Hyperbolické systémy a zákony zachování
(NDIR058)

LS 2009/2010

Místo a čas konání:

středa, 14:00, sem. místnost KMA, Karlín, 2. patro

---

Orientační sylabus

• Hyperbolický systém PDR 1. řádu: definice. Souvislost se zákony zachování. Reálná vlastní čísla matice, která je lineární kombinací Jacobiho matic nelinearit.
• Klasické a slabé řešení hyperbolické rovnice 1. řádu. Metoda charakteristik a kolaps klasického řešení v libovolně krátkém čase pro nelineární hyperbolickou rovnici. Slabé řešení a Rankine-Hugoniotovy podmínky pro určení slabého řešení sestaveného z po částech konstantních funkcí.
• Nejednoznačnost slabého řešení: nespočetně mnoho řešení, vyhovujících R-H podmínce. Matematické zavedení entropické rovnosti jako dodatečného zákona zachování, splněného automaticky pro hladká řešení původního hyperbolického systému. Podmínky kompatibility mezi entropií, toky entropie a nelinearitami hyperbolického systému.
• Souvislost existence entropie se symetrizovatelností systému.
• Parabolická perturbace hyperbolického zákona zachování a metoda mizející vazkosti.
• Opakování z teorie funkčních prostorů: Lebesgueovy a Sobolevovy prostory, normy v nich. Youngova a Hölderova nerovnost, Gronwallovo lemma. Záporné Sobolevovy prostory, duality. Bochnerovy prostory, integrace per partes v nich.
• Parabolická perturbace hyperbolického zákona zachování: 1 rovnice v d dimenzích. Základní věta o existenci a jednoznačnosti slabého řešení.
• Odbočení do funkcionální analýzy: slabé a silné konvergence, rozdíl mezi nimi v Lebesgueových prostorech, konvergence norem a slabá konvergence. Youngovy míry jako popis chování slabě konvergující posloupnosti funkcí.
• Definice prostorů C_K(R^s), C₀(R^s), M(R^s), a prostorů L¹(Q,C₀(R^s)), L^inf_w(Q,M(R^s)). Věta o duálu k L¹(Q,C₀(R)), věta o existenci L^inf-Youngových měr s důkazem, komentář. Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr (znění).
• Obecná strategie důkazu existence řešení pro hyperbolickou rovnici. Div-curl lemma. Muratovo lemma. Murat-Tartarova identita.
• Vecciho věta o redukci nosiče míry, která splňuje M.-T. identitu. Závěrečná věta o existenci entropického řešení pro skalární nelineární hyperbolický zákon zachování v jedné dimenzi.

---

Místo a čas konání zkoušky:

pondělí 7.6.2010, 9:30, K9, Karlín

Zkouškové otázky

1. Definice hyperbolického systému, definice entropie a entropických toků (podmínkami kompatibility), definice slabého entropického řešení, co je to parabolická perturbace, odvození entropické nerovnosti "metodou mizející vazkosti".
2. Zformulujte rovnici pro parabolickou perturbaci a větu o existenci a jednoznačnosti řešení (prostory, kde se pohybujeme, odhady velikosti a gradientu). Předveďte první část důkazu: od začátku až po definici zobrazení F_lambda a odkud kam zobrazuje.
3. Dokončete důkaz předchozí věty o existenci a jednoznačnosti řešení parabolické perturbace (viz věta o otázku výše) pro globálně Lipschitzovskou nelinearitu. Zmiňte několika slovy, jak odstranit globální Lipschitzovskost.
4. Definice prostorů Radonových měr M(Omega), Bochnerových prostorů L¹(Q,C₀(R^s)) a L^inf_w(Q,M(R^s)), norem v nich, duality, pojem slabé měřitelnosti, věta o tom, který je ke kterému duálem (bez důkazu). Zformuljte větu o L^inff-Younových mírách.
5. Důkaz existence Youngovy míry pro stejnoměrně L^inf omezenou posloupnost funkcí.
6. Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Linf-Youngových měr (4 ekvivalentní podmínky)
7. Napsání Murat-Tartarovy identity a důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi na základě znalosti M.-T. rovnice (Vecchiho důkaz).

---

Literatura

Jde o mnohem širší soupis literatury, než nutný. Základní literaturou je kniha [5].

1. Constantine M. Dafermos: Hyperbolic systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 25-70 (1983).
2. Constantine M. Dafermos: Estimates for consevation laws with little viscosity, SIAM J. Math. Anal., No.2, 409-421 (1987).
3. Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 74, 1990.
4. Peter D. Lax: Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Philadelphia SIAM, 1973.
5. Josef Málek, Jindřich Nečas, Mirko Rokyta, Michael Růžička: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Chapman & Hall, 1996.
6. Ronald J. DiPerna: Convergence of approximate solutions to consefvation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 82 (1983), 27-70.
7. Ronald J. DiPerna: Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics, Comm. Math. Phys., 91 (1983), 1-30.
8. Denis Serre: La compacite par compensation et systemes hyperboliques non lineaires de deux equations a une dimensiion d'space, J. Maths. Pures et Appl., 65(4), 423-468 (1986).
9. Denis Serre: Domaines invariantes pour les systemes hyperboliques de lois de conservation, J. Diff. Eq., 46-62, 69 (1987).
10. James W. Shearer: Global existence and compactness in L^p for systems of conservation laws, PhD Thesis, University of California, Berkley, 1990.
11. Luc Tartar: Compensated compactness and applications to partial differential equations, In: Nonlinear analysis and Mechanics, (ed. R.J.Knops), Heriot-Watt Symposium IV, Research Notes in Mathematics 39, Pitman, 136-192 (1979).
12. Luc Tartar: The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 263-285 (1983).
13. Italo Vecchi: Thesis, Univ. Heidelberg, 1989.

---