Cvičení pro 3.ročník: Matematika pro fyziky II (F060)

Cvičení ke stejnojmenné přednášce dr. Čiháka.
Cvičící: M. Rokyta, KMA

Následující soupis obsahuje bodový scénář cvičení k uvedené přednášce, tak, jak probíhalo v zimním semestru 1997-98. Poslední zde uvedené téma (proudění) jsem z časových důvodů nestihl odcvičit. Cvičení se odehrávalo v pondělí v 10:40 v posluchárně T 11.

---

Téma 1: Některé speciální funkce

• Gamma funkce, její definice v R a C, základní vztahy pro Gamma v n a n+1/2, některé integrály, vyjádřitelné pomocí Gamma funkce.
• Holomorfní rozšíření Gamma funkce, residua v singularitách, graf; plocha n-dimenzionální sféry.
• Beta funkce, různá integrální vyjádření.
• Beta funkce a její souvislost s Gamma funkcí.
• Besselovy funkce 1. druhu, definice řadou; definující diferenciální rovnice, vztahy, grafy.

Téma 2: Distribuce jako rozšíření pojmu funkce

• Distribuce, co to je a proč to potřebujeme.
• Regulární distribuce a distribuce z prostoru S', derivování, násobení funkcí, operace. Některé výpočty s distribucemi.

Téma 3: Obyčejné diferenciální rovnice v distribucích

• Fundamentální řešení obyčejné difer. rovnice, jeho sestrojení z řešení příslušné homogenné rovnice.
• Řešení obyčejných diferenciálních rovnic v oboru distribucí bez použití Fourierovy transformace.

Téma 4: Parciální rovnice v distribucích bez použití Fourierovy transformace

• Pojem fundamentálního řešení a motivace: konvoluce funkce s Dirakem.
• -Laplace(u)=Dirac, sféricky symetrické řešení, řešení ve dvou a třech dimenzích.
• Převedení eliptického operátoru na kanonický tvar (bez použití Fourierovy transformace).

Téma 5: Fourierova transformace funkcí a distribucí

• Fourierova transformace funkcí, základní vztahy.
• Fourierova transformace distribucí, základní vztahy a některé transformace.
• Fourierova transformace pomocí residuové věty, sféricky symetrické funkce v R³ a jejich F.T.
• Řešení L(u)=Dirac pomocí Fourierovy transformace, kde L je lineární parciální diferenciální operátor.

Téma 6: Konvoluce a konvoluční rovnice

• Definice konvoluce funkcí a distribucí (některých).
• Konvoluční rovnice a jejich řešení přímé i pomocí Fourierovy transformace.

Téma 7: Rovnice vedení tepla

• Fundamentální řešení, jeho odvození pomocí Fourierovy transformace.
• Počáteční (Cauchyova úloha), úloha na poloprostoru, úloha v prvním kvadrantu.
• Periodické funkce a distribuce, úloha na omezeném intervalu, řešení pomocí Fourierových řad.
• Vedení tepla na tyči, chladnutí koule.

Téma 8: Dirichletova úloha a metody konformního zobrazení

• Dirichletova úloha pro Laplace-Poissonovu rovnici a její řešení na polorovině.
• Metoda konformního zobrazení na polorovinu a důsledky pro řešení L.-P. rovnice.

Téma 9: Vlnová rovnice

• Fundamentální systém řešení vlnové rovnice ve dvou a třech dimenzích.
• Metoda Fourierovy transformace a Fourierových řad.

Téma 10: Laplaceova transformace

• Laplaceova transformace funkcí a distribucí, základní vlastnosti a početní úkony.
• Řešení elektrických obvodů pomocí Laplaceovy transformace.
• Rovnice s konvolucí pomocí Laplaceovy transformace.

Téma 11: Stacionární nevířivé nezřídlové proudění

• Metoda konformního zobrazení, Žukovského funkce.
• Obtékání jednoduchých profilů.

---