Sylabus Matematicke analyzy pro fyziky, 2. rocnik (F064)

Zimni semestr 1995/96

Zde muzete obdrzet tento sylabus ve forme ps souboru

---

1. Posloupnosti a rady funkci

• 1.1. Stejnomerna a bodova konvergence
  • Bodova konvergence posloupnosti funkci; stejnomerna konvergence; Bolzano-Cauchyova podminka stejnomerne konvergence; ekvivalentni podminka stejnomerne konvergence (veta o sigma_n); lokalne stejnomerna konvergence.
  • Bodova a stejnomerna konvergence rady funkci; nutna podminka (stejnomerne) konvergence; absolutni konvergence rady funkci; Weierstrassovo, Leibnitzovo kriterium; kriterium Abel-Dirichletovo o stejnomerne konvergenci rad funkci.
• 1.2. Limita a spojitost
  • Limita v bode pro posloupnost funkci; spojitost stejnomerne konvergentni posloupnosti spojitych funkci; Diniho veta (monotonni bodova konvergence spojitych funkci na kompaktu je stejnomerna).
• 1.3. Derivace a integral
  • Derivace posloupnosti a rady clen po clenu; primitivni funkce ke stejnomerne konvergentni posloupnosti (a rade). Riemannuv integral ze stejnomerne kovergentni posloupnosti a rady funkci.
• 1.4. Mocninne rady
  • Definice mocninne rady; absolutni a stejnomerna konvergence mocninne rady pro |z|<|z_1|, pokud v |z_1| rada konverguje; polomer a kruh konvergence, vlastnosti mocninne rady uvnitr, vne a na hranici kruhu konvergence; vzorec pro polomer konvergence.
  • Vlastnosti funkce definovane jako soucet mocninne rady; Abelova veta o konvergencni kruznici; aplikace mocninnych rad: scitani ciselnych rad, integrace funkci, reseni diferencialnich rovnic, rozvoj do Tayloru. Diskuse o Taylorove a mocninne rade.

2. Uvod do variacniho poctu

• Uvaha o nejkratsi spojnici dvou bodu; definice: funkcional, Gateauxuv diferencial, kriticky (stacionarni bod); Eulerova veta (nutna podminka lok. extremu).
• Obecne odvozeni Euler-Lagrangeovy rovnice; extremaly; Euler-Lagrangeova veta o E-L rovnici; uloha o brachystochrone; fyzikalni interpretace E-L rovnic a Lagrangian.
• Frechetuv diferencial; jeho vztah k derivaci ve smeru (Gateauxove); vyssi diferencialy; Lagrangeova veta (postacujici podminka existence lokalniho extremu); Jacobiho rovnice; konjugovany bod; Jacobiho veta (o konjugovanem bode).
• Shrnuti situace, priklad. Funkcional, ktery nema minimum v ramci slusneho prostoru.

3. Lebesgueova mira a integral

• 3.1. Systemy mnozin, systemy mnozin v R^n
  • Okruh, sigma-okruh, algebra, sigma-algebra; symetricka diference a jeji vlastnosti; systemy S_n (omezene intervaly v R^n a E_n (jejich konecna sjednoceni); kanonicke rozdeleni, simultanni kanonicke rozdeleni. Vlastnosti okruhu.
• 3.2. Aditivni funkce mnoziny a jeji rozsireni
  • Aditivni a sigma-aditivni funkce mnoziny; nezaporna, konecna funkce mnoziny; zakladni vlastnosti (zejmena o sjednoceni a pruniku systemu mnozin). Jednoznacnost rozsireni aditivni funkce z S_n na E_n.
• 3.3. Vnejsi mira, meritelne mnoziny
  • Regularni funkce mnoziny; vnejsi mira; jeji vlastnosti; mira a meritelne mnoziny; zakladni vlastnosti Lebesgueovsky meritelnych mnozin (sigma-algebra); Cantorovo discontinuum.
  • Existuji nemeritelne mnoziny; ekvivalentni charakteristika meritelnosti (lemma o pruniku s intervaly); meritelne mnoziny jsou nejvetsi okruh, na kterem ma vnejsi mira rozumne vlastnosti; Borelovske mnoziny jsou podtridou meritelnych mnozin; nulove mnoziny; platnost neceho skoro vsude.
• 3.4. Meritelne funkce
  • Meritelne funkce; operace s nimi, ktere zachovavaji meritelnost. Spojita funkce je meritelna; Luzinova veta.
• 3.5. Jednoduche funkce a jejich integral
  • Jednoducha funkce; charakteristicka funkce mnoziny; Lebesgueuv integral z jednoduche funkce; aproximativni vlastnost jednoduchych funkci.
• 3.6. Lebesgueuv integral a jeho zakladni vlastnosti
  • Lebesgueuv integral z nezaporne meritelne funkce, z obecne meritelne funkce; existence, konvergence integralu; nerovnosti a rovnosti; tridy L(M) a L^*(M), jejich vlastnosti; konvergence -- integrabilni majoranta; zavislost na mnozine, pres kterou se integruje; linearita.
• 3.7. Vety Leviho, Lebesguea, Fatoua
  • Levi ve dvou verzich, Levi pro rady; Fatouovo lemma; Lebesgueova veta pro posloupnosti. Lebesgueova veta pro rady; vztah Riemannova a Lebesgueova integralu; srovnavaci kriterium; nektere priklady; shrnuti technik pro posloupnosti a rady.
• 3.8. Integraly s parametrem
  • Veta o limite; veta o spojitosti; veta o derivaci; Gamma funkce a jeji zakladni vlastnosti.
• 3.9. Fubiniho veta a veta o substituci
  • Prumet mnoziny a rez mnozinou; Fubiniho veta; priklad: objem koule; poznamka: nezdarni sirotci. Veta o substituci; srovnani s jednou dimenzi; sfericke souradnice: dve verze; sfericke souradnice v R^n; aplikace: objem n-rozmerne koule.

4. Krivkovy integral

• 4.1. Krivky v R^n
  • Krivka, jednoducha krivka, uzavrena krivka; tecny a normalovy vektor; opacna krivka.
• 4.2. Krivkovy integral
  • Krivkovy integral 1. a 2. druhu, nezavislost na parametrizaci; potencial vektoroveho pole; nezavislost na ceste; nulovost integralu pres uzavrenou krivku; souvislost s potencialem.

5. Plosny integral

• 5.1. Zadani plochy
  • Jednoducha k-plocha; zobecnena k-plocha; parametricke zadani 2-plochy v R^3; normalovy vektor k plose; orientovana plocha; plosny integral 1. druhu; nezavislost na parametrizaci; povrch toru.

---