Vybrané kapitoly z nelineárních PDR
(výběrovka Málek-Nečas-Rokyta, DIR036)
Letní semestr 1999/2000
V tomto semestru přednáší zčásti M.Rokyta. Přednáška se koná v pondělí ve 12:20 v K8.
I. Metody slabé konvergence, Youngovy míry, hyperbolický zákon zachování
Rozvržení přednášky do dat je orientační, většinou dochází k drobným fluktuacím.
20.3.2000
- 1. Úvod a motivace poprvé: hyperbolické systémy 1. řádu (zákony zachovaní)
- Definice hyperbolického systému a nějaké dva jako příklad.
- 2. Úvod a motivace podruhé: metody slabé konvergence
- Motivace: limitní přechod od parabolické perturbace k hyperbolickému zákonu zachování, slabá-* konvergence a přechod v nelinearitě, poznámka o metodě kompaktnosti (klasické) a rafinovanějších metodách (kompenzace nedostatku kompaktnosti = kompenzovaná kompaktnost).
- 3. Slabá a silná konvergence v prostorech Lp
- Kompaktnost omezených množin v prostorech konečné dimenze (silná kompaktnost), reflexivních (slabá kompaktnost), duálech k separabilním Banachovým prostorům (slabá-* kompaktnost).
- Slabá kompaktnost v Lp, vnoření L1 do měr.
- Slabě konvergentní posloupnosti, které nekonvergují silně, konvergence lokálních průměrů, oscilace.
27.3.2000
- 4. Linf - Youngovy míry
- Omezené posloupnosti v Linf, věta o duálu k L1(Q,C0(R)), věta o existenci Youngových měr.
- Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr (ekvivalence s dirakovskostí Y.m.)
3.4.2000
- 5. Parabolická perturbace skalárního zákona zachování
- Slabá formulace nelineární a lineární Cauchyovy úlohy. Lineární věta (Lions-Magenes). Existenční věta pro lokálně Lipschitzovskou nelinearitu.
- Existenční věta pro globálně Lipschitzovskou nelinearitu, stejnoměrný odhad v normě Linf, poznámka o kolapsu gradientu v L2.
10.4.2000
- 6. Murat-Tartarova identita
- Schéma postupu pro nelineární hyperbolickou rovnici.
- Div-curl lemma, Muratovo lemma - bez důkazů, s ilustrací.
- Murat-Tartarova identita v jedné prostorové dimenzi.
17.4.2000
- 7. Skalární nelineární hyperbolická rovnice
- Co je to entropie to nikdo pořádně neví?>
- Tartarova věta o redukci nosiče míry a její Vecchiho důkaz.
- Existence entropického řešení pro "genuine nonlinear" f metodou kompenzované kompaktnosti.
- Přehled dosažených výsledků v hyperbolických systémech.
24.4.2000 - 8.5.2000: Přednáška není z důvodů státních volen.
II. Jedna trivialita pro osvěžení
15.5.2000
- 8. Řešení Laplaceovy rovnice v R2
- Dirichletova úloha pro horní polorovinu a její řešení pomocí Fourierovy transformace.
- Invariance Laplaceova operátoru vůči konformnímu zobrazení
- Řešení Dirichletovy úlohy pro jednoduše souvislou oblast v R2 metodami konformního zobrazení, příklady.
Požadavky ke zkoušce
Požadavky dohodneme individuálně, nechť mne vyhledají ti, kteří budou chtít zkoušku někdy složit.
Literatura (víc než nutný seznam, vše z kapitoly I je v [5])
- Constantine M. Dafermos: Hyperbolic systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), pp. 25-70 (1983).
- Constantine M. Dafermos: Estimates for conservation laws with little viscosity, SIAM J. Math. Anal., No.2, pp. 409-421 (1987).
- Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 74, 1990.
- Peter D. Lax: Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Philadelphia SIAM, 1973.
- Josef Málek, Jindřich Nečas, Mirko Rokyta, Michael Růžička: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Chapman & Hall, 1996.
- Ronald J. DiPerna: Convergence of approximate solutions to conservation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 82, pp. 27-70 (1983).
- Ronald J. DiPerna: Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics, Comm. Math. Phys., 91, pp. 1-30 (1983).
- Denis Serre: La compacite par compensation et systemes hyperboliques non lineaires de deux equations a une dimensiion d'space, J. Maths. Pures et Appl., 65(4), pp. 423-468 (1986).
- Denis Serre: Domaines invariantes pour les systemes hyperboliques de lois de conservation, J. Diff. Eq., 69, pp. 46-62 (1987).
- James W. Shearer: Global existence and compactness in Lp for systems of conservation laws, PhD Thesis, University of California, Berkley, 1990.
- Luc Tartar: Comensated compactness and applications to partial differential equations, In: Nonlinear analysis and Mechanics, (ed. R.J.Knops), Heriot-Watt Symposium IV, Research Notes in Mathematics 39, Pitman, pp. 136-192 (1979).
- Luc Tartar: The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), pp. 263-285 (1983).
- Italo Vecchi: Thesis, Univ. Heidelberg, 1989.