Přednáška F165 - ZIMNÍ SEMESTR
Přednášející: M. Rokyta, KMA
Tato stránka obsahuje sylabus přednášky v zimním semestru. Přednáška má sedm kapitol (a nultou - Úvod), každá z nich je dále členěna na podkapitoly (např 1.1. Číselné množiny). Na konci naleznete seznam doporučené literatury. Přednáška se konala vždy v úterý a ve čtvrtek v 10:40 v posluchárně T 1.
Sylabus přednášky
To, co následuje nejsou požadavky ke zkoušce, to je sylabus, tj. obsah přednášky. Požadavky naleznete zde.0. Úvod a opakování
- Množiny, možinová symbolika, sjednocení, průnik, rozdíl, prázdná množina.
- Výroky a jejich slučování, kvantifikace, negování.
1. Čísla a zobrazení
- 1.1. Číselné množiny
- Množiny N, Z, Q, I, R, C (čísel přirozených, celých, racionálních, iracionálních, reálných, komplexních), zavedení R.
- Odmocnina z prvočísla je iracionální. Dekadický zápis a iracionalita.
- 1.2. Axiom o supremu
- Shora a zdola omezené množiny reálných čísel, horní a dolní závora.
- Supremum. Axiom o supremu.
- Infimum. Věta o infimu. Jednoznačnost suprema a infima.
- 1.3. Zobrazení; spočetnost
- Definice zobrazení, definiční obor jako součást definice zobrazení; obor hodnot; obraz a vzor množiny.
- Zobrazení prosté, zobrazení inverzní; složené zobrazení, nerovnosti mezi zobrazeními (do číselných množin).
- Spočetnost a nespočetnost. Množiny N, Z, Q jsou spočetné, množiny I, R, C jsou nespočetné.
2. Posloupnosti
- 2.1. Limita posloupnosti
- Definice posloupnosti.
- Posloupnost rostoucí, klesající, monotonní, omezená. Limita posloupnosti vlastní a nevlastní (tj. plus nebo mínus nekonečno). Konvergentní a divergentní posloupnost. Posloupnost mající vlastní limitu je omezená.
- Aritmetické operace s limitami, zavedení nevlastních bodů reálné osy (plus a mínus nekonečna), operace s nimi.
- Aritmetické operace s limitami včetně operací s nekonečny, některé příklady na to, jak s nekonečny zacházet.
- Práce s komplexními posloupnostmi. Další věty (absolutní hodnota, o dvou policajtech...)
- Supremum a infimum prázdné a neomezené množiny.
- Příklady: a^n, a^(1/n), n^(1/n), nerovnosti v limitě.
- 2.2. Monotonní posloupnosti
- Monotonní posloupnost má vždy limitu. Příklad a_{n+1} =sqrt{2+a_n}
- Posloupnosti, konvergující k číslu e z obou stran. Definice e, jeho vyjádření pomocí součtu převrácených hodnot faktoriálů. Číslo e je iracionální.
- Růstové limity, lemma o podílu dvou po sobě jdoucích členů posloupnosti s kladnými členy.
- 2.3. Podposloupnosti
- Definice podposloupnosti, základní vlastnosti
- Bolzano-Weierstrassova věta v R a C ("lev na poušti").
- Pojem hromadného bodu, množina hromadných bodů, limes superior, limes inferior.
- 2.4. Cauchyovskost
- Cauchyovskost (Bolzano-Cauchyova podmínka).
- Posloupnost má vlastní limitu právě když je cauchyovská.
3. Funkce reálné proměnné
- 3.1. Základní vlastnosti funkcí
- Monotonie, ryzí monotonie, omezenost, lichost, sudost, periodicita.
- 3.2. Vlastní limita ve vlastním bodě
- Intervaly: otevřené, uzavřené, polouzavřené, omezené, neomezené, degenerované, okolí bodu.
- Vlastní limita ve vlastním bodě, oboustranná, jednostranná. Limita jako lokální pojem.
