Sylabus Matematicke analyzy pro fyziky, 2. rocnik (F064)
Letni semestr 1995/96
Zde muzete obdrzet tento sylabus ve forme ps souboru
5. Plosny integral
- 5.1. Zadani plochy; integral prvniho druhu
- Opakovani ze zimniho semestru: parametrizace plochy, jednoducha a zobecnena k-plocha; plosny integral prvniho druhu, nezavislost na parametrizaci.
- 5.2. Orientace plochy; integral druheho druhu
- Orientovana plocha, spojite pole normal, orientace parametrizace; plosny integral druheho druhu, souvislost obou integralu, nezavislost na parametrizaci.
- 5.3. Grammuv determinant, ruzna zadani plochy
- Grammuv determinant; parametricke, explicitni a implicitni zadani plochy, ruzne tvary normal a integralu.
- 5.4. Gauss-Ostrogradskeho veta, Greenovy formule
- G-O veta s naznakem dukazu pro 3 dimenze. Dusledky G-O: veta o divergenci, per partes, rovnice kontinuity, 1. a 2. Greenova formule.
- 5.5. Greenova a Stokesova veta
- Greenova veta. Stokesova veta; divergence rotace, ekvivalentni definice rotace; shrnuti typu integraci v prostorech do dimenze 3.
- 5.6. Plosne integraly v dimenzi n (poznamky)
- Zobecneny vektorovy soucin, plosne integraly obou typu pro plochy dimenze n-1 v prostoru dimenze n, Gauss-Ostrogradskij v n dimenzich, povrch n-dimenzionalni sfery; objem k-rozmerneho rovnobeznostenu v prostoru dimenze n, integral prvniho druhu pres k-plochu v prostoru dimenze n, (k ostre mezi 1 a n-1).
6. Fourierovy rady
- 6.1. Trigonometricke rady
- Trigonometricka rada; lemma o integralech ze sinu a cosinu; Fourierova rada v sinech a cosinech; veta o konvergenci pro po castech C1 funkce. Komplexni Fourierova rada.
- 6.2. Konvergence Fourierovych rad
- Riemann-Lebesgueovo lemma, Riemannova veta o lokalizaci. Besselova nerovnost, Pasevalova rovnost.
- 6.3. Derivovani a integrovani Fourierovych rad
- Konvergence rady koeficientu vynasobenych mocninou n a jeji vliv na derivovatelnost Fourierovy rady. Hladkost funkce implikuje konvergenci rady koeficientu vynasobenych mocninou n.
- Fourierovu radu po castech C1 a globalne spojite funkce lze derivovat v bodech existence vlastni derivace; integrovani Fourierovy rady pro spojitou f.
- 6.4. Abstraktni Fourierovy rady
- Hilbertuv prostor, prostory Lp; Youngova a Holderova nerovnost; ortogonalni systemy, Fourierova rada podle ortogonalniho systemu, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost.
- Uplny ortogonalni system; ekvivalence uplnosti, Pasevalovy rovnosti a konvergence Fourierovy rady prvku x k prvku x, geometricka interpretace; kusy Fourierovy rady jsou nejlepsi aproximaci ze vsech konecnych souctu.
- 6.5. Ruzne OG systemy, aplikace, zaverecne poznamky
- Hilbertovy prostory s vahou, systemy OG polynomu (Legendre, Cebysev-Hermit, Laguerre); okrajova uloha generuje OG system v prostoru s vahou.
7. Komplexni analyza
- 7.1. Gaussova rovina, komplexni funkce
- Opakovani trivialit, argument a Argument, mnohoznacne funkce, jejich jednoznacne vetve; problem nekonecen a stereograficka projekce; elementarni funkce a jejich rozsireni do komplexni roviny; inverze jako mnohoznacna funkce, logaritmus a Logaritmus.
- 7.2. Holomorfni funkce, Cauchy-Riemannovy podminky
- Holomorfni funkce v bode a na otevrene mnozine; C-R podminky a totalni diferencial slozek komplexni funkce; harmonicka funkce, harmonicky sdruzena funkce.
- Vrstevnice slozek holomorfniho zobrazeni s nenulovou derivaci tvori ortogonalni krivocarou sit v rovine.
