David Stanovský    //

ALGEBRA pro obecnou matematiku 2012/13

AKTUALITY

Oznámení:

• Nový text o Galoisově teorii je kompletní. Četl jsem to po sobě jenom jednou, takže text určitě obsahuje chyby a nejasná místa. Budu vděčný, když mě na ně upozorníte.
• Nový text o Galoisově teorii, včetně aktualizace kapitoly o kořenových rozšířeních. V kapitole o Galoisově teorii zatím chybí důkazy, viz přednáška nebo Bashirovy skripta. Budu na tom pracovat.
• Anketa: Zajímá mě, co si o přednášce myslíte a zejména prosím o jakékoliv připomínky, které by pomohly přednášku v budoucnu vylepšit. Můžete se vyjádřit na fóru ve speciálně k tomu zřízené sekci.
• Specifikovány požadavky ke zkoušce. Hlavní změny: výsledkem testu bude známka (nikoliv pouze ano/ne), časový limit o 15 minut delší. Test bude podobný, otázek typu "1. část" bude méně, naopak více bude jednoduchých typových úloh.
• Ve sbírce přibyla sekce o Galoisových grupách. Plánuju vytvořit učební text, ale nemůžu slíbit, že to zvládnu do konce semestru.
• Vítejte. Přečtěte si pečlivě tuto stránku a sledujte oznámení.

Výsledky testů a domácích cvičení: Algebra I, Algebra II, proseminář

Algebra II:

18.2.	Algebry, podalgebry, generátory, direktní součiny	sekce 12.1-12.3	cvičení, domácí úlohy
25.2.	Homomorfismy, izomorfní algebry	sekce 12.4-12.5	cvičení, domácí úlohy
4.3.	Homo- a izomorfismy grup, klasifikace cyklických grup	sekce 14.3, 15.2	cvičení, domácí úlohy
11.3.	Cayleyova a maticová reprezentace. Normální podgrupy a faktorgupy	sekce 14.4; 18.2, 22	cvičení, domácí úlohy
18.3.	Faktorgrupy a faktorokruhy	sekce 22, 23.1	cvičení, domácí úlohy
25.3.	Obory hlavních ideálů, konstrukce těles	sekce 7.2, 20.3, 23.2	cvičení 1, cvičení 2, domácí úlohy
8.4.	Charakteristika a rozšíření okruhů, stupeň rozšíření nad tělesem	sekce 20.2, 20.5, 25	cvičení, domácí úlohy
15.4.	Algebraická rozšíření a rozšíření konečného stupně	sekce 25	cvičení, domácí úlohy
22.4.	Konstrukce pravítkem a kružítkem	sekce 26	cvičení, domácí úlohy
29.4.	Kořenová a rozkladová nadtělesa, charakterizace konečných těles	nový text nebo sekce 27.1, 28	cvičení, domácí úlohy
6.5.	Algebraický uzávěr. Galoisova grupa	nový text nebo sekce 27.2	cvičení, domácí úlohy
13.5.	Galoisova grupa polynomu	nový text, Bashir 4.C	domácí úlohy
20.5.	Abel-Ruffiniho věta: neřešitelnost polynomů stupně 5	nový text, Bashir 4.C

Proseminář z algebry:

22.2.	Svazy jako algebry, modularita, distributivita	Žemlička sekce 4 + Burris I.3	domácí úlohy
29.2.	Úplné svazy, Booleovy algebry	Žemlička sekce 4 + Burris I.4	domácí úlohy
8.3.	Grupy a kryptografie	skripta sekce 15.5 a wikipedie	domácí úlohy
15.3.	Klasifikace konečných abelovských grup	skripta sekce 16	domácí úlohy
22.3.	Dokončení klasifikace, automorfismy grup, grupy řádu p^2 jsou abelovské	skripta sekce 16, 17.3, nějaká učebnice teorie grup	domácí úlohy
29.3.	Grupy a hlavolamy		nebude
5.4.	Hilbertova věta o bázi, úvod ke Gröbnerovým bázím	skripta Počítačová algebra sekce 19	nebude
12.4.	Princip metody Gröbnerových bází	skripta Počítačová algebra sekce 20, 21	nebude
19.4.	Buchebregerův algoritmus, soustavy polynomiáních rovnic, barvení grafů	skripta Počítačová algebra sekce 21, 22	domácí úlohy
26.4.	Gröbnerovy báze a algebraická geometrie	skripta Počítačová algebra sekce 22	domácí úlohy
3.5.	Axiom výběru		domácí úlohy
10.5.	Zornovo lemma a algebraický uzávěr		domácí úlohy
17.5.	Konstrukce designů (ortogonální latinské čtverce, projektivní roviny apod.)	Rotman sekce 3.9	nebude
24.5.	Aplikace Galoisovy teorie	Rotman sekce 5.3	nebude

Algebra I:

