Požadavky ke zkoušce z Algebry II, 2018/29
22.5.2019

GRUPY:

Teorie: 
Definice a příklady grup, mocniny a řád. Generátory podgrup. Lagrangeova věta. Grupové homomorfismy, izomorfismus a neizomorfismus. Struktura cyklických grup, cykličnost multiplikativních grup těles. Výpočetní aspekty a aplikace diskrétního logaritmu (Diffie-Hellmann, El Gamal). Působení grupy na množině a Burnsideova věta. Cauchyova věta. Normální podgrupy, faktorgrupy, řešitelné grupy.
(znát znění tvrzení o řešitelných grupách, důkaz se učit nemusíte)

Příklady/cvičení:
konjugace permutací, podgrupy, generátory, homomorfismy, izomorfismus, struktura grup Zn a Zn*, malé grupy, grupy symetrií kombinatorických a geometrických objektů, Burnsideova věta, faktorgrupy, řešitelnost

Materiály: 
* nový text o grupách - pokrývá téměř vše, téměř celý jsme ho probrali (ještě ho mírně aktualizuji, aby lépe odpovídal přednášce)
* případně stará skripta


TĚLESA:

Teorie: 
Okruhové homomorfismy a faktorokruhy. Tělesová rozšíření - algebraická čísla, stupeň, minimální polynom, stupeň vícenásobných rozšíření. Konstrukce pravítkem a kružítkem. Definice kořenových a rozkladových nadtěles, jejich existence, znění lemmat o rozšiřování homomorfismů (důkaz ne). Galoisova grupa rozšíření/polynomu a její výpočet. Řešitelnost polynomů v radikálech, formulace Galoisovy věty.
(znění definic a tvrzení se učte všechny, z Galoisovy teorie se není potřeba učit důkazy Lemmat 1.3, 1.4, 2.3, 2.4, Tvrzení 1.5, Věty 2.1)

Příklady/cvičení:
faktorokruhy, výpočet stupně rozšíření, minimální polynomy, výpočet Galoisovy grupy polynomu (včetně polynomů x^n-a), řešení kubických rovnic

Materiály: 
* nový text o stupni rozšíření (hotovo)
* text o Galoisově teorii (téměř hotov, bude mírně aktualizován)
* částečně pokrývají i stará skripta