Sylabus vyberovky M610, leto 1996/97

Sylabus Vybranych kapitol z nelinearnich PDR (vyberovka Malek-Necas-Rokyta, M610)

Letni semestr 1996/97

V tomto semestru prednasi M.Rokyta, KMA.

Sylabus: "Evolucni systemy a invariantni oblasti"

1. Hyperbolicky system 1. radu (20.2.1997)

Motivace, realnost vlastnich cisel jakobianu z pohledu korektnosti ulohy, priklady hyperb. systemu, p-system, Eulerovy rovnice.
Entropie z matematickeho hlediska, entropicke reseni, symetrizovatelny hyperbolicky system. Veta: system je symetrizovatelny prave tehdy, kdyz ma entropii.

2. Metoda invariantnich oblasti

(13.3.1997):
Obecny tvar evolucniho systemu, pro ktery ukazeme vysledek; zobecnene konvexni funkce (GC-functions) - v bode a na mnozine, invariantni oblast a jeji definice; vlastnost mit pocatecni a okrajove podminky v invariantni oblasti.
Dve lemmata o tom kdy je a neni oblast invariantni.
Veta: postacujici podminky, aby byla oblast invariantni. Dusledek pro diagonalni systemy.
(20.3.1997):
f-stabilni systemy a postacujici podminka na invarianci oblasti pro tyto systemy; priklad: system vazkych Burgersovych rovnic; priklad: Navier-Stokese takto nevyresim. Veta: nutne podminky pro invarianci oblasti.

V dobe 27.3.1997 - 14.5.1997 se vyberovka nekonala z duvodu dlouhodobe nemoci M.Rokyty.

3. Aplikace

(15.5.1997):
Veta globalni existenci pro systemy majici omezenou invariantni oblast. Priklad: existence globalniho hladkeho reseni a stejnomerny L^{\infty} odhady pro perturbovany system Eulerovych rovnic v 1D.

Pozadavky ke zkousce

Definujte pojem invariantni oblasti, napiste tvar evolucniho systemu, pro ktery lze obdrzet vysledek; co to je mit okrajovou a pocatecni podminku v inv. oblasti
Postacujici podminky pro to, aby byla oblast invariantni, dusledek pro diagonalni systemy, diskutujte f-stabilni systemy.
Nutne podminky pro to, aby byla oblast invariantni. Shrnte nutne a postacujici podminky.
Aplikujte teorii na priklade.

Literatura

Chueh K.N., Conley C.C., Smoller J.A., Positively invariant regions. Indiana University Mathematics Journal, vol. 26, no.2, 373-392 (1977)
Smoller J.A., Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer-Verlag, 1983.
... poznamky z prednasky ...