5.10.	Historický úvod, řešení polynomiálních rovnic, algebraická a transcendentní čísla	sekce 1, 10.2, 10.3	cvičení, domácí úlohy, řešení
12.10.	Cantorova diagonální metoda, Základní věta aritmetiky, Eukleidův algoritmus	sekce 3	cvičení, domácí úlohy, řešení
19.10.	Základní věta aritmetiky (dokončení důkazu), kongruence, Eulerova věta	sekce 3	cvičení, domácí úlohy, řešení
22.10.	Čínská věta o zbytcích, vzorec na výpočet Eulerovy funkce	sekce 3	cvičení, domácí úlohy, řešení
26.10.	Obory integrity, podobory, polynomy	sekce 4	cvičení, domácí úlohy, řešení
9.11.	Invertibilní prvky, asociovanost, ireducibilní prvky, největší společný dělitel	sekce 5	cvičení, domácí úlohy, řešení
16.11.	Gaussovské obory - jednoznačné ireducibilní rozklady vs. existence NSD	sekce 6	cvičení, domácí úlohy, řešení
23.11.	Eukleidovské obory, kvadratická rozšíření celých čísel	sekce 7.1,8	cvičení, domácí úlohy, řešení
30.11.	Diofantické rovnice via Z[i]; podílové těleso, racionální kořeny	sekce 8.2, 4.3, 10.3	cvičení, domácí úlohy, řešení
7.12.	Gaussova věta, počet kořenů	sekce 9, 10.1 a hlavně nový text	cvičení, domácí úlohy, řešení
14.12.	Grupy - definice, příklady, podgrupy, řád prvku	sekce 14.1-14.3 (bez homomorfismů), 15.1 (viz errata)	cvičení, domácí úlohy, řešení
21.12.	Generátory grup a cyklické grupy - podgrupy, řády	části sekcí 14.3, 15.2 a hlavně nový text	cvičení, domácí úlohy, řešení
4.1.	Věta o primitivním prvku; působení grupy na množině a Burnsideova věta	sekce 15.3 (lepší důkaz zde), 19	cvičení, domácí úlohy
11.1.	Lagrangeova věta; diskrétní logaritmus a aplikace v kryptografii	sekce 18.1,15.4 a část 15.5 (po hod kostkou)	cvičení

INFORMACE O KURZU

Obsah přednášky Algebra I (NMAG201):
Předmětem kurzu je úvod do dvou klasických témat: komutativní algebry (teorie dělitelnosti s důrazem na číselné obory a obory polynomů) a teorie grup (s důrazem na permutační a číselné grupy).

• Úvod - motivace, kořeny polynomů, elementární teorie čísel [Skripta sekce 1, 10.2-10.3, 3]
• Dělitelnost v oborech integrity - gaussovské a eukleidovské obory, obory polynomů, číselné obory [Skripta sekce 4-10]
• Grupy - grupy permutací, cyklické grupy [Skripta části sekcí 14-15, 17-19]

• Základní algebraické konstrukce - podalgebry, direktní součiny, homomorfismy, faktoralgebry; reprezentace grup; další třídy algeber (okruhy, svazy) [Skripta sekce 12, 22, 14.4, 18.2, 20, 23]
• Tělesa - rozšíření konečného stupně, kořenová rozšíření [Skripta sekce 25, 26, 27]
• Úvod do Galoisovy teorie - (ne)řešitelnost polynomů v radikálech [Rotman sekce 5.2]

Základní literatura:

• skripta Základy algebry [errata], která vyšla v Matfyzpressu - zimní semestr bude založen na kapitolách I,III, letní na kapitolách II,V,VI
• Sbírka úloh (v dlouholeté přípravě)
• Nový text o Galoisově teorii, včetně aktualizace kapitoly o kořenových rozšířeních. Ve vývoji.

Další užitečné prameny:

• existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
  • J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
  • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
  • víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
• texty ostatních kolegů z katedry - Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička
• konzultovat lze též starší učebnice G. Birkhoff, S. Mac Lane, Prehľad modernej algebry, nebo Procházka a kol., Algebra
• pěkná učebnice zaměřená na výpočetní aspekty algebry a teorie čísel: V. Schoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (zdarma online)
• Logicomix (2ks v knihovně) - velmi čtivá motivace ke studiu moderní matematiky - především logiky, ale pro algebru se hodí také
• P. Pudlák: Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity (1ks v knihovně) - kniha s podobným cílem, ale seriózněji :-)
• historie algebry - pár odkazů, o algebře 16.-17. století, o lineární algebře
• podnětné články obsahuje wikipedia
• za pozornost stojí studentský projekt Algebra v obrázcích
• pokud se vám moje přednáška nezdá, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu

Konzultace:

• pondělí po přednášce, pátek po prosemináři, nebo kdykoliv jindy po ohlášení emailem
• diskusní fórum, aneb elektronické konzultace - ptejte se svého učitele, nebo sebe navzájem! (pokud se nechcete registrovat, použijte login nikdo, heslo nikdo)

STUDIJNÍ POVINNOSTI

Domácí úkoly budou zadávány centrálně každý týden na/po cvičení, body se počítají ke zkoušce a jsou potřeba i k zápočtu.

