\magnification=1200
\NoBlackBoxes
\documentstyle{amsppt}
\document

\def\c#1{{\bf Cvi�en� #1:}}

{\bf Pr�b�h funkce}


\bigskip
P�i vy�et�ov�n� pr�b�hu fukce zjist�te postupn�:

1. defini�n�  obor;

2. spojitost v bodech defini�n�ho oboru;

3. limity v krajn�ch bodech defini�n�ho oboru a v bodech 
nespojitosti, pokud existuj�;

4. asymptoty v $+ \infty$ a v $- \infty$;

5. existenci a hodnotu oboustrann� derivace, resp. jednostrann�ch 
derivac�;

6. maxim�ln�  intervaly na nich� je funkce monotonn� ;

7. extr�my a lok�ln� extr�my, mno�inu hodnot;

8. maxim�ln� intervaly na nich� je funkce konk�vn�  resp. konvexn�, 
inflexn�  body;

9. nakreslete graf funkce.


Druhou derivaci nen� nutn� zji��ovat, jej� v�po�et v�ak bude �asto 
prost�edkem k vy�et�en� extr�m�, konvexity a inflexn�ch bod�.
\bigskip
P��klad 1:

Vy�et�ete pr�b�h polynom� :
$$f_1(x) = x^2 - x^4; f_2(x) = - x^3 - 2x^2 + x + 2.$$
\medskip
P��klad 2:
  
Vy�et�ete pr�b�h racion�ln�ch funkc�:  
$$ f_1(x) = \frac1{1-x^2}, f_2(x) = \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-2)}, 
f_3(x) = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}.$$
\medskip
P��klad 3:  

Vy�et�ete pr�b�h funkc�
$$f_1(x) = x + 2 + \frac{3}{\vert 1 + x \vert}, f_2(x) = \frac{\vert 1 + 
2x \vert}{\sqrt{ 1 -2x + x^2}} \quad \text{pro} \quad x\neq 1,\quad f_2(1) = 2.$$
\medskip
P��klad 4:  

Vy�et�ete pr�b�h funkc�
$$ f_1(x) = \sqrt{\frac{x^2}{(1 - x^2)^4}}, $$
$$f_2(x) = \root 3 \of{x^2 (x-6)}, $$
$$f_3(x) = \root 3 \of{x^2} - \root 3 \of{x^2-1}. $$ 
\medskip
P��klad 5:  

Vy�et�ete pr�b�h funkc�
$$ f_1(x) = \arctan (x^2), f_2(x) = \arcsin (\frac{1}{x}),$$
$$ f_3(x) = \text{arccotg} (\frac{1}{x^2}), f_4(x) = \arctan (\sqrt{\ln x}).$$
\medskip
P��klad 6:  

Vy�et�ete pr�b�h funkc�
$$ f_1(x) = x - 2\arctan x , f_2(x) = \vert x-2 \vert - 2\arctan x .$$
\medskip
P��klad 7:  

Vy�et�ete pr�b�h funkc�

$$ f_1(x) = (x+2) e^{\frac{1}{x}}, 
f_2(x) = (x-1) e^{- \vert x-1 \vert},$$
$$ f_3(x) = x^2 e^{- \vert x-1 \vert}, 
f_4(x) = (\vert 2x \vert)^{\vert 2x \vert }.$$
\medskip
P��klad 8:  

Vy�et�ete pr�b�h funkc�
$$ f_1(x) = \arccos( \frac{1 - x^2}{1 + x^2}),
   f_2(x) = \vert \arcsin( \frac{2x}{1 + x^2} ) \vert,$$
$$ f_3(x) = \arcsin( \frac{2x}{1 + x^2} ) + \vert x - 1 \vert,
   f_4(x) = \arcsin(\vert \frac{1 - x}{1 - 2x}\vert ).$$
\medskip
P��klad 9:  

Vy�et�ete pr�b�h funkce
$$ f(x) = \frac{\sin x}{ \sin (x+ \frac{\pi}{4})}.$$
\medskip
P��klad 10:  

Rozhodn�te pro kter� $k\in R$ plat� 
$$
e^x + x^2 -2kx \geq 0
$$
pro v�echna $x\in R$.
 
\medskip
P��klad 11:  

Rozhodn�te pro kter� $\alpha \in R$ je funkce $f$, definovan� na $R$ p�edpisem
$$
f(x)= e^x - \alpha x^3,
$$
konvexn� na $R$.



{ \bf N�kolik teoretick�ch �loh k pr�b�hu funkc�}
\bigskip
{\bf Probl�m  5.} Existuje funkce $f: \Bbb R \to \Bbb R$ takov�, , �e 
$f'(x)= \infty$ pro
$ x \in \Bbb R$?

{\bf Probl�m  6.} Je ka�d� funkce na $\Bbb R$, kter� je neklesaj�c� 
(rostouc�) v ka�d�m bod� $x \in \Bbb R$, neklesaj�c� (rostouc�)  na 
$\Bbb R$?

{\bf Probl�m  7.} Je funkce $f$ neklesaj�c�, jestli�e plat� :

a) pro ka�d� $x \in \Bbb R$ funkce $f$  nen� klesaj�c� v $x$?

b) $f$ je spojit� a pro ka�d� $x \in \Bbb R$ funkce $f$ nen� klesaj�c� v 
$x$ "zprava" (formulujte p�esn�)?
                       
                              
{\bf Probl�m  8.} Existuje funkce $f$ , kter� je prost�, $f'(a)$   
existuje, $f^{-1}$ je 
spojit� v  $f(a)$ a $f$ nen� ryze monotonn�?

{\bf Probl�m  9.} Doka�te, �e pokud je $g' (b) \in \Bbb R^* , f'(a)  \in 
\Bbb R^*$, kde $b = f(a)$, pak $(g o f)'(a) = g'(b) f'(a)$ , pokud m� prav� strana smysl.

N�vod: Pokud je $f'(a) = 0$ a $g'(b)\in \Bbb R$  , doka�te, �e existuje 
$K$ a okol� $U$ bodu $a$ 
tak, �e  $\vert g(y) - g(b)\vert \leq K \vert y - b \vert $      pro 
ka�d� $ y \in U$.


P��klad 10:

 Existuje funkce $f$ takov�, �e $f'(0) = 0$,   
 $f$ je rostouc� v $0$ a $f$ nem� v $0$  inflexn� bod?











\bigskip
\vfill\eject
\bye
