Prednaska z matematiky F165

Přednáška F165 - LETNÍ SEMESTR

Přednášející: M. Rokyta, KMA
Tato stránka obsahuje sylabus přednášky v zimním semestru. Číslování kapitol a podkapitol pokračuje ze zimního semestru. Na konci naleznete seznam doporučené literatury. Přednáška se konala vždy v pondělí v 10:40 v posluchárně F 1 a ve čtvrtek v 10:40 v posluchárně T 1.

Sylabus přednášky
To, co následuje nejsou požadavky ke zkoušce, to je sylabus, tj. obsah přednášky. Požadavky naleznete zde.
7. Riemannův určitý integrál - dokončení

7.4. Per partes a substituce

Per partes a dvě věty o substituci (pro spojité fce), některé příklady, Wallisova formule.
Věty o střední hodnotě integrálního počtu, integrální tvar zbytku pro Taylorův polynom.

7.5. Aplikace určitého integrálu

Věta o Riemannovských součtech.
Obsah plochy pod grafem, obsah plochy v polárních souřadnicích, délka křivky, křivka v parametrickém tvaru a polárních souřadnicích, objem a povrch rotačního tělesa.
Hmota, těžiště, momenty.

8. Obyčejné diferenciální rovnice

8.1. Základní definice a věty

Pojem ODR, řešení ODR na intervalu, prodloužení řešení, maximální řešení, rozřešená a nerozřešená rovnice (vzhledem k nejvyšší derivaci).
Počáteční úloha, existenční věta (pro spojitou pravou stranu), Lipschitzova podmínka, věta o jednoznačnosti počáteční úlohy.

8.2. ODR 1. řádu

Rovnice v separovaných proměnných, navazování (napojování) řešení.
Lineární rovnice prvního řádu (s nekonstantními koeficienty, s pravou stranou) a její řešení přenásobením vhodnou funkcí. Vyřešení píďalky.

8.3. Lineární rovnice n-tého řádu (s konstantními koeficienty)

S nekonstatními koeficienty: řešení homogenní rovnice je lineární prostor dimenze n, jeho bázi nazvu fundamentální systém homogenní rovnice. Jeho posunutí o jedno (patrikulární) řešení nehomogenní rovnice dává všechna řešení nehomogenní rovnice.
S konstantními koeficienty: Nalezení FS metodou charakteristického polynomu, případ vícenásobných a komplexních kořenů.
Nalezení partikulárního řešení metodou variace konstant. Metoda "uhodnutí", neboli "speciální pravé strany".

9. Číselné řady

9.1. Konvergence a divergence

Konvergence, posloupnost částečných součtů. Divergence, divergence k plus a mínus nekonečnu.
Příklady: geometrická řada, harmonická řada, Zeta funkce v sudých bodech.
Nutná podmínka konvergence, uzávorkování (asociativní zákon), aritmetické operace.

9.2. Řady s nezápornými členy

Lemma o omezenosti částečných součtů, srovnávací kritérium I.
Podílové a odmocninové kritérium, limitní a nelimitní verze.
Integrální kritérium, srovnávací kritérium II ("podobné řady").

9.3. Absolutní a neabsolutní konvergence

Cauchyovskost v komplexní rovině, B-C podmínka pro řady.
Absolutní a neabsolutní konvergence.
Abelovo a Dirichletovo kritérium, Leibnizovo kritérium.
Přerovnávání řad (komutativní zákon), násobení řad.

10. Metrické prostory

10.1. Základni příklady a pojmy

Metrika a metrický prostor, příklady: Rⁿ s třemi různými metrikami (eukleidovská, maximová, absolutní). Prostor všech spojitých funkcí na [a,b] s maximovou metrikou. Norma, normované prostory, vztah mezi normovaným a metrickým prostorem.
Otevřená množina, okolí bodu. Vlastnosti systému otevřených množin.
Uzavřená množina, vlastnosti systému uzavřených množin, uzávěr, vnitřek, hranice, podprostor.

10.2. Konvergence, úplnost, kompaktnost

Konvergence, limita, cauchyovskost, úplnost.
Ekvivalent axiomu o supremu v R. Vztah úplnosti a uzavřenosti.
Kompaktní množiny v metrickém prostoru.
Vztah kompaktnosti a uzavřenosti, kompaktnosti a omezenosti, kompaktnosti a úplnosti.

10.3. Spojitost a stejnoměrná spojitost

Spojitost a stejnoměrná spojitost v metrickém prostoru.
Heineho věta, ekvivalentní charakterizace spojitosti.
Spojitým obrazem kompaktu je kompakt. Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá, omezená.
Kontraktivní zobrazení, definice. Kontrakce je vždy spojitá. Banachova věta o pevném bodu.

11. Funkce více proměnných

11.1. Limita a spojitost

Limita a spojitost - přenesení pojmů z metrického prostoru, příklady (projekce).
Spojitost a limita po směrech, po křivkách, atd. srovnání s Heineho větou.

11.2. Parciální derivace a totální diferenciál

Parciální derivace, derivace ve směru, gradient a jeho význam.
Totální diferenciál, vztah k parciálním derivacím a derivacím ve směru.
Spojitost parciálních derivací implikuje existenci tot. dif., operace s tot. dif.

11.3. Složené derivování, záměna proměnných

Tot. dif. složeného zobrazení, složené derivování, záměna proměnných.
Věta o střední hodnotě pro víc proměnných.

11.4. Taylorův vzorec, vyšší diferenciály

Vyšší parciální derivace.
Taylorův vzorec pro víc proměnných.
Vyšší totální diferenciály.

11.5. Extrémy funkcí více proměnných

Lokální extrémy, sedlové body, globální extrémy na kompaktních množinách.
Nutné a postačující podmínky existence extrémů, pozitivní a negativní [semi]definitnost, indefinitnost kvadratické formy dané druhým diferenciálem, souvislost s maticí druhých derivací. Příklady.

11.6. Implicitní funkce a vázané extrémy

Věta o implicitních funkcích.
Věta o Lagrangeových multiplikátorech - vázané extrémy vzhledem k množině.
Lagrangeovy multiplikátory pro víc dimenzí a vazeb - zmínka.

Po dohodě přesunuje se kapitola "ODR podruhé" do 3. semestru.

Doporučená literatura

Zkušenost sice praví, že student se nejvíce učí z [7], ale občas je potřeba mít po ruce i nějaké to skriptum... Minimální výbavou by měly být Kopáčkovy skripta [1], jejichž obsah je nejblíže průběhu přednášky, a Kopáčkovy "počítací" skripta [2]. Klasické knihy [3] a [4] jsou spíše pro studenty matematiky, ale jejich prolistování neublíží ani fyzikovi. Rudinova kniha [5] je pro ty, kteří by se chtěli pocvičit v angličtině a zárověň se podívat, jak se analýza učí jinde. Demidovič [6] je nepřebernou zásobárnou příkladů. Ovšem je potřeba vyznat se v symbolech typu "překocený nábytek", čili v azbuce.

Kopáček, J.: Matematika pro fyziky II. (skriptum MFF UK), vychází čerstvě v Matfyzpress, 1998, ptejte se např. v prodejně v přízemí budovy Trója.
Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky II. SPN (skriptum MFF UK).
Jarník, V.: Diferenciální počet 1, 2 Academia Praha.
Jarník, V.: Integrální počet 1, 2 Academia Praha.
Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
Děmidovič, B.P.: Sbornik zadač i upražněnij po matěmatičeskomu analizu (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.