Vybrané kapitoly z nelineárních PDR
(výběrovka Málek-Nečas-Rokyta, M610)
Letní semestr 1997/98
V tomto semestru přednáší M.Rokyta. Přednáška zahajuje v pondělí 9.3.1998 v 17:20 v K3 a bude pokračovat každé další pondělí ve stejném čase a na stejném místě. Očekávaný konec přednášky je cca půlka května.
Zkouška (pro ty, kteří ji chtějí skládat za oba semestry) ma zde své požadavky.
Slabá řešení a řešení v mírách pro nelineární (hyperbolické) PDR
- 1. Úvod, motivace
- Motivace: limitní přechod od parabolické perturbace k hyperbolickému zákonu zachování, slabá-* konvergence a přechod v nelinearitě, poznámka o metodě kompaktnosti (klasické) a rafinovanějších metodách (kompenzace nedostatku kompaktnosti: kompenzovaná kompaktnost).
- 2. Slabá a silná konvergence v prostorech Lp
- Kompaktnost omezených množin v prostorech konečné dimenze (silná kompaktnost), reflexivních (slabá kompaktnost), duálech k separabilním Banachovým prostorům (slabá-* kompaktnost).
- Slabá kompaktnost v Lp, vnoření L1 do měr.
- Slabě konvergentní posloupnosti, které nekonvergují silně, konvergence lokálních pruůměrů, oscilace a koncentrace.
- 3. Linf - Youngovy míry
- Omezené posloupnosti v Linf, věta o duálu k L1(Q,C0(R)), věta o existenci Youngových měr.
- Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr.
- 4. Murat-Tartarova identita
- Schéma postupu pro nelineární hyperbolickou rovnici.
- Div-curl lemma, Muratovo lemma - bez důkazů, s ilustrací.
- Murat-Tartarova identita v jedné prostorové dimenzi.
- 5. Skalární zákon zachování
- Tartarova věta o redukci nosiče míry, Vecchiho důkaz.
- Existence entropického řešení pro "genuine nonlinear! f metodou kompenzované kompaktnosti.
- Přehled dosažených výsledků.
- 6. Zobecněné (Lp) - Youngovy míry
- Hlavní Ballova věta o existenci a vlastnostech zobecněných Youngových měr.
- Příklady, ilustrace.
- 7. Hyperbolická rovnice druhého řádu (nelineární vlnová rovnice v Rn)
- Hyperbolická rovnice druhého řádu (dále jen HRDR), její souvislost s jistým hyperbolickým systémem.
- Pojem "řešení v mírách" (MVS), definice MVS pro HRDR.
- Apriorní odhady pro parabolickou regularizaci, existence a jednoznačnost řešení.
- Existence řešení v mírách pro HRDR.
Požadavky ke zkoušce
Požadavky dohodneme individuálně, nechť mne vyhledají ti, kteří budou chtít zkoušku někdy složit. Pro zájemce: text celé přednášky existuje v řeči anglické, zájemcům ji mohu vytisknout, zdrojový soubor bych poskytoval nerad (náš nakladatel si to nepřeje).
Literatura (víc než nutný seznam, vše je v [5])
- Constantine M. Dafermos: Hyperbolic systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 25-70 (1983).
- Constantine M. Dafermos: Estimates for consevation laws with little viscosity, SIAM J. Math. Anal., No.2, 409-421 (1987).
- Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 74, 1990.
- Peter D. Lax: Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Philadelphia SIAM, 1973.
- Josef Málek, Jindřich Nečas, Mirko Rokyta, Michael Růžička: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Chapman & Hall, 1996.
- Ronald J. DiPerna: Convergence of approximate solutions to consefvation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 82 (1983), 27-70.
- Ronald J. DiPerna: Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics, Comm. Math. Phys., 91 (1983), 1-30.
- Denis Serre: La compacite par compensation et systemes hyperboliques non lineaires de deux equations a une dimensiion d'space, J. Maths. Pures et Appl., 65(4), 423-468 (1986).
- Denis Serre: Domaines invariantes pour les systemes hyperboliques de lois de conservation, J. Diff. Eq., 46-62, 69 (1987).
- James W. Shearer: Global existence and compactness in Lp for systems of conservation laws, PhD Thesis, University of California, Berkley, 1990.
- Luc Tartar: Comensated compactness and applications to partial differential equations, In: Nonlinear analysis and Mechanics, (ed. R.J.Knops), Heriot-Watt Symposium IV, Research Notes in Mathematics 39, Pitman, 136-192 (1979).
- Luc Tartar: The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 263-285 (1983).
- Italo Vecchi: Thesis, Univ. Heidelberg, 1989.