0

a existuje lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L.

Pak existuje i lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = L. Typ ”\frac{∞}{∞}” Buďte a, L ∈ R^{∗}.Předpokládejme, že

lim_{x→a} |g(x)| = ∞

a existuje lim_{x→a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = L.

Pak existuje i lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.

Věta 5.9:(L) (Derivace a limita derivací) Buď f spojitá zprava v bodě a. Předpokládejme, že existuje (vlastní nebo

nevlastní) lim_{x→a+} f′(x) = L. Pak existuje derivace f′_{+} (a) a platí f′_{+} (a) = L.

Věta 5.10: (Znaménko derivace a monotonie) Buď f spojitá na [a, b] a v každém bodě x ∈ (a, b) existuje (vlastní nebo nevlastní)

derivace f′(x). Pak platí (1) jestliže ∀x ∈ (a, b) : f′(x) > 0, je f rostoucí na [a, b],

(2) jestliže ∀x ∈ (a, b) : f′(x) < 0, je f klesající na [a, b],

(3) výrok (∀x ∈ (a, b) : f′(x) ≥ 0) platí právě tehdy, je-li f neklesající na [a, b],

(4) výrok (∀x ∈ (a, b) : f′(x) ≤ 0) platí právě tehdy, je-li f nerostoucí na [a, b].

Definice 5.2(Derivace vyššího řádu) Buď n ∈ ℕ, a ∈ ℝ a f má vlastní n-tou derivaci f^{(n)}(x) na okolí bodu a. Pak

n + 1- ní derivací funkce f v bodě a rozumíme

f^{(n+1)} (a) = lim_{h→0} \frac{f^{(n)}(a + h) − f^{(n)}(a)}{h} .

5.2. Konvexní a konkávní funkce

Definice 5.3: Řekneme, že funkce f je konvexní na intervalu I, jestliže

∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1] : f(λx + (1 − λ)y)) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).

Obdobně definujeme i další pojmy:

funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže

∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1] : f(λx + (1 − λ)y) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(y),

funkce f je ryze konvexní na intervalu I, jestliže

∀x, y ∈ I, x ≠ y ∀λ ∈ (0, 1) : f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y),

funkce f je ryze konkávní na intervalu I, jestliže

∀x, y ∈ I, x ≠ y ∀λ ∈ (0, 1) : f(λx + (1 − λ)y) > λf(x) + (1 − λ)f(y).

Poznámka Další věty budeme formulovat pouze pro konvexní funkce. Analogická tvrzení

platí pro funkce konkávní.

Lemma 5.2:(BD) Funkce f je konvexní na intervalu I právě tehdy, když

\begin{matrix}∀x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ & I : x_{1} < x_{2} < x_{3} ⇒ \\ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ & \frac{f(x_{3}) − f(x_{1})}{x_{3} − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{3}) − f(x_{2})}{x_{3} − x_{2}}. \end{matrix}

Věta 5.11:(T) (Konvexita a jednostranné derivace) Buď f konvexní na intervalu (a, b) . Pak

1. ∀x ∈ (a, b) existují vlastní derivace f′_{+} (x), f′_{−}(x),

2. f′_{+} (x) ≥ f′_{−}(x),

3. f′_{+} , f′_{−}jsou neklesající na (a, b)

Věta 5.12:(T) (Konvexita a spojitost)

1. Je-li f konvexní na (a, b), je na tomto intervalu spojitá.

2. Je-li f konvexní na [a, b], nemusí být spojitá zprava v bodě a resp zleva v bodě b.

3. Množina těch bodů x z intervalu [a, b], v nichž neexistuje (oboustranná ) derivace f′(x), je nejvýše spočetná.

Věta 5.13:(T) Buď f spojitá na [a, b], nechť existuje f′ na (a, b). Pak f je konvexní na [a, b]

právě tehdy, když je f′ neklesající na (a, b).

Poznámka: Spojitost funkce f v krajních bodech intervalu [a, b] je zapotřebí ke konvexitě na

[a, b]. Na otevřeném intervalu (a, b) lze větu zformulovat takto:

Nechť existuje f′ na (a, b). Pak f je konvexní na (a, b) právě tehdy, když je f′ neklesající na (a, b).

Věta 5.14:(L) Buď f spojitá na [a, b], nechť existuje vlastní f′′ na (a, b). Pak f je konvexní na

[a, b] právě tehdy, když je f′′ nezáporná na (a, b).

Definice 5.4: Nechť existuje vlastní derivace f′(c). Tečnou T_{c} ke grafu funkce f v bodě [c, f(c)] nazveme přímku

T_{c} = {[x, y] ∈ R_{2}; y = f(c) + f′(c)(x − c)}.

Řekneme, že bod [x, f(x)] leží pod tečnou T_{c}, jestliže f(x) ≤ f(c) + f′(c)(x − c), a [x, f(x)] leží nad tečnou T_{c}, jestliže f(x) ≥ f(c) + f′(c)(x − c).

Definice 5.5: Řekneme, že c je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje f′(c) ∈ R a kladné

δ tak, že buď pro všechna x ∈ P^{−}(c, δ) leží [x, f(x)] nad tečnou T_{c} a pro všechna x ∈ P^{+} (c, δ) leží [x, f(x)] pod tečnou T_{c} nebo pro všechna x ∈ P^{−}(c, δ) leží [x, f(x)] pod tečnou T_{c} a pro všechna x ∈ P^{+} (c, δ) leží [x, f(x)] nad tečnou T_{c}.

Věta 5.15:(T)(Nutná podmínka pro inflexní bod) Jestliže existuje f′(c) ∈ R, f′′(c) ∈ R^{∗} a je-li c inflexním bodem funkce f, pak je

f′′(c) = 0.

Věta 5.16:(BD)(Postačující podmínka 1. pro inflexní bod) Jestliže existuje f′(c) ∈ R a kladné δ tak, že buď je f konvexní na P^{−}(c, δ) a

konkávní na P^{+} (c, δ) nebo je f konkávní na P^{−}(c, δ) a konvexní na P^{+} (c, δ), pak bod c je inflexním bodem funkce f.

(Postačující podmínka 2. pro inflexní bod) Jestliže existuje f′(c) ∈ R a kladné δ tak, že buď je f′′ > 0 na P^{−}(c, δ) a f′′ < 0

na P^{+} (c, δ) nebo je f′′ < 0 na P^{−}(c, δ) a f′′ > 0 na P^{+} (c, δ), pak bod c je inflexním bodem funkce f.

Definice 5.6: (Asymptoty) Řekneme, že přímka p = {[x, y] ∈ R_{2}; y = ax + b} je asymptotou ke grafu funkce

f v bodě ∞ (resp. −∞), jestliže lim_{x→∞}(f(x) − (ax + b)) = 0 (resp. lim_{x→−∞}(f(x) −

(ax + b)) = 0).

Věta 5.17: (Tvar asymptoty) Přímka p = {[x, y] ∈ R^{2}; y = ax + b} je asymptotou ke grafu funkce f v bodě ∞

právě tehdy, když

a = lim_{x→∞} \frac{f(x)}{x}, b = lim_{x→∞}(f(x) − ax).

Obdobné tvrzení platí pro asymptotu v −∞.