Cvičení pro 3.ročník: Matematika pro fyziky (MAF005)
Cvičení ke stejnojmenné přednášce.
V roce 1999/2000 přednáší M.Rokyta, cvičí M.Rokyta a M.Zahradník.
Jak cvičení, tak přednáška se koná pouze
v zimním semestru.
Téma 1: Některé speciální funkce
- Gamma funkce, její hodnoty v R a C, základní vztahy pro Gamma v n a n+1/2, některé integrály, vyjádřitelné pomocí Gamma funkce.
- Holomorfní rozšíření Gamma funkce, residua v singularitách, graf v R; plocha n-dimenzionální sféry.
- Beta funkce, různá integrální vyjádření, její souvislost s Gamma funkcí.
- Cylindrické funkce, Besselovy funkce 1. druhu, definice řadou; Besselova diferenciální rovnice, vyjádření pro n+1/2 pomocí sin a cos, chování v okolí 0, asymptotika, různé vzorce obsahující derivaci; Besselovy funkce coby koeficienty v jisté Laurentově řadě a Fourierově řadě, grafy.
- Distribuce, co to je a proč to potřebujeme. Prostor S, jeho geometrie, normy.
- Regulární distribuce a distribuce z prostoru S', derivování, přenásobení hladkou funkcí, operace. Lineární transformace distribuce. Některé základní výpočty s distribucemi.
- Konvergence distribucí, vzorkovací distribuce, periodické distribuce a souvislost s Fourierovými řadami.
- Řešení obyčejné diferenciální rovnice s Diracem na pravé straně, jeho sestrojení z řešení příslušné homogenní rovnice metodou slepení v 0, resp. skoků v derivacích v nule.
- Řešení obyčejných diferenciálních rovnic v oboru distribucí bez použití Fourierovy transformace (řešení s Diracem a konvoluce s obecnou pravou stranou).
- Řešení obyčejných diferenciálních rovnic v oboru distribucí s použitím Fourierovy transformace (opět: řešení s Diracem a konvoluce s obecnou pravou stranou).
- Pojem fundamentálního řešení (Dirac vpravo), konvoluce fundamentálního řešení s obecnou pravou stranou.
- -Laplace(u)=Dirac, sféricky symetrické řešení pomocí Laplace ve sféricky symetrickém případě, řešení ve dvou a třech dimenzích.
- Převedení eliptického operátoru na kanonický tvar (diagonalizace příslušné matice).
- Fourierova transformace funkcí, základní vztahy, věty o inverzi.
- Fourierova transformace distribucí, základní vztahy a věty o inverzi, transformace základních funkcí a distribucí.
- Fourierova transformace pomocí residuové věty, sféricky symetrické funkce v R3 a jejich F.T.
- F.T. distribucí s kompaktním nosičem, speciálně plošné distribuce.
- Řešení L(u)=f (speciálně = Dirac) pomocí Fourierovy transformace, kde L je lineární parciální diferenciální operátor.
- Tenzorový součin funkcí a distribucí a jeho F.T.
- Definice konvoluce funkcí a distribucí (některé případy, kdy konvoluce je dobře definovaná), vztah k F.T..
- Konvoluční rovnice a jejich řešení pomocí Fourierovy transformace.
- Fundamentální řešení, jeho odvození pomocí Fourierovy transformace.
- Počáteční (Cauchyova úloha), úloha na poloprostoru, úloha v prvním kvadrantu.
- Periodické funkce a distribuce, úloha na omezeném intervalu, řešení pomocí Fourierových řad.
- Vedení tepla na tyči, chladnutí koule.
- Fundamentální systém řešení vlnové rovnice v jedné, dvou a třech dimenzích.
- Metoda Fourierových řad v 1D - periodické počáteční podmínky.
- Maxwellovy rovnice.
- Dirichletova úloha pro Laplace-Poissonovu rovnici a její řešení na polorovině.
- Metoda konformního zobrazení na polorovinu a důsledky pro řešení L.-P. rovnice v jednoduše souvislých oblastech v R2.
- Řešení na mezikruží v R2 a dvojnásobně souvislých oblastech.
- Řešení na kouli a vnějšku koule v Rm.
- Laplaceova transformace funkcí a distribucí, základní vlastnosti a početní úkony.
- Řešení elektrických obvodů pomocí Laplaceovy transformace.
- Rovnice s konvolucí pomocí Laplaceovy transformace.
- Metoda konformního zobrazení, Žukovského funkce.
- Obtékání jednoduchých profilů.
