\magnification=1200
\NoBlackBoxes
\centerline{\bf Supremum a infimum, limity posloupnost�}
\medskip
P��klad 1:

Nalezn�te suprema a infima, resp. maxima a minima (pokud existuj�) 
n�sleduj�c�ch mno�in:

(i)$A = \{\frac{n-1}{n}; n \in N\}$,

(ii) $B = \{\frac{n}{n+m}; n,m \in N\}$,

(iii) $C = \{3^j, 5^{-k}; j,k \in N\}$.

\medskip
P��klad 2:

Rozhodn�te, pro kter� posloupnosti$( a_n)$ jsou pravdiv� n�sleduj�c� v�roky:

(i) $\exists a \in R \forall \epsilon >0 \exists n_0 \in N \forall n\geq n_0 (|a_n - a| 
< \epsilon$;

(ii) $\exists a \in R  \exists n_0 \in N \forall \epsilon >0 \forall n\geq n_0 (|a_n - a| 
< \epsilon$;
 

$\exists a \in R \exists \epsilon >0 \forall n_0 \in N \forall n\geq n_0 (|a_n - a| 
< \epsilon$;
\medskip
P��klad 3:

Zjist�te, zda existuje ( a �emu je rovna) limita posloupnost�

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}, \ 
\lim_{n\to\infty}(\frac{\sum_{k=1}^{n}k}{n+2} - \frac{n}{2}),\ \ 
\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k^2}{n^3},\ \  \lim_{n\to\infty} 
\frac{\sum_{k=1}^{n}k^3}{n^4},\ \ 
\lim_{n\to\infty}\frac{10 000 n}{1 + n^2}\ \
\lim_{n\to\infty}\frac{1 = a + a^2 +...+ a^n}{1 + b +...+ b^n}, a,b \in R, \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n)},\ \ \lim_{n\to\infty}\sqrt{2}\root 4 \of{2}...\root 2^n \of{2} .$

\medskip
P��klad 4: (d�le�it�)

Zjist�te, zda existuje ( a �emu je rovna) limita posloupnost� ($a>1$)

$\lim_{n\to\infty}a^n, a \in R\ \  \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a^n}, a \in (0,\infty)\ \ 
\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n} (k \in N, a\in (0, \infty) ),\ \  
\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!},\ \ (a \in R)\ \  \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}.$


\medskip
P��klad 5:

Zjist�te, zda existuje ( a �emu je rovna) limita posloupnost� ($x \in 
(0,\infty)$)

$\lim_{n\to\infty}\root n \of{x},\ \ \lim_{n\to\infty}\root n \of{n},\ \ 
\lim_{n\to\infty}\root n \of{n!}. $


\medskip
P��klad 6:

Zjist�te, zda existuje ( a �emu je rovna) limita posloupnost�

$$
\align
\split
\lim_{n\to\infty}(-1)^n \frac{n^3\root n\of{n} }{n^3 +\root 4n\of{n}},\ \  \lim_{n\to\infty}\frac{3^n + n^5}{n^6 + n!}, \ \ 
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{3} - \sin n - \cos n)\frac{n^5}{\root n \of{2} - 
1 },\\
 \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2 + 4n + n\sin n}{n \cos 3n + (2n + \sin n)^2},
\lim_{n\to\infty} \frac{\root 3 \of{n^2}}{n + 1}, \lim_{n\to\infty} n (\sqrt{n^2 + n} - n),\\ \lim_{n\to\infty}\frac{\root 4 \of{n^5 + 2}-\root 3 \of{n^2 + 1} }{\root 5 \of{n^4 + 2} - \root 2 \of{n^3 + 1}}, \lim_{n\to\infty}\root n \of{a^n + b^n + c^n}, a,b,c >0.
\endsplit
\endalign
$$


\medskip
P��klad 7:

1. Doka�te, �e existuje limita posloupnosti $\lim_{n\to\infty}a_n$, kde $a_n = (1 + \frac{1}{n})^{n}$.

N�vod: Doka�te, �e  posloupnost  $\{a_n\}$ je  rostouc� a posloupnost $\{b_n\}$, kde $b_n = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ je klesaj�c�.

2. Zjist�te, zda existuje ( a �emu je rovna) limita posloupnost�

$\lim_{n\to\infty}(1 - \frac{1}{n})^{n},\ \ \lim_{n\to\infty}(1 + 
\frac{1}{n})^{n^2},\ \ \lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n^2})^n.$


\medskip                                                      
P��klad 8 (nerovnosti s logaritmy):

Doka�te, �e konverguje posloupnost
$$
a_n = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} - \ln n.
$$
\noindent
N�vod: 

Doka�te, �e posloupnost $\{a_n\}$ je monotonn� a omezen�. U�ijte nerovnosti
$$
\frac{1}{k+1} < \ln (1 + \frac{1}{k})< \frac{1}{k}.
$$
\medskip                                                      
P��klad 9 (nerovnosti s faktori�ly):

Doka�te nerovnosti
$$
n! < e(\frac{n}{2})^n; (\frac{n}{e})^n < n! < e^2 (\frac{n}{e})^{n +1}. 
$$

N�vod: Vyu�ijte definice ��sla $e$ a matematickou indukci. 

\medskip                                                      
P��klad 10:

Zjist�te, zda konverguj� rekurentn� zadan� posloupnosti  
$$ x_1 = \frac{a}{2}, x_{n+1} = {1\over 2} (a + x_n^2),\text{pro} \ \ n\geq 
1, 0 \leq a \leq 1,$$
$$ x_1 = 0, x_{n+1} = x_n + \frac{1}{3}(2 - x_n^2),$$
$$ x_1 >0, x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} \text{pro}\ \  n\geq 1,$$
$$ x_1 >0, x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{1}{x_n}) \text{pro}\ \  
n\geq 1,$$\ \ 
$$ x_0 = 1, x_{n+1} = \frac{1}{1 + x_n} \text{pro}\ \  n\geq 0,$$\ \ 
$$ x_0 = a, x_1 = b, x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + x_{n-1}) \text{pro}\ \  
n\geq 1.$$


\medskip                                                      
P��klad 11:

Doka�te, �e je-li $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \in R $,  
pak je i $\lim_{n\to\infty} \root n \of{a_n} = q$. 
Odvo�te odsud, �e $\lim_{n\to\infty}\frac{\root n \of{n!}}{n}= 
\frac{1}{e}$.                                                   

\medskip                                                      
P��klad 12:         

Zjist�te defini�n� obor funkce
$\lim_{n\to\infty}{x^n\over 1+x^n}.$
\vfill\eject

\bye
