David Stanovský    //

ÚVOD DO TEORIE GRUP 2023/24

Jedná se o standardní kurz základů teorie grup, který vychází z klasické učebnice Josepha Rotmana An introduction to the theory of groups (Springer). Kurz pokryje většinu kapitol 1-5 a části kapitol 7, 10, 11, s mírnými změnami pořadí.
Úvodní část je opakováním a prohloubením znalostí ze základní kurzu algebry, doporučuji si znovu projít skripta.

Sylabus:

1. Základní strukturní pojmy (Rotman, kap. 1, 2 a začátek 7)
   • příklady grup, izomorfismus, Cayleyova a maticová reprezentace
   • podgrupy, cyklické grupy, řád, Lagrangeova věta
   • homomorfismy, faktorgrupy, věty o izomorfismu
   • direktní a semidirektní součiny
2. Grupy symetrií (Rotman, kap. 3)
   • grupy automorfismů grup, automorfismy S_n, jednoduchost A_n
   • působení na množině, Burnsideova věta
3. Struktura konečných grup (Rotman, kap. 4)
   • působení grupy na sebe sama, třídová rovnice
   • p-grupy, Sylowovy věty
4. Řady normáních podgrup (Rotman, kap. 5)
   • subnormální a kompoziční řady, Jordan-Hölderova věta
   • řešitelné a nilpotentní grupy
5. Abelovské grupy (Rotman, výběr z kap. 6, 10)
   • konečně generované abelovské grupy
   • [divizibilní grupy - nestíhá se]
6. Volné grupy a prezentace (Rotman, výběr z kap. 11)
   • volné grupy a konečně prezentované grupy
   • [Nielsen-Schreierova věta - nestíhá se]

Program: (odučený materiál + předběžný plán)

	téma	doporučené čtení	domácí cvičení
2.10.	Příklady grup: základní rodiny grup, izomorfismus, malé grupy.	Rotman kap. 1
9.10.	Příklady grup: Cayleyova a maticová reprezentace. Podgrupy: generátory, struktura cyklických grup.	Rotman kap. 2	DCV do 23.10.
16.10.	Podgrupy: rozklady podle podgrupy, Lagrangeova věta, normální podgrupy. Faktorgrupy, věty o izomorfismu.	Rotman kap. 2
23.10.	Automorfismy: konjugace, vnitřní automorfismy, centrum, grupy automorfismů grup. Automorfismy S_n.	Rotman kap. 3 a 7 (str. 156-161)	DCV do 6.11. 10:40
30.10.	Součiny: direktní a semidirektní součin (vnitřní a vnější), příklad: malé grupy, grupy afinních zobrazení a izometrií.	Rotman kap. 2 (40-41) a 7 (167-171)	DCV do 13.11. 10:40
6.11.	Působení grupy na množině: základní pojmy, velikost orbity = index stabilizátoru, důsledky (Burnsideova a Cauchyova věta). Působení grupy na sebe sama: centralizátor, class equation.	Rotman kap. 3, 4	doplňující cvičení
13.11.	Působení na sebe sama: důsledky class equation; normalizátor. Struktura p-grup.	Rotman kap. 4
20.11.	Sylowovy věty: důkaz, příklady a aplikace, malé grupy.	Rotman kap. 4	DCV do 4.12. 15:40
27.11.	Subnormální řady: Jordan-Hölderova věta, Zassenhausovo lemma, modularita svazu normálních podgrup.	Rotman kap. 5
4.12.	Řešitelnost: komutátory, derivovaná řada, základní vlastnosti řešitelných grup, Hallovy podgrupy.	Rotman kap. 5
11.12.	Nilpotence: horní a dolní centrální řada, klasifikace konečných nilpotentních grup.	Rotman kap. 5 a 10	kvíz 1 - výsledky
18.12.	Nilpotence: dokončení kapitoly Abelovské grupy: konečné abelovské p-grupy, klasifikace konečných abelovských grup.	Rotman kap. 6, 10
8.1.	Abelovské grupy: volné abelovské grupy, rozklad na torzní a volnou část, klasifikace konečně generovaných abelovských grup. Volné objekty, volné grupy, konečně prezentované grupy.	Rotman kap. 11	kvíz 2 - výsledky

Cvičení a přednáška nebudou oddělovány, cvičení budou rozložena mezi teorii podle potřeby.

Zápočet: Během semestru byly zadány 4 sady domácích cvičení po ~20 bodech a dva kvízy po 14 bodech, dohromady za 111 bodů. Na zápočet je potřeba aspoň 60% bodů, tedy 67. Za každých 10% navíc se počítá jeden bonusový bod ke zkoušce (tedy 0 za interval [60,70)%, 1 za interval [70,80)% atd.) Tabulka s body s domácích úloh.

Zkouška: Test bude mít dvě části:

1. kvíz (cca 50% bodů) sestávající ze znění definic, vět, jednoduchých příkladů a krátkých přímočarých důkazů - sbírá se po 75 minutách.
2. problémová část (cca 50% bodů): 1 komplikovanější důkaz, 2 problémy (typicky jeden početní, jeden teoretický) - sbírá se po 150 minutách, je možná diskuse nad důkazem

• (definice) Definujte kompoziční řadu.
• (věta) Formulujte větu, která říká něco v tom smyslu, že všechny kompoziční řady jsou "stejné", včetně definice toho, co znamená "stejné".
• (příklad) Napište nějakou kompoziční řadu grupy S4. Napište nějakou grupu bez kompoziční řady.
• (přímočarý důkaz) Dokažte, že každou subnormální řadu lze zjemnit do kompoziční.
• (těžší důkaz) Dokažte Jordan-Hölderovu větu. Zassenhausovo lemma můžete použít bez důkazu, ale vyznačte, kde jej v důkazu používáte. Dále vyznačte všechna místa, kde se použije nějaká věta o izomorfismu.
• (početní úloha) Spočtěte dolní centrální řadu grupy D8 x Z3.

Zkouší se právě ta látka, kterou jsme probrali na přednášce. Ta by měla být z naprosté většiny pokryta Rotmanovou učebnicí. Učebnice obsahuje spoustu materiálu navíc, na ten se ptát nebudu. Pokud jsme na přednášce zmiňovali větu bez důkazu, tak byste tuto větu měli znát (například se mohu zeptat na znění Feit-Thompsonovy věty, anebo mohu zadat úlohu, kde se dá tato věta použít), samozřejmě bez důkazu. Součástí testu mohou být i důkazy tvrzení, která jsme explicitně nedělali; v takovém případě bude typicky důkaz myšlenkově podobný něčemu, co jsme dělali.

Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat.