Vybrané kapitoly z nelineárních PDR
(výběrovka Málek-Nečas-Rokyta, M610)
Zimní semestr 1997/98
V tomto semestru přednáší M.Rokyta a J.Málek. Přednáška je pojata jako příprava pro ty, kteří se chtějí účastnit Zimní školy "Paseky 97".
"Hyperbolické systémy 1.řádu" (M.Rokyta)
Tomuto tématu bude věnováno 5 přednášek a bude pojato jako úvod k přednášce prof. Dafermose na zimní škole "Paseky 1997".Přednáška zahajuje v pondělí 6.10. v 17:20 v K3 (17:15 pro zájemce o čaj) a bude pokračovat každé další pondělí ve stejném čase a na stejném místě, s jedinou zatím známou výjimkou, a sice 20.10., kdy je přednášející mimo (rozuměj: mimo Prahu).
1.přednáška, 6.10.1997
- Eliptičnost, paraboličnost, hyperboličnost - charakter rovnice určuje typy úloh, které pro danou rovnici jsou rozumné.
- Hyperbolický systém prvního řádu - definice a příklad: Eulerovy rovnice
- Cauchyova úloha pro jednu hyperbolickou rovnici v jedné dimenzi: kdy existuje globální řešení a kdy ne a čím to je: chováním řešení - konstantnost na charakteristikách.
- Slabé řešení Cauchyovy úlohy; slabé řešení, které je po částech C^1. Rankine-Hugoniotovy podmínky.
- Nejednoznačnost slabého řešení v případě hyperbolické rovnice.
- Na cestě k jednoznačnosti: úvaha o dalším možném zákonu zachování, matematický pojem entropie a toku.
- Motivace pro entropické řešení: parabolická perturbace pomocí umělé vazkosti, vymizení vazkosti a pozůstatek tohoto procesu: entropická nerovnost.
- Jedna rovnice v n prostorových dimenzích: parabolická perturbace a její řešení iterační metodou.
- Kompaktnost a kompenzovaná kompaktnost - zmínka. Náznak limitního přechodu k entropickému řešení jedné rovnice.
- Kružkovův přístup k jednoznačnosti: ekvivalentní formulace entropické podmínky
- L1-kontrakce a z ní plynoucí jednoznačnost pro jednu rovnici v n prostorových dimenzích
- Riemannův problém - konstrukce řešení pro jednu rovnici v jedné dimenzi; filozofie elementárních vln - shock wave a rarefaction wave.
- k-shock a rarefaction pro systém v jedné dimenzi - motivace pomocí okrajové úlohy ve čtvrtprostoru
- p-systém a řešení Riemannova problému pro něj.
"Boltzmannovy a Navier-Stokesovy rovnice" (J.Málek)
Vybrané kapitoly podává J.Málek, tento zápis pořídil M.Rokyta.6.přednáška, 17.11.1997
- Heuristické odvození Boltzmannových rovnic.
- Invarianty Bolzmannovýc rovnic, přechod k makroskopickým souřadnicím.
- Evoluční N-S. rovnice: Lerayův článek 1934, základní existenční teorie.
- Evoluční N-S. rovnice: spojitá závislost, jednoznačnost, regularita (2D a současný stav ve 3D).