- Pravidla pro derivovani; derivace elementarnich funkci (a jejich vetvi) a jejich holomorfnost.
- 7.3. Krivkovy integral a primitivni funkce v komplexni rovine
- Krivka: uzavrena, jednoducha, Jordanova; delka krivky, krivkovy integral.
- Primitivni funkce a jeji existence, nezavislost integralu na ceste, nulovost integralu pres uzavrenou krivku, vzajemna ekvivalence.
- 7.4. Cauchyova veta
- Jednoduse souvisla oblast, Cauchyova veta, aplikace: integral od 0 do nekonecna ze sin x/x = Pi/2 v zobecnenem Lebesgueove smyslu.
- Jordanovo lemma a lemma o malych kruhovych obloucich; Cauchyuv vzorec, dusledky pro holomorfnost vsech derivaci holomorfni funkce; Morerova veta.
- 7.5. Taylorova a Laurentova rada
- Weierstrassova veta o radach; realna rada, kterou nelze derivovat clen po clenu a souvislost s neholomorfnosti clenu prislusne komplexni rady.
- Mocninne a zobecnene mocninne rady, maly a velky polomer, mezikruzi konvergence, vzorec pro koeficienty, jejich jednoznacnost. Dukaz vety o mezikruzi; Laurentova rada; shrnuti: Taylor a funkce holomorfni v kruhu, Laurent a funkce holomorfni v mezikruzi - vzajemna korespondence.
- 7.6. Isolovane singularity, residua, residuova veta
- Isolovana singularita: odstranitelna, pol, podstatna singularita, nasobnost polu, residuum v konecnem bode; residuova veta; pravidla pro vypocet residui.
- Klasifikace isolovanych singularit: odstranitelnych, polu (kazdy ma nejakou nasobnost), Casorati-Weierstrass pro podstatnou singularitu; dukaz a pouziti pravidel pro vypocet residui.
- Nekonecno jako isolovana singularita, residuum v nekonecnu, Laurentova rada kolem nekonecna. Riemannova veta pro sferu.
- 7.7. Pouziti residuove vety k vypoctum
- Primy vypocet krivkovych integralu; racionalni funkce sinu a cosinu pres celou periodu; racionalni funkce. Racionalni funkce s goniometrickymi, funkce s iracionalni mocninou - odvozeni z residuove vety, typicke priklady, diskuse, integraly ve smyslu hlavni hodnoty.
- 7.8. Liouvilleova veta, veta o jednoznacnosti
- Liouvilleova veta, zakladni veta algebry, veta o jednoznacnosti, dusledky pro rozsirovani holomorfnich funkci.
8. Fourierova a Laplaceova transformace
- 8.1. Fourierova transformace
- Fourierova transformace, motivace; obracena Fourierova transformace; ruzne F.t. (ruzne volby konstant), prostory Lp.
- Zakladni vlastnosti transformace, Riemann-Lebesgueovo lemma; multiindexy a zapis parcialniho derivovani podle nich, derivovani Fourierovy transformace; konvoluce a jeji vlastnosti, F.t. konvoluce.
- 8.2. Veta o inverzi pro Fourierovu transformaci
- Prostor S(Rn) rychle klesajicich funkci, jeho zakladni vlastnosti, hustota v prostorech Lp; vypocet - nalezeni funkce, ktera se transformuje sama na sebe; veta o inverzi.
- Fourierova transformace soucinu funkci; inverzni formule pro fukce z L1.
- 8.3. Fourierova transformace funkci z L2
- Parsevalova rovnost, definice Fourierovy transformace v L2. Hlavni aplikace: reseni diferencialnich rovnic pomoci Fourierovy transformace a zadrhele s tim spojene.
- 8.4. Laplaceova transformace
- Laplaceova transformace a jeji vztah k Fourierove transformaci; vlastnosti Laplaceovy ransformace (linearita, substituce, posunuti, derivovani, integrovani, soucin), zakladni priklady.
- 8.5. Veta o inverzi pro Laplaceovu transformaci
- Vzory a obrazy, inverzni formule, zapojeni residuovych poctu do Laplaceovy transformace, priklady, priklady (hlavne na reseni diferencialnich rovnic).