• zveřejnění: nejpozději v úterý odpoledne na webu zde
• termín odevzdání: do pondělka 9:00
• místo odevzdání: do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF (pouze s potvrzením o přijetí)
• úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina)
• celkem 12, počítá se 10 nejlepších
• žádné omluvy se nepřipouští (ani v případě nemoci) - proto se počítá jen 10 úkolů
• Je možné konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům. Opisování nebude tolerováno, opakovaný podvod bude předán k řešení disciplinární komisi.

Zápočet z Algebry II: 50% domácích úloh.

Zkouška z Algebry II:

Informace dám koncem semestru. Test bude podobný, ale o něco delší, s větším časovým limitem a bude navíc obsahovat jednoduché typové úlohy, podobné těm, které byly v zimním semestru u zápočtových písemek (které nebudou). Domácí úlohy budou opět tvořit 20% bodů z testu. Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří souhlasí s hodnocením z písemné části. U obou částí se budou zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumnění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Zápočet je nutnou podmínkou přihlášení ke zkoušce. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.

Naprostá většina látky byla pokryta přednáškou a cvičením. Doporučuji se učit ze zápisků z přednášky i ze skript, styl výkladu se může mírně lišit. Primárně se zkouší látka, která se probírala v letním semestru, nicméně pochopení látky zimního semestru je zcela zásadní k úspěšnému absolvování zkoušky. Podrobný rozpis obsahu přednášky je uveden výše. V zásadě jde o celá skripta s výjimkou sekcí 10.5-10.6, 11, 13, 16, 21, 23.3, 24, a k tomu Galoisova teorie, která byla zpracována volně podle kapitoly 4.C ve skriptech Roberta Bashira. Doporučuji propočítat reprezentativní část příkladů ze sbírky, zejména kapitoly III., IV.3,4, VI. Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat.
Písemná část:

• délka 150 minut
• celkový počet bodů je 100, max. 20 lze získat za domácí úkoly, max. 80 za písemný test
• k úspěšnému napsání testu je třeba aspoň 60 bodů (pevná hranice)
• výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně (mimo jiné v závislosti na obtížnosti testu), studenti, kteří nesouhlasí s tímto hodnocením, se mohou nechat ústně přezkoušet
• 1. část: krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů a jednoduché typové úlohy, odevzdává se po 60 minutách, 1 list, cca 30 bodů
• 2. část: delší úlohy, z toho alespoň jedna ověřující znalost teorie z přednášky, 2 listy (cca 5 úloh), cca 50 bodů
• vzorové úlohy viz cvičení, domácí úlohy a sbírka, seznam teoretických otázek si snadno domyslíte pohledem do skript
• vzorové krátké úlohy na vybraná témata: homomorfismy, izomorfismy, faktory, rozšíření těles (test bude pokrývat i jiná témata)
• vzorový test (= test z 27.5.)

Zkouška z Algebry I:

Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří napíší písemku a stačí jim trojka. U obou částí se budou zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumnění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Zápočet je nutnou podmínkou přihlášení ke zkoušce. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu. Zkoušená látka je určena následujícími částmi skript:

• Obory integrity: sekce 2-10 kromě částí 7.2 a 10.5-10.6
• Grupy: sekce 14.1-14.3 a 15 kromě homomorfismů, RSA a El Gamala, a 17-19 kromě částí 17.3 a 18.2. (Sekce 15 není ve skriptech napsaná moc dobře, viz materiály uvedené výše.)

• délka 135 minut (doufám, že se celá zkouška včetně ústní části odehraje v jednom dni)
• celkový počet bodů je 100, max. 20 lze získat za domácí úkoly, max. 80 za písemný test
• k úspěšnému napsání testu je třeba aspoň 60 bodů
• výherci si mohou zvolit buď zápis trojky, nebo ústní zkoušení, které může skončit jakýmkoliv výsledkem; počet bodů z testu hraje roli důležitou, ale ne absolutní
• 1. část: 12 krátkých úloh po 3 bodech (6x znění definic a vět, 6x otázky na znalost základních příkladů a aplikaci definic a vět), odevzdává se po 60 minutách
• 2. část: 4 delší úlohy, z toho alespoň jedna ověřující znalost teorie z přednášky
• seznam vzorových krátkých úloh - větší část úloh, ale ne všechny, budou do písemek vybírány z tohoto seznamu
• vzorové teoretické otázky - pokrývají víceméně všechny důkazy, které musíte umět, ale ptát se mohu i jinak a objeví se i drobné modifikace uvedených tvrzení
• vzorový test (= test z předtermínu)

Zápočet z prosemináře:

Aspoň 60% z proseminářových domácích úloh. Tyto budou zveřejněny zde na webu v pátek odpoledne, termín odevzdání následující pátek 9:00. Ostatní podmínky jsou analogické domácím úkolům k přednášce, počítá se nejlepších 8 z celkových 10 sad úloh.