Konečná tělesa

Přednáška:  Čtvrtek  9:00 - 10:40 K5

Abstrakt. Na přednášce proberem látku v rozsahu skript Libora Barta a Jiřího Tůmy. Nejprve probereme základní pojmy teorie těles včetně existence a jednoznačnosti kořenových a rozkladových nadtěles a jejich konstrukce. Ukážeme také, že pro každé prvočíslo p a každé přirozené číslo n exituje až na izomorfismus právě jedno těleso mohutnosti pⁿ, a že jiná konečná tělesa neexistují. Dále nahlédneme strukturu podtěles daného konečného tělesa F_q, a popíšeme jeho aditivní a multiplikativní grupu. Popíšeme strukturu odmocnin z jedné nad daným tělesem a budeme zkoumat cyklotomické polynomi, tj. polynomy tvaru xⁿ - 1. definujeme Möbiovu funkci a ukážeme Möbiovu inverzní formuli. Tu pak použijeme ke studiu cyklotomických polynomů. Dále se budeme zabývat faktorizací polynomů nad konečným tělesem. Popíšeme Berlekampův a Zassenhausův algoritmus. Nakonec ukážeme několik použití konečných těles, zejména v teorii lineárních cyklických kódů.

Průběh zkoušky Zkouška bude sestávat ze tří otázek; jedné obecné pokrývající větší téma, jedné konkrétní v rozsahu jedné věty a jejího detailního důkazu a jednoho příkladu nebo aplikace.

Průběh kurzu

1. 27. února 2019. Na první přednášce jsme definovali pojem tělesa, ukázili si několik příkladu a nahlédli některé základní vlastnosti těles. Definovali jsme charakteristiku tělesa, ukázali, že je buďto 0 nebo prvočíslo. V závislosti na charakteristice tělesa jsme popsali prvotěleso daného tělesa, tedy jeho nejmenší podtěleso. Nakonec jsme zopakovali pojmy homomorfismů a izomorfismů těles a okruhů.
2. 6. března 2019. Definovali jsme rozšíření těles a rozmysleli si, že na větší z těles lze nahlížet jako na vektorový prostor nad tím menším. Definovali jsme stupeň rozšíření jako dimenzi tohoto vektorového prostoru. Nahlédli jsme, že konečné těleso (nutně prvočíselné charakteristiky p) je vektorovým prostorem nad svým p-prvkovým prvotělesem. Odtud jsme odvodili, že má pⁿ prvků.
3. 19. března 2019. Popsali jsme konstrukci kořenových nadtěles nerozložitelných polynomů a ukázali, že tato nadtělesa jsou izomorfní. Definovali jsme rozkladová nadtělesa polynomů. Na příkladě jsme ukázali, že i pro nerozložitelné polynomy se rozkladová a kořenová nadtělesa mohou lišit.

Literatura

1. Lang, S., Algebra (rev. 3rd ed.), Springer-Verlag, 2002.
2. Lidl, R., Niederreiter, H., Introduction to Finite Fields and their Applications (rev. ed.), Cambridge University Press, 1994.
3. Mullen, G. L., Mummert, C., Finite Fields and Applications, AMS Students Mathematical Library vol. 41, AMS, 2007.