Přednáška F064 - ZIMNÍ SEMESTR

Přednášející: M. Rokyta, KMA

Následující stránka obsahuje sylabus přednášky v zimním semestru. Číslování kapitol pokračuje (na přání studentů) z prvního ročníku. Přednáška se konala vždy v pondělí a ve čtvrtek v 10:40 v posluchárně F 1, v době od 28.9.1998 do 14.1.1999 a pokračovala v letním semestru.

---

12. Posloupnosti a řady funkcí

• 12.1. Bodová a stejnoměrná konvergence
  • Bodová konvergence posloupnosti funkcí; stejnoměrná konvergence; Bolzano-Cauchyova podmínka stejnoměrné konvergence; ekvivalentní podmínka stejnoměrné konvergence (věta o sigma_n).
  • Bodová a stejnoměrná konvergence řady funkcí; nutná podmínka; absolutní konvergence řady funkcí; Weierstrassovo, Leibnizovo kritérium; Abel-Dirichletovo (o stejnoměrné konvergenci) kritérium.
• 12.2. Limita a spojitost
  • Limita v bodě pro posloupnost funkcí; spojitost stejnoměrně konvergentní posloupnosti spojitých funkcí; Diniho věta.
• 12.3. Derivace a integrál
  • Derivace posloupnosti a řady člen po členu; primitivní funkce ke stejnoměrně konvergentní posloupnosti (a řadě). Riemannův integrál ze stejnoměrně kovergentní posloupnosti a řady funkcí.
• 12.4. Mocninné řady
  • Definice mocninné řady; absolutní a stejnoměrná konvergence mocninné řady; poloměr a kruh konvergence, vlastnosti mocninné řady uvnitř, vně a na hranici kruhu konvergence; vzorec pro poloměr konvergence.
  • Vlastnosti funkce definované jako součet mocninné řady; Abelova věta o konvergenční kružnici; aplikace mocninných řad: sčítání některých číselných řad, integrace funkcí, řešení ODR. Diskuse o Taylorově a mocninné řadě.

13. ODR podruhé

• 13.1. Lineární rovnice, Wronskián
  • Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty. Fundamentální systém, závislost a nezávislost funkcí, Wronskián, jeho využití. Snížení řádu u lineárních rovnic: pomocí Wronskiánu nebo zavedením nové funkce.
• 13.2. Speciální typy rovnic a rovnice vyššího řádu
  • Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu, integrační faktor, jeho různé zjednodušené tvary.
  • Bernoulliova rovnice, Riccatiova rovnice.
  • Některé typy (nelineárních) rovnic druhého řádu (s redukovanou pravou stranou) a jak je řešit. Eulerova rovnice n-tého řádu, její fundamentální systém. Radiálně symetrické řešení Laplaceovy rovnice v Rⁿ.
• 13.3. Souvislosti se systémem ODR
  • Souvislost jedné rovnice n-tého řádu se systémem rovnic prvního řádu. Lipschitzovskost. Obecná věta o jednoznačné řešitelnosti systému prvního řádu.

14. Úvod do variačního počtu

• Úvaha o nejkratší spojnici dvou bodů; definice: funkcionál, Gateauxův diferenciál (variace), kritický (stacionární bod); Eulerova věta (nutná podmínka lok. extrému).
• Obecné odvození Euler-Lagrangeovy rovnice; extremály; Euler-Lagrangeova věta o E-L rovnici; úloha o brachystochroně; fyzikální interpretace E-L rovnic a Lagrangián.
• Modifikovaná E-L rovnice; úloha o minimální rotační ploše. Fréchetův diferenciál; jeho vztah k derivaci ve směru (Gateauxově); Paradox nekonečně jemné pily (funkcionál, který nemá minimální prvek).

15. Lebesgueova míra a integrál

• 15.1. Vnější míra, míra, měřitelné množiny
  • Množiny, množinové systémy (algebra a sigma algebra), [sub]aditivní funkce množin. Vnější míra; její vlastnosti; míra a měřitelné množiny; základní vlastnosti lebesgueovsky měřitelných množin; Cantorovo discontinuum.
  • Existují neměřitelné množiny; borelovské množiny; nulové množiny; platnost něčeho skoro všude.
• 15.2. Měřitelné funkce
  • Měřitelné funkce; charakteristická funkce množiny; operace s měřitelnými funkcemi, které zachovávají měřitelnost. Spojitá funkce je měřitelná; pro hlubší zájemce: Luzinova a Jegorovova věta.
• 15.3. Lebesgueův integrál a jeho základní vlastnosti
  • Jednoduchá (= schodovitá) funkce; Lebesgueův integrál z jednoduché funkce; aproximativní vlastnost jednoduchých funkcí.
  • Lebesgueův integrál z nezáporné měřitelné funkce, z obecné měřitelné funkce; existence a konvergence integrálu; nerovnosti a rovnosti; třídy L(M) a L^*(M), jejich vlastnosti; konvergence - integrabilní majoranta; závislost na množině, přes kterou se integruje; linearita.
• 15.4. Věty Leviho, Lebesgueova, Fatouova
  • Levi ve dvou verzích, Levi pro řady; Fatouovo lemma; Lebesgueova věta pro posloupnosti. Lebesgueova věta pro řady; vztah Riemannova a Lebesgueova integrálu; některé příklady; shrnutí technik pro posloupnosti a řady.
• 15.5. Integrály s parametrem
  • Věta o limitě; věta o spojitosti; věta o derivaci; Gamma funkce a její základní vlastnosti.
• 15.6. Fubiniho věta a věta o substituci
  • Průmět množiny a řez množinou; Fubiniho věta; Věta o substituci; její srovnání s jednou dimenzí; sférické souřadnice; sférické souřadnice v Rⁿ; příklady a aplikace; objem n-rozměrné koule.

16. Křivkový integrál

• 16.1. Křivky v Rⁿ
  • Křivka, jednoduchá křivka, uzavřená křivka; tečný a normálový vektor; opačná křivka.
• 16.2. Křivkový integrál
  • Křivkový integrál 1. a 2. druhu, nezávislost na parametrizaci; potenciál vektorového pole; nezávislost na cestě; nulovost integrálu přes uzavřenou křivku; souvislost s potenciálem.

Pokračování v létě.

---

Doporučená literatura

1. Vlastní poznámky z přednášek
2. Kopáček, J.: Matematika pro fyziky II, III a IV (skripta MFF UK), (pozor, rozložení látky je zavislé na vydání, prostudujte si obsahy)
3. Kopáček, J.: Příklady z matematiky pro fyziky II, III (skripta MFF UK) (tatáž poznámka jako výše)
4. Jaroslav Lukeš: Příklady z matematické analýzy I. (Příklady k teorii Lebesgueova integrálu). Skriptum MFF UK, 1984
5. Jaroslav Lukeš, Jan Malý: Míra a integrál. Skriptum MFF UK, 1993. (pro zájemce o hlubší poznání Lebesgueovy teorie)

---