- Věty o počítání limit: aritmetické operace, nerovnosti, věta o policajtech, limita absolutní hodnoty.
- 3.3. Spojitost funkce v bodě
- Spojitost v bodě a na intervalu, spojitost v bodě a existence vlastní limity, spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu spojitých funkcí.
- Klasifikace bodů nespojitosti: odstranitelná a neodstranitelná nespojitost, skok.
- Limita složené funkce, spojitost složené funkce.
- 3.4. Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech
- Nevlastní limita a limita v nevlastním bodě.
- Početní pravidla s nevlastními limitami, neurčité výrazy, limita typu "1/0".
- Monotónní funkce má limitu.
- 3.5. Elementární funkce
- 1. Polynomy, mocniny a odmocniny. Nalezení racionálních kořenů polynomu s celočíselnými koeficienty.
- 2. Racionální funkce = podíl dvou polynomů.
- 3. Goniometrické funkce, zavedení sinu.
- Tzv. základní limity elementárních funkcí.
- Zbylé goniometrické funkce, inverzní k nim.
- 4. Logaritmus a exponenciela
- 5. Obecná mocnina a logaritmus.
- Neurčité výrazy v mocnině. Diskuse a počítání některých limit, odvolávajících se na základní limity.
- 6. Hyperbolické a inverzní hyperbolické funkce.
4. Derivace
- 4.1. Derivace funkce v bodě
- Derivace v bodě, jednostranná, vlastní, nevlastní, geometrická interpretace: směrnice tečny. Fyzikální interpretace: rychlost.
- Souvislost spojitosti a derivace: existence vlastní derivace implikuje spojitost v bodě.
- Derivace v bodě a derivace jako funkce. Vyšší derivace.
- Tabulka derivací elementárních funkcí.
- 4.2. Základní vlastnosti derivace
- Věta o derivování součtu, rozdílu, součinu, podílu, některé příklady.
- Derivace inverzní funkce.
- Derivace složené funkce.
- Důkaz věty o derivaci složené funkce.
- Pojem diferenciálu.
- Leibnitzův vzorec, L'Hospitalova pravidla (zatím bez důkazu, ten je v podkapitole 6.2).
5. Primitivní funkce
- 5.1. Definice a základní vlastnosti
- Primitivní funkce na otevřeném intervalu a sjednocení takových. Neurčitý integrál. Základní vlastnosti a struktura třídy všech primitivních funkcí. Rovnost dvou funkcí až na konstanty.
- Tabulka základních integrálů.
- Spojitá funkce má primitivní (zatím bez důkazu, ten je v podkapitole 7.2). Primitivní funkce je spojitá.
- Per partes a dvě verze věty o substituci.
- 5.2. Integrace racionálních funkcí
- "Algoritmus" výpočtu: snížení stupně čitatele, rozklad jmenovatele na kořenové činitele, rozklad na parciální zlomky, integrace základních parciálních zlomků.
- Triky, tzv. Ostrogradského formule, základní příklady.
- 5.3. Speciální substituce
- Typ "odmocnina z lineární lomené funkce".
- Typ "odmocnina z kvadratického trojčlenu - Eulerovy substituce".
- Typ "goniometrické substituce", slepování primitivní funkce.
6. Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí
- 6.1. Vlastnosti spojitých funkcí
- Lokální o globální verze pojmů (omezenost,...).
- Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je omezená a nabývá svého maxima a minima.
- Věta o nabývání mezihodnot, spojitý obraz intervalu je interval nebo bod.
- Pro ryze monotónní funkce platí: f spojitá na intervalu I právě tehdy, když f(I) je interval.
- 6.2. Věty o střední hodnotě a důsledky
- Rolleova, Lagrangeova, Cauchyova věta.
- Souvislost monotonie a znaménka první derivace na intervalu.
- Důkaz L'Hospitalova pravidla pro verzi "0/0".
- Věta o limitě jednostranných derivací.
- 6.3. Taylorův polynom
- Pojem "malé o" a počítání s ním, přepis zbytku u diferenciálu do této symboliky.
- Peanova věta o existenci a jednoznačnosti Taylorova polynomu.
- Taylorovy polynomy základních elementárních funkcí.
- Lagrangeův tvar zbytku, věta o "nekonečném polynomu".
- 6.4. Konvexita, konkavita a průběh funkce
- Definice konvexity, konkavity, inflexního bodu.
- Souvislost konvexity a konkavity se znaménkem druhé derivace na intervalu.
- Existuje-li vlastní druhá derivace v inflexním bodě, je nulová.
- Průběhy funkcí a strategie při jejich vyšetřování, věta o n-té derivaci v bodě (lokální extrém nebo inflexe?), pojem asymptoty v nekonečnu.
7. Riemannův určitý integrál
Přesunuto do letního semestru
- 7.1. Definice a základní vlastnosti
- Dělení uzavřeného intervalu, horní a dolní součty a jejich chování při zjemňování dělení, resp. pro libovolná dvě dělení.
- Pojem horního a dolního Riemannova integrálu, pojem Riemannovsky integrovatelné funkce, nerovnost mezi horním a dolním integrálem.
- B-C podmínka pro Riemannův integrál.
- Monotónní a omezená funkce, definovaná všude v omezeném intervalu, má Riemannův integrál.
- Spojitost a stejnoměrná spojitost. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
- Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má Riemannův integrál.
- Vlastnosti R-integrálu. Dirichletova a Riemannova funkce - příklad neintegrovatelné, resp. integrovatelné funkce (v Riemannově smyslu).
- 7.2. Integrál s proměnnou mezí, Newton-Leibnizova formule
- Neurčitý Riemannův integrál (s proměnnou horní mezí) a jeho vlastnosti v závislosti na vlastnostech původní funkce.
- Pro spojitou funkci (na otevřeném intervalu) existuje vždy primitivní funkce.
- Newton-Leibnizova formule pro Riemannův integrál. Derivace integrálu s proměnnými mezemi.
- 7.3. Zobecněný Riemannův integrál
- Pojem zobecněného integrálu, N-L formule pro zobecněný integrál.
- Shrnutí Riemannovské integrace pomocí N-L formule pro spojité funkce.
- Konečnost integrálů typu "1/x^a" u nuly a u nekonečna.
- 7.4. Per partes a substituce
- Per partes a dvě věty o substituci (pro spojité fce), některé příklady, Wallisova formule.
- Věty o střední hodnotě integrálního počtu, integrální tvar zbytku pro Taylorův polynom.
- 7.5. Aplikace určitého integrálu
- Věta o Riemannovských součtech.
- Obsah plochy pod grafem, obsah plochy v polárních souřadnicích, délka křivky, křivka v parametrickém tvaru a polárních souřadnicích, objem a povrch rotačního tělesa.
- Hmota, těžiště, momenty.
Doporučená literatura
Zkušenost sice praví, že student se nejvíce učí z [7], ale občas je potřeba mít po ruce i nějaké to skriptum... Minimální výbavou by měly být Kopáčkovy skripta [1], jejichž obsah je nejblíže průběhu přednášky, a Kopáčkovy "počítací" skripta [2]. Klasické knihy [3] a [4] jsou spíše pro studenty matematiky, ale jejich prolistování neublíží ani fyzikovi. Rudinova kniha [5] je pro ty, kteří by se chtěli pocvičit v angličtině a zárověň se podívat, jak se analýza učí jinde. Demidovič [6] je nepřebernou zásobárnou příkladů. Ovšem je potřeba vyznat se v symbolech typu "překocený nábytek", čili v azbuce.
- Kopáček, J.: Matematika pro fyziky I., II. (skriptum MFF UK).
- Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky I.,II. SPN (skriptum MFF UK).
- Jarník, V.: Diferenciální počet 1, 2 Academia Praha.
- Jarník, V.: Integrální počet 1, 2 Academia Praha.
- Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
- Děmidovič, B.P.: Sbornik zadač i upražněnij po matěmatičeskomu analizu (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
- ... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.