Kombinatorická teorie grup II

Přednáška: Úterý  9:00 - 10:40 K334-KA

Abstrakt. V první části přednášky budeme postupovat podle druhé kapitoly z Bogopolského knihy [1]. Definujeme Cayleho graf grupy. Dále budeme interpretovat grupy skrze akce do grup automorfismů stromů. Ukážeme, že Cayleho grafy volných grup jsou stromy, zmíníme geometrický význam Schreierových transversál a dokážeme Nielsenovu-Schreierovu větu, že podgrupa volné grupy je volná.

Ve druhé části přednášky budeme směřovat k Novikovovu-Booneovu příkladu konečně prezentované grupy s neřešitelnýcm problémem slov a k důkazu Higmanovy věty, že konečně generovaná grupa je rekurzivně prezentované právě když ji lze vnořit do konečně prezentované grupy. Budeme se držet 6. kapitoly knihy Lyndona a Schuppa [2].

Zápočet a zkouška. Zkouška bude v letním semestru. Bude sestávat ze tří otázek; jedné obecné pokrývající větší téma, jedné konkrétní v rozsahu jedné věty a jejího detailního důkazu a jednoho příkladu nebo aplikace.

Průběh kurzu

1. 26. února 2019. Na této přednášce jsme definovali (orientované a neorientované) grafy (s inverzemi hran a potencionálně více hranami mezi dvojicí vrcholů) a popsali akce grup na těchto grafech. Definovali jsme také faktorový graf podle grupy, je-li akce dané grupy na tomoto grafu bez inverzí hran.
2. 5. března 2019. Ukázali jsme, že každý podstrom T' grafu X / G lze zvednout na podstrom T grafu X tak, že restrikce p | T kanonické projekce je izomorfismus. Definovali jsme Cayleho graf grupy a sestrojili několik příkladů.
3. 12. března 2019. Bodovým grafem rozumějme dvojici (X,x) grafu a v něm zvoleného vrcholu. Bodovému grafu (X,x) jsme přiřadili fundamentální grupu π₁(X,x) redukovaných cest s počátkem a koncem v bodě x. Ukázali jsem, že je tato grupa volná a popsali její bázi.
4. 19. března 2019. Podgrupu H grupy G jsme reprezentovali jako fundamentální grupu π₁(Γ(G,S)/H,H). Ukázali, jsem tak, že jeli grupa G volná, je také její podgrupa H volná.
5. 26. března 2019. Definovali jsme Schreierovu transversálu a ukázali jsme, že Schreireovy transversály podle podgrupy H volné grupy F odpovídaji maximálním stromům v grafu Γ(G,S)/H. Nakonec jsme pomocí Schreierovy transverzály popsali bázi podgrupy H.

Literatura

1. Bogopolski, O., Introduction to Group Theory (EMS Textbooks in Mathematics, EMS Publ. House, Zurich, Switzerland, 2008.
2. Lyndon, R. C., and Schupp, P. E., Combinatorial Group Theory (Reprint of the 1977 ed.), Springer-Verlag, Berlin Heilderberg NY, 2001.
3. Magnus, W., Karrass, A., Solitar, D., Combinatorial Group Theory (Representation of Groups in Generators and Relations), Dower Publ. INC, Mineola NY, 2004.
4. Rotman, J. J., An Introduction to The Theory of Groups (2nd ed.), Springer-Verlag, 